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145分数列★★★★☆
设实数 qq 满足：存在数列 {an}\{a_n\}，使得对于任意 n∈N∗n\in\mathbf{N}^*，均有 a1+a2+⋯+a3n=n2+na_1+a_2+\cdots+a_{3n}=n^2+n，且 {an}\{a_n\} 中有某连续 99 项 aka_k，ak+1a_{k+1}，⋯\cdots，ak+8a_{k+8} 是公比为 qq 的等比数列，则 qq 的最大值为______．

2026 · 全国 · 一卷 · 第 14 题 · 填空题

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1615分数列★★★★☆
设数列 {an}\{a_n\} 满足 a1=3a_1 = 3，an+1n=ann+1+1n(n+1)\frac{a_{n+1}}{n} = \frac{a_n}{n+1} + \frac{1}{n(n+1)}.
(1) 证明：{nan}\{na_n\} 为等差数列； (2) 给定正整数 mm，设函数 f(x)=a1x+a2x2+⋯+amxmf(x) = a_1x + a_2x^2 + \cdots + a_mx^m，求 f′(−2)f'(-2).

2025 · 全国 · 一卷 · 第 16 题 · 解答题

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085分数列★★★★☆
已知函数 f(x)f(x) 的定义域为 R\mathbf{R}，且 f(x)>f(x−1)+f(x−2)f(x)>f(x-1)+f(x-2)， 当 x<3x<3 时 f(x)=xf(x)=x. 则下列结论中一定正确的是（ ）
A.
f(10)>100f(10)>100
B.
f(20)>1000f(20)>1000
C.
f(10)<1000f(10)<1000
D.
f(20)<10000f(20)<10000

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 8 题 · 选择题

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2015分数列★★★★☆
设等差数列 {an}\{a_n\} 的公差为 dd，且 d>1d>1. 令 bn=n2+nanb_n=\frac{n^2+n}{a_n}，记 SnS_n，TnT_n 分别为数列 {an}\{a_n\}，{bn}\{b_n\} 的前 nn 项和.
(1) 若 3a2=3a1+a33a_2=3a_1+a_3，S3+T3=21S_3+T_3=21，求 {an}\{a_n\} 的通项公式； (2) 若 {bn}\{b_n\} 为等差数列，且 S99−T99=99S_{99}-T_{99}=99，求 dd.

2023 · 全国 · 新高考一卷 · 第 20 题 · 解答题

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165分数列★★★★☆
某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为 20 dm×12 dm20\text{ dm}\times 12\text{ dm} 的长方形纸，对折 11 次共可以得到 10 dm×12 dm10\text{ dm}\times 12\text{ dm}，20 dm×6 dm20\text{ dm}\times 6\text{ dm} 两种规格的图形，它们的面积之和 S1=240 dm2S_1=240\text{ dm}^2；对折 22 次共可以得到 5 dm×12 dm5\text{ dm}\times 12\text{ dm}，10 dm×6 dm10\text{ dm}\times 6\text{ dm}，20 dm×3 dm20\text{ dm}\times 3\text{ dm} 三种规格的图形，它们的面积之和 S2=180 dm2S_2=180\text{ dm}^2. 以此类推.
(1) 对折 44 次共可以得到不同规格图形的种数为______； (2) 如果对折 nn 次，那么 ∑k=1nSk=‾ dm2\sum_{k=1}^n S_k=\underline{\hspace{2em}}\text{ dm}^2.

2021 · 全国 · 新高考一卷 · 第 16 题 · 填空题

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16数列★★★★☆
数列 {an}\{a_n\} 满足 an+2+(−1)nan=3n−1a_{n+2}+(-1)^n a_n=3n-1，前 1616 项和为 540540，则 a1=‾a_1=\underline{\hspace{2em}}.

2020 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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16函数与初等函数★★★★☆
若 aa，bb 是函数 f(x)=x2−px+qf(x) = x^2 - px + q （p>0p > 0，q>0q > 0）的两个不同的零点，且 aa，bb，−2-2 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则 p+qp + q 的值等于______.

2015 · 福建 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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10函数与初等函数★★★★☆
已知函数 f(x)=ex+xf(x)=\mathrm{e}^{x}+x. 对于曲线 y=f(x)y=f(x) 上横坐标成等差数列的三个点 AA，BB，CC，给出以下判断：
① △ABC\triangle ABC 一定是钝角三角形； ② △ABC\triangle ABC 可能是直角三角形； ③ △ABC\triangle ABC 可能是等腰三角形； ④ △ABC\triangle ABC 不可能是等腰三角形.
其中，正确的判断是（ ）
A.
①③
B.
①④
C.
②③
D.
②④

2011 · 福建 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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15数列★★★★☆
五位同学围成一圈依序循环报数，规定：
① 第一位同学首次报出的数为 11，第二位同学首次报出的数也为 11，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和； ② 若报出的数为 33 的倍数，则报该数的同学需拍手一次.
已知甲同学第一个报数，当五位同学依序循环报到第100100个数时，甲同学拍手的总次数为______.
\begin{solution} 记第nn个报出的数为FnF_n，则F1=F2=1F_1=F_2=1，且Fn=Fn−1+Fn−2F_n=F_{n-1}+F_{n-2}.模33计算得到 F1F_1，F2F_2，…\ldots，F8≡1F_8\equiv1，11，22，00，22，22，11，0(mod3)0\pmod{3} 又 F9≡F1F_9\equiv F_1，F10≡F2(mod3)F_{10}\equiv F_2\pmod{3}，递推关系相同，所以之后以88为周期.因此FnF_n是33的倍数当且仅当n≡0n\equiv0或4(mod8)4\pmod{8}.
甲同学第一次报第11个数，五人循环，所以甲报数的序号为n=1+5kn=1+5k.报到第100100个数时0⩽k⩽190\leqslant k\leqslant19.条件 1+5k≡01+5k\equiv0或4(mod8)4\pmod{8}分别给出k≡3k\equiv3或7(mod8)7\pmod{8}.在0⩽k⩽190\leqslant k\leqslant19中，这些kk为33，77，1111，1515，1919，共55个.因此甲同学拍手55次. \end{solution}

2009 · 福建 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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19导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=13x3+x2−2f(x) = \frac{1}{3}x^3 + x^2 - 2.
(1) 设 {an}\{a_n\} 是正数组成的数列. 前 nn 项和为 SnS_n，其中 a1=3a_{1} = 3. 若点 (an,an+12−2an+1)(a_{n}, a_{n+1}^{2} - 2a_{n+1})（n∈N∗n \in \mathbf{N}^*）在函数 y=f′(x)y = f'(x) 的图象上，求证：点 (n,Sn)(n, S_{n}) 也在 y=f′(x)y = f'(x) 的图象上； (2) 求函数 f(x)f(x) 在区间 (a−1,a)(a-1, a) 内的极值.

2008 · 福建 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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21数列★★★★☆
数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和为 SnS_n，a1=1a_1 = 1，an+1=2Sna_{n+1} = 2S_n（n∈N∗n \in \mathbf{N}^*）.
(1) 求数列 {an}\{a_n\} 的通项 ana_n. (2) 求数列 {nan}\{na_n\} 的前 nn 项和 TnT_n.

2007 · 福建 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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22数列★★★★☆
已知数列 {an}\{a_n\} 满足 a1=1a_1 = 1，a2=3a_2 = 3，an+2=3an+1−2ana_{n+2} = 3a_{n+1} - 2a_n（n∈N∗n \in \mathbf{N}^*）.
(1) 证明：数列 {an+1−an}\{a_{n+1} - a_n\} 是等比数列； (2) 求数列 {an}\{a_n\} 的通项公式； (3) 若数列 {bn}\{b_n\} 满足 4b1−14b2−1⋯4bn−1=(an+1)bn4^{b_1-1}4^{b_2-1}\cdots 4^{b_n-1} = (a_n + 1)^{b_n}（n∈N∗n \in \mathbf{N}^*），证明：{bn}\{b_n\} 是等差数列.

2006 · 福建 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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20数列★★★★☆
某企业 20032003 年的纯利润为 500 万元500\text{ 万元}，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降. 若不能进行技术改造，预测从今年起每年比上一年纯利润减少 20 万元20\text{ 万元}，今年初该企业一次性投入资金 600 万元600\text{ 万元} 进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第 nn 年（今年为第一年）的利润为 500(1+12n) 万元500\left(1 + \frac{1}{2^{n}}\right)\text{ 万元}（nn 为正整数）.
(1) 设从今年起的前 nn 年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为 An 万元A_n\text{ 万元}，进行技术改造后的累计纯利润为 Bn 万元B_n\text{ 万元}（须扣除技术改造资金），求 AnA_n，BnB_n 的表达式； (2) 依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？

2004 · 福建 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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