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共找到 25 题
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145分数列★★★★☆
设实数 qq 满足：存在数列 {an}\{a_n\}，使得对于任意 n∈N∗n\in\mathbf{N}^*，均有 a1+a2+⋯+a3n=n2+na_1+a_2+\cdots+a_{3n}=n^2+n，且 {an}\{a_n\} 中有某连续 99 项 aka_k，ak+1a_{k+1}，⋯\cdots，ak+8a_{k+8} 是公比为 qq 的等比数列，则 qq 的最大值为______．

2026 · 全国 · 一卷 · 第 14 题 · 填空题

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1615分数列★★★★☆
设数列 {an}\{a_n\} 满足 a1=3a_1 = 3，an+1n=ann+1+1n(n+1)\frac{a_{n+1}}{n} = \frac{a_n}{n+1} + \frac{1}{n(n+1)}.
(1) 证明：{nan}\{na_n\} 为等差数列； (2) 给定正整数 mm，设函数 f(x)=a1x+a2x2+⋯+amxmf(x) = a_1x + a_2x^2 + \cdots + a_mx^m，求 f′(−2)f'(-2).

2025 · 全国 · 一卷 · 第 16 题 · 解答题

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085分数列★★★★☆
已知函数 f(x)f(x) 的定义域为 R\mathbf{R}，且 f(x)>f(x−1)+f(x−2)f(x)>f(x-1)+f(x-2)， 当 x<3x<3 时 f(x)=xf(x)=x. 则下列结论中一定正确的是（ ）
A.
f(10)>100f(10)>100
B.
f(20)>1000f(20)>1000
C.
f(10)<1000f(10)<1000
D.
f(20)<10000f(20)<10000

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 8 题 · 选择题

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2015分数列★★★★☆
设等差数列 {an}\{a_n\} 的公差为 dd，且 d>1d>1. 令 bn=n2+nanb_n=\frac{n^2+n}{a_n}，记 SnS_n，TnT_n 分别为数列 {an}\{a_n\}，{bn}\{b_n\} 的前 nn 项和.
(1) 若 3a2=3a1+a33a_2=3a_1+a_3，S3+T3=21S_3+T_3=21，求 {an}\{a_n\} 的通项公式； (2) 若 {bn}\{b_n\} 为等差数列，且 S99−T99=99S_{99}-T_{99}=99，求 dd.

2023 · 全国 · 新高考一卷 · 第 20 题 · 解答题

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165分数列★★★★☆
某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为 20 dm×12 dm20\text{ dm}\times 12\text{ dm} 的长方形纸，对折 11 次共可以得到 10 dm×12 dm10\text{ dm}\times 12\text{ dm}，20 dm×6 dm20\text{ dm}\times 6\text{ dm} 两种规格的图形，它们的面积之和 S1=240 dm2S_1=240\text{ dm}^2；对折 22 次共可以得到 5 dm×12 dm5\text{ dm}\times 12\text{ dm}，10 dm×6 dm10\text{ dm}\times 6\text{ dm}，20 dm×3 dm20\text{ dm}\times 3\text{ dm} 三种规格的图形，它们的面积之和 S2=180 dm2S_2=180\text{ dm}^2. 以此类推.
(1) 对折 44 次共可以得到不同规格图形的种数为______； (2) 如果对折 nn 次，那么 ∑k=1nSk=‾ dm2\sum_{k=1}^n S_k=\underline{\hspace{2em}}\text{ dm}^2.

2021 · 全国 · 新高考一卷 · 第 16 题 · 填空题

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16数列★★★★☆
数列 {an}\{a_n\} 满足 an+2+(−1)nan=3n−1a_{n+2}+(-1)^n a_n=3n-1，前 1616 项和为 540540，则 a1=‾a_1=\underline{\hspace{2em}}.

2020 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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20数列★★★★☆
已知数列 {an}\{a_{n}\} 满足 a1=1a_1 = 1，∣an+1−an∣=pn|a_{n + 1} - a_n| = p^n，n∈N∗n \in \mathbf{N}^*.
(1) 若 {an}\{a_n\} 是递增数列，且 a1a_1，2a22a_2，3a33a_3 成等差数列，求 pp 的值； (2) 若 p=12p = \frac{1}{2}，且 {a2n−1}\{a_{2n-1}\} 是递增数列，{a2n}\{a_{2n}\} 是递减数列，求数列 {an}\{a_n\} 的通项公式.
\begin{solution} 因为 pn=∣an+1−an∣⩾0p^n=|a_{n+1}-a_n|\geqslant0 对任意正整数 nn 成立，且第一问中的数列递增，所以 p>0p>0. 于是 a2=1+pa_2=1+p，a3=1+p+p2a_3=1+p+p^2. 三个数 a1a_1，2a22a_2，3a33a_3 成等差数列，故
4a2=a1+3a34a_2=a_1+3a_3
代入上式得 4(1+p)=1+3(1+p+p2)4(1+p)=1+3(1+p+p^2)，即 p(1−3p)=0p(1-3p)=0. 由 p>0p>0，得 p=13p=\frac13.
第二问中令 dn=an+1−and_n=a_{n+1}-a_n，则 ∣dn∣=2−n|d_n|=2^{-n}. 由奇数项组成的数列递增，
d2n−1+d2n=a2n+1−a2n−1>0d_{2n-1}+d_{2n}=a_{2n+1}-a_{2n-1}>0
由于 ∣d2n−1∣=2∣d2n∣|d_{2n-1}|=2|d_{2n}|，只能有 d2n−1=2−(2n−1)d_{2n-1}=2^{-(2n-1)}. 由偶数项组成的数列递减，
d2n+d2n+1=a2n+2−a2n<0d_{2n}+d_{2n+1}=a_{2n+2}-a_{2n}<0
由于 ∣d2n∣=2∣d2n+1∣|d_{2n}|=2|d_{2n+1}|，只能有 d2n=−2−2nd_{2n}=-2^{-2n}. 因而对所有 n⩾1n\geqslant1，
dn=(−1)n+12nd_n=\frac{(-1)^{n+1}}{2^n}
于是
an=1+∑k=1n−1(−1)k+12k=1+13(1−(−12)n−1)=43−(−1)n−13⋅2n−1a_n=1+\sum_{k=1}^{n-1}\frac{(-1)^{k+1}}{2^k} =1+\frac{1}{3}\left(1-\left(-\frac12\right)^{n-1}\right) =\frac43-\frac{(-1)^{n-1}}{3\cdot2^{n-1}}
\end{solution}

2014 · 湖南 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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15数列★★★★☆
设 SnS_{n} 为数列 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和，Sn=(−1)nan−12nS_{n} = (-1)^{n}a_{n} - \frac{1}{2^{n}}，n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}，则
(1) a3=‾a_{3} =\underline{\hspace{2em}}； (2) S1+S2+⋯+S100=‾S_{1} + S_{2} + \dots + S_{100} =\underline{\hspace{2em}}.

2013 · 湖南 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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15数列★★★★☆
对于 E={a1,a2,⋯ ,a100}E = \{a_1, a_2, \cdots, a_{100}\} 的子集 X={ai1,ai2,⋯ ,aik}X = \{a_{i_1}, a_{i_2}, \cdots, a_{i_k}\}，定义 XX 的“特征数列”为 x1x_1，x2x_2，⋯\cdots，x100x_{100}，其中 xi1=xi2=⋯=xik=1x_{i_1} = x_{i_2} = \cdots = x_{i_k} = 1，其余项均为 00，例如：子集 {a2,a3}\{a_2, a_3\} 的“特征数列”为 00，11，11，00，00，⋯\cdots，00.
(1) 子集 {a1,a3,a5}\{a_{1}, a_{3}, a_{5}\} 的“特征数列”的前 3 项和等于______. (2) 若 EE 的子集 PP 的“特征数列” p1p_{1}，p2p_{2}，⋯\cdots，p100p_{100} 满足 p1=1p_{1}=1，pi+pi+1=1p_{i}+p_{i+1}=1，1⩽i⩽991\leqslant i\leqslant99；EE 的子集 QQ 的“特征数列” q1q_{1}，q2q_{2}，⋯\cdots，q100q_{100} 满足 q1=1q_{1}=1，qj+qj+1+qj+2=1q_{j}+q_{j+1}+q_{j+2}=1，1⩽j⩽981\leqslant j\leqslant98，则 P∩QP\cap Q 的元素个数为______.

2013 · 湖南 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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19数列★★★★☆
已知数列 {an}\{a_n\} 的各项均为正数，记 A(n)=a1+a2+⋯+anA(n)=a_1+a_2+\cdots+a_n，B(n)=a2+a3+⋯+an+1B(n)=a_2+a_3+\cdots+a_{n+1}，C(n)=a3+a4+⋯+an+2C(n)=a_3+a_4+\cdots+a_{n+2}，n=1n=1，22，⋯\cdots.
(1) 若 a1=1a_1=1，a2=5a_2=5，且对任意 n∈N∗n\in\mathbf{N}^*，三个数 A(n)A(n)，B(n)B(n)，C(n)C(n) 组成等差数列，求数列 {an}\{a_n\} 的通项公式； (2) 证明：数列 {an}\{a_n\} 是公比为 qq 的等比数列的充分必要条件是：对任意 n∈N∗n\in\mathbf{N}^*，三个数 A(n)A(n)，B(n)B(n)，C(n)C(n) 组成公比为 qq 的等比数列.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 对任意 nn，由 A(n)A(n)，B(n)B(n)，C(n)C(n) 成等差数列，有
A(n)+C(n)=2B(n)A(n)+C(n)=2B(n)
代入三组和式并消去公共项，得到
a1−an+1=a2−an+2a_1-a_{n+1}=a_2-a_{n+2}
即
an+2−an+1=a2−a1=4a_{n+2}-a_{n+1}=a_2-a_1=4
所以数列从第一项开始公差为 44，结合 a1=1a_1=1，得
an=a1+(n−1)⋅4=4n−3a_n=a_1+(n-1)\cdot4=4n-3
\item 先证必要性. 若 {an}\{a_n\} 是公比为 qq 的等比数列，则 B(n)=qA(n)B(n)=qA(n)，C(n)=qB(n)=q2A(n)C(n)=qB(n)=q^2A(n). 故 A(n)A(n)，B(n)B(n)，C(n)C(n) 成公比为 qq 的等比数列.
再证充分性. 已知对任意 nn， B(n)=qA(n)B(n)=qA(n)，C(n)=qB(n)C(n)=qB(n). 取相邻两式相减. 由 B(n)−B(n−1)=an+1B(n)-B(n-1)=a_{n+1}，以及
A(n)−A(n−1)=anA(n)-A(n-1)=a_n
对 n⩾2n\geqslant2 有
an+1=B(n)−B(n−1)=q(A(n)−A(n−1))=qana_{n+1}=B(n)-B(n-1) =q\bigl(A(n)-A(n-1)\bigr) =qa_n
当 n=1n=1 时，B(1)=qA(1)B(1)=qA(1) 给出 a2=qa1a_2=qa_1. 因而对所有 n⩾1n\geqslant1 都有 an+1=qana_{n+1}=qa_n，所以 {an}\{a_n\} 是公比为 qq 的等比数列. 必要性与充分性均成立. \end{enumerate} \end{solution}

2012 · 湖南 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20数列★★★★☆
某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产. 该企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了 50%50\%，预计以后每年资金年增长率与第一年的相同. 公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金 dd 万元，并将剩余资金全部投入下一年生产. 设第 nn 年年底企业上缴资金后的剩余资金为 ana_{n} 万元.
(1) 用 dd 表示 a1a_{1}，a2a_{2}，并写出 {an+1}\{a_{n+1}\} 与 ana_{n} 的关系式； (2) 若公司希望经过 mm 年（m⩾3m \geqslant 3）使企业的剩余资金为 40004000 万元，试确定企业每年上缴资金 dd 的值（用 mm 表示）.

2012 · 湖南 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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16计数原理与组合数学★★★★☆
对于 n∈N∗n \in \mathbf{N}^*，将 nn 表示为 n=a0×2k+a1×2k−1+a2×2k−2+⋯+ak−1×21+ak×20n = a_0 \times 2^k + a_1 \times 2^{k-1} + a_2 \times 2^{k-2} + \cdots + a_{k-1} \times 2^1 + a_k \times 2^0. 当 i=0i = 0 时，ai=1a_i = 1，当 1⩽i⩽k1 \leqslant i \leqslant k 时，aia_i 为 0 或 1. 记 I(n)I(n) 为上述表示中 aia_i 为 0 的个数 （例如： 1=1×201 = 1 \times 2^0，4=1×22+0×21+0×204 = 1 \times 2^2 + 0 \times 2^1 + 0 \times 2^0，则 I(1)=0I(1) = 0，I(4)=2I(4) = 2），则
(1) I(12)=I(12) =______； (2) ∑n=11272I(n)=\displaystyle\sum_{n=1}^{127} 2^{I(n)}=______.

2011 · 湖南 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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10数列★★★★☆
已知某试验范围为 [10,90][10,90]，若用分数法进行 44 次优选试验，则第二次试点可以是______.

2011 · 湖南 · 文 · 第 10 题 · 填空题

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15数列★★★★☆
若数列 {an}\{a_n\} 满足：对任意的 n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}，只有有限个正整数 mm 使得 am<na_m < n 成立. 记这样的 mm 的个数为 (an)∗(a_n)^*，则得到一个新数列 {(an)∗}\{(a_n)^*\}. 例如，若数列 {an}\{a_n\} 是 11，22，33，⋯\cdots，nn，⋯\cdots，则数列 {(an)∗}\{(a_n)^*\} 是 00，11，22，⋯\cdots，n−1n - 1，⋯\cdots. 已知对任意的 n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}，an=n2a_n = n^2，则 (a5)∗=‾(a_5)^* =\underline{\hspace{2em}}，((an)∗)∗=‾((a_n)^*)^* =\underline{\hspace{2em}}.

2010 · 湖南 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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19解析几何★★★★☆
为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川上相距 8 km8 \mathrm{~km} 的 AA，BB 两点各建一个考察基地. 视冰川面为平面形，以过 AA，BB 两点的直线为 xx 轴，线段 ABAB 的垂直平分线为 yy 轴建立平面直角坐标系（如图）. 在直线 x=2x = 2 的右侧，考察范围为到点 BB 的距离不超过 655 km\frac{6\sqrt{5}}{5} \mathrm{~km} 的区域. 在直线 x=2x = 2 的左侧，考察范围为到 AA，BB 两点的距离之和不超过 45 km4\sqrt{5} \mathrm{~km} 的区域.
(1) 求考察区域边界曲线的方程； (2) 如图所示，设线段 P1P2P_{1}P_{2}，P2P3P_{2}P_{3} 是冰川的部分边界线（不考虑其他边界），当冰川融化时，边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，第一年移动 0.2 km0.2 \mathrm{~km}，以后每年移动的距离为前一年的 2 倍. 求冰川边界线移动到考察区域所需的最短时间.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 在直线 x=2x=2 的右侧，考察区域是以 B(4,0)B\left(4,0\right) 为圆心、半径为 655\frac{6\sqrt{5}}{5} 的圆的内部，因此其边界曲线为 C1:(x−4)2+y2=365C_{1}:\left(x-4\right)^2+y^2=\frac{36}{5}，x⩾2x\geqslant2. 在直线 x=2x=2 的左侧，考察区域边界是以 A(−4,0)A\left(-4,0\right)，B(4,0)B\left(4,0\right) 为焦点的椭圆. 设其长半轴为 α\alpha，半焦距为 c0c_{0}，则 2α=452\alpha=4\sqrt{5}，c0=4c_{0}=4，从而 α=25\alpha=2\sqrt{5}，短半轴平方为 α2−c02=4\alpha^2-c_{0}^2=4. 所以另一段边界曲线为 C2:x220+y24=1C_{2}:\frac{x^2}{20}+\frac{y^2}{4}=1，x<2x<2. \item 直线段 P1P2P_{1}P_{2} 的斜率为
6−(−1)−833+53=3\frac{6-(-1)}{-\frac{8\sqrt{3}}{3}+5\sqrt{3}}=\sqrt{3}
故其所在直线方程为 3x−y+14=0\sqrt{3}x-y+14=0. 对椭圆内部的点，有
3x−y=2(15x25−y2)⩾−215+1=−8\sqrt{3}x-y=2\left(\sqrt{15}\frac{x}{2\sqrt{5}}-\frac{y}{2}\right)\geqslant-2\sqrt{15+1}=-8
等号在 (−532,12)\left(-\frac{5\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2}\right) 处取得，且该点满足 x<2x<2，属于考察区域边界. 所以从直线 P1P2P_{1}P_{2} 沿法向朝考察区域移动，首次接触考察区域所需的距离为
14−832+(−1)2=3 km\frac{14-8}{\sqrt{3^2+(-1)^2}}=3\text{ km}
该椭圆边界点到原直线的垂足为 (−43,2)(-4\sqrt{3},2)，其纵坐标在 [−1,6][-1,6] 内，故垂足确在线段 P1P2P_{1}P_{2} 上，以上距离确实是该线段的最小移动距离. 直线段 P2P3P_{2}P_{3} 所在直线为 y=6y=6. 考察区域的最高点纵坐标为圆 C1C_{1} 的最高点纵坐标 655\frac{6\sqrt{5}}{5}，所以该线段向下移动至考察区域至少需要
6−655>3 km6-\frac{6\sqrt{5}}{5}>3\text{ km}
圆的最高点横坐标为 44，位于线段 P2P3P_{2}P_{3} 的横坐标范围内，所以这个距离也确实可以在该线段上取得. 因此冰川边界线首次移动到考察区域时，所需移动距离为 3 km3\text{ km}.
设经过 nn 年移动的总距离为 sns_n，则
sn=0.2(1+2+22+⋯+2n−1)=0.2(2n−1)s_n=0.2\left(1+2+2^2+\cdots+2^{n-1}\right)=0.2\left(2^n-1\right)
有 s3=1.4<3s_3=1.4<3，s4=3s_4=3，故冰川边界线移动到考察区域所需的最短时间为 44 年. \end{enumerate} \end{solution}

2010 · 湖南 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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19解析几何★★★★☆
为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川上相距 8 km8 \mathrm{~km} 的 AA，BB 两点各建一个考察基地. 视冰川面为平面形，以过 AA，BB 两点的直线为 xx 轴，线段 ABAB 的垂直平分线为 yy 轴建立平面直角坐标系（下图）. 考察范围到 AA，BB 两点的距离之和不超过 10 km10 \mathrm{~km} 的区域.
(1) 求考察区域边界曲线的方程； (2) 如图所示，设线段 P1P2P_{1}P_{2} 是冰川的部分边界线 （不考虑其他边界）. 当冰川融化时，边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，第一年移动 0.2 km0.2 \mathrm{~km}. 以后每年移动的距离为前一年的 2 倍. 问：经过多长时间，点 AA 恰好在冰川边界线上？

2010 · 湖南 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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20数列★★★★☆
给出下面的数表序列：
表 1表 2表 3⋯\cdots
11131\quad 311，33，55
44484\quad 8
1212
其中表 nn（n=1n = 1，22，33，…\dots）有 nn 行，第1行的 nn 个数是 11，33，55，…\dots，2n−12n - 1，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和.
(1) 写出表 4，验证表 4 各行中数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表 nn（n⩾3n \geqslant 3） （不要求证明）； (2) 每个数列中最后一行都只有一个数，它们构成数列 1， 4， 12，…，记此数列为 {bn}\{b_n\}，求和： b3b1b2+b4b2b3+⋯+bn+2bnbn+1\frac{b_3}{b_1b_2} + \frac{b_4}{b_2b_3} + \cdots + \frac{b_{n+2}}{b_nb_{n+1}}（n∈N∗n \in \mathbf{N}^*）.

2010 · 湖南 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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15数列★★★★☆
将正 △ABC\triangle ABC 分割成 n2n^2（n⩾2n \geqslant 2，n∈N∗n \in \mathbf{N}^*）个全等的小正三角形（图1，图2分别给出了 n=2n = 2，33 的情形）. 在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于 △ABC\triangle ABC 的三边及平行于某边的任一直线上的数（当数的个数不少于33时）都分别依次成等差数列. 若顶点 AA，BB，CC 处的三个数互不相同且和为 11，记所有顶点上的数的和为 f(n)f(n)，则有 f(2)=2f(2) = 2，f(3)=‾f(3) =\underline{\hspace{2em}}，⋯\cdots，f(n)=‾f(n) =\underline{\hspace{2em}}.

2009 · 湖南 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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18数列★★★★☆
数列 {an}\{a_{n}\} 满足 a1=1a_{1}=1，a2=2a_{2}=2，an+2=(1+cos⁡2nπ2)an+sin⁡2nπ2a_{n+2}=\left(1+\cos^{2}\frac{n\pi}{2}\right)a_{n}+\sin^{2}\frac{n\pi}{2}，n=1n=1，22，33，⋯\cdots.
(1) 求 a3a_{3}，a4a_{4} 并求数列 {an}\{a_{n}\} 的通项公式； (2) 设 bn=a2n−1a2nb_{n} = \frac{a_{2n - 1}}{a_{2n}}，Sn=b1+b2+⋯+bnS_{n} = b_{1} + b_{2} + \dots + b_{n}. 证明：当 n⩾6n \geqslant 6 时，∣Sn−2∣<1n|S_{n} - 2| < \frac{1}{n}.

2008 · 湖南 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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20数列★★★★☆
设 SnS_{n} 是数列 {an}\{a_{n}\}（n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}）的前 nn 项和，a1=aa_{1} = a，且 Sn2=3n2an+Sn−12S_{n}^{2} = 3n^{2}a_{n} + S_{n-1}^{2}，an≠0a_{n} \neq 0，n=2n = 2，33，44，⋯\cdots.
(1) 证明：数列 {an+2−an}\{a_{n+2} - a_n\}（n⩾2n \geqslant 2）是常数数列； (2) 试找出一个奇数 aa，使以 1818 为首项，77 为公比的等比数列 {bn}\{b_n\}（n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}）中的所有项都是数列 {an}\{a_n\} 中的项，并指出 bnb_n 是数列 {an}\{a_n\} 中的第几项.

2007 · 湖南 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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19导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=x−sin⁡xf(x) = x - \sin x，数列 {an}\{a_n\} 满足：0<a1<10 < a_1 < 1，an+1=f(an)a_{n+1} = f(a_n)，n=1n = 1，22，33，⋯\cdots. 证明：
(1) 0<an+1<an<10 < a_{n+1} < a_n < 1； (2) an+1<16an3a_{n+1} < \frac{1}{6} a_n^3.

2006 · 湖南 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20数列★★★★☆
在 mm（m⩾2m\geqslant2）个不同数的排列 P1P2⋯PmP_1P_2\cdots P_m 中，若 1⩽i<j⩽m1\leqslant i<j\leqslant m 时 Pi>PjP_i>P_j（即前面某数大于后面某数），则称 PiP_i 与 PjP_j 构成一个逆序. 一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数. 记排列 (n+1)n(n−1)⋯321(n+1)n(n-1)\cdots321 的逆序数为 ana_n，如排列 2121 的逆序数 a1=1a_1=1，排列 321321 的逆序数 a2=3a_2=3，排列 43214321 的逆序数 a3=6a_3=6.
(1) 求 a4a_4，a5a_5，并写出 ana_n 的表达式； (2) 令 bn=anan+1+an+1anb_n=\dfrac{a_n}{a_{n+1}}+\dfrac{a_{n+1}}{a_n}，证明：2n<b1+b2+⋯+bn<2n+32n<b_1+b_2+\cdots+b_n<2n+3，n=1n=1，22，⋯\cdots.

2006 · 湖南 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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16解析几何★★★★☆
设 FF 是椭圆 x27+y26=1\frac{x^2}{7}+\frac{y^2}{6}=1 的右焦点，且椭圆上至少有 2121 个不同的点 PiP_i（i=1i=1，22，33，…\dots），使 ∣FP1∣\left|FP_1\right|，∣FP2∣\left|FP_2\right|，∣FP3∣\left|FP_3\right|，…\ldots 组成公差为 dd 的等差数列，则 dd 的取值范围为______.

2004 · 湖南 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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22数列★★★★☆
如图，直线 l1:y=kx+1−kl_1:y=kx+1-k（k≠0k\neq 0，k≠±12k\neq\pm\frac{1}{2}）与 l2:y=12x+12l_2:y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2} 相交于点 PP. 直线 l1l_1 与 xx 轴交于点 P1P_1，过点 P1P_1 作 xx 轴的垂线交直线 l2l_2 于点 Q1Q_1，过点 Q1Q_1 作 yy 轴的垂线交直线 l1l_1 于点 P2P_2，过点 P2P_2 作 xx 轴的垂线交直线 l2l_2 于点 Q2Q_2，⋯\cdots，这样一直作下去，可得到一系列点 P1P_1，Q1Q_1，P2P_2，Q2Q_2，⋯\cdots. 点 PnP_n（n=1n=1，22，⋯\cdots）的横坐标构成数列 {xn}\{x_n\}.
(1) 证明：xn+1−1=12k(xn−1)x_{n+1}-1=\frac{1}{2k}(x_n-1)，n∈N∗n\in\mathbf{N}^{*}； (2) 求数列 {xn}\{x_n\} 的通项公式； (3) 比较 2∣PPn∣22\left|PP_n\right|^{2} 与 4k2∣PP1∣2+54k^{2}\left|PP_1\right|^{2}+5 的大小.

2004 · 湖南 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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20数列★★★★☆
已知数列 {an}\{a_{n}\} 是首项为 aa 且公比 qq 不等于1的等比数列，SnS_{n} 是其前 nn 项的和，且 a1a_{1}，2a72a_{7}，3a43a_{4} 成等差数列.
(1) 证明：12S312S_{3}，S6S_{6}，S12−S6S_{12}-S_{6} 成等比数列； (2) 求和 Tn=a1+2a4+3a7+⋯+na3n−2T_{n}=a_{1}+2a_{4}+3a_{7}+\cdots+na_{3n-2}.

2004 · 湖南 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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