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04不等式★★★★☆
嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列 {bn}\{b_n\}：b1=1+1α1b_1=1+\frac{1}{\alpha_1}，b2=1+1α1+1α2b_2=1+\frac{1}{\alpha_1+\frac{1}{\alpha_2}}，b3=1+1α1+1α2+1α3b_3=1+\frac{1}{\alpha_1+\frac{1}{\alpha_2+\frac{1}{\alpha_3}}}，…，依此类推，其中 αk∈N∗\alpha_k\in\mathbf{N}^*（k=1k=1，22，…\dots），则（ ）
A.
b1<b5b_1<b_5
B.
b3<b8b_3<b_8
C.
b6<b2b_6<b_2
D.
b4<b7b_4<b_7

2022 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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19数列★★★★☆
记 SnS_n 为数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和，bnb_n 为数列 {Sn}\{S_n\} 的前 nn 项积，已知 2Sn+1bn=2\frac{2}{S_n}+\frac{1}{b_n}=2.
(1) 证明：数列 {bn}\{b_n\} 是等差数列； (2) 求 {an}\{a_n\} 的通项公式.

2021 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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19数列★★★★☆
设 {an}\{a_n\} 是首项为 11 的等比数列，数列 {bn}\{b_n\} 满足 bn=nan3b_n=\dfrac{na_n}{3}. 已知 a1a_1，3a23a_2，9a39a_3 成等差数列.
(1) 求 {an}\{a_n\} 和 {bn}\{b_n\} 的通项公式； (2) 记 SnS_n 和 TnT_n 分别为 {an}\{a_n\} 和 {bn}\{b_n\} 的前 nn 项和，证明：Tn<Sn2T_n<\dfrac{S_n}{2}.

2021 · 全国 · 乙卷 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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12数列★★★★☆
00-11 周期序列在通信技术中有着重要应用. 若序列 a1a2⋯an⋯a_1a_2\cdots a_n\cdots 满足 ai∈{0,1}a_i\in\{0,1\}（i=1i=1，22，⋯\cdots），且存在正整数 mm，使得 ai+m=aia_{i+m}=a_i（i=1i=1，22，⋯\cdots）成立，则称其为 00-11 周期序列，并称满足 ai+m=aia_{i+m}=a_i（i=1i=1，22，⋯\cdots）的最小正整数 mm 为这个序列的周期. 对于周期为 mm 的 00-11 序列 a1a2⋯an⋯a_1a_2\cdots a_n\cdots，C(k)=1m∑i=1maiai+kC(k)=\dfrac{1}{m}\sum_{i=1}^{m} a_i a_{i+k}（k=1k=1，22，⋯\cdots，m−1m-1）是描述其性质的重要指标，下列周期为 55 的 00-11 序列中，满足 C(k)≤15C(k)\leq \dfrac{1}{5}（k=1k=1，22，33，44）的序列是（ ）
A.
11010⋯11010\cdots
B.
11011⋯11011\cdots
C.
10001⋯10001\cdots
D.
11001⋯11001\cdots

2020 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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21函数与初等函数★★★★☆
设 fn(x)f_{n}(x) 是等比数列 11，xx，x2x^{2}，⋯\cdots，xnx^{n} 的各项和，其中 x>0x > 0，n∈Nn \in \mathbf{N}，n⩾2n \geqslant 2.
(1) 证明：函数 Fn(x)=fn(x)−2F_{n}(x) = f_{n}(x) - 2 在 (12,1)\left(\frac{1}{2}, 1\right) 内有且仅有一个零点（记为 xnx_{n}），且 xn=12+12xnn+1x_{n} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}x_{n}^{n+1}； (2) 设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为 gn(x)g_{n}(x)，比较 fn(x)f_{n}(x) 和 gn(x)g_{n}(x) 的大小，并加以证明.

2015 · 陕西 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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21函数与初等函数★★★★☆
设函数 fn(x)=xn+bx+cf_{n}(x) = x^{n} + bx + c（n∈N+n \in \mathbf{N}_+，bb，c∈Rc \in \mathbf{R}）.
(1) 设 n⩾2n \geqslant 2，b=1b = 1，c=−1c = -1，证明：fn(x)f_n(x) 在区间 (12,1)\left(\frac{1}{2}, 1\right) 内存在唯一零点. (2) 设 n=2n = 2，若对任意 x1x_1，x2∈[−1,1]x_2 \in [-1, 1]，有 ∣f2(x1)−f2(x2)∣⩽4|f_2(x_1) - f_2(x_2)| \leqslant 4，求 bb 的取值范围. (3) 在第（1）问的条件下，设 xnx_{n} 是 fn(x)f_{n}(x) 在 (12,1)\left(\frac{1}{2}, 1\right) 内的零点，判断数列 x2x_{2}，x3x_{3}，⋯\cdots，xnx_{n}，⋯\cdots 的增减性.

2012 · 陕西 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★☆
如图，从点 P1(0,0)P_{1}(0,0) 作 xx 轴的垂线交曲线 y=exy = \mathrm{e}^{x} 于点 Q1(0,1)Q_{1}(0,1)，曲线在 Q1Q_{1} 点处的切线与 xx 轴交于点 P2P_{2}，再从 P2P_{2} 作 xx 轴的垂线交曲线于点 Q2Q_{2}，依次重复上述过程得到一系列点：P1P_{1}，Q1Q_{1}；P2P_{2}，Q2Q_{2}；⋯\cdots；PnP_{n}，QnQ_{n}，记 PkP_{k} 点的坐标为 (xk,0)(x_{k}, 0)（k=1k = 1，22，⋯\cdots，nn）.
(1) 试求 xkx_{k} 与 xk−1x_{k-1} 的关系（2⩽k⩽n2 \leqslant k \leqslant n）； (2) 求 ∣P1Q1∣+∣P2Q2∣+∣P3Q3∣+⋯+∣PnQn∣\left|P_{1}Q_{1}\right|+\left|P_{2}Q_{2}\right|+\left|P_{3}Q_{3}\right|+\cdots+\left|P_{n}Q_{n}\right|.

2011 · 陕西 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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22数列★★★★☆
已知各项全不为零的数列 {ak}\{a_{k}\} 的前 kk 项和为 SkS_{k}，且 Sk=12akak+1S_{k} = \frac{1}{2} a_{k} a_{k + 1}（k∈N∗k \in \mathbf{N}^*），其中 a1=1a_{1} = 1.
(1) 求数列 {ak}\{a_{k}\} 的通项公式； (2) 对任意给定的正整数 nn（n⩾2n \geqslant 2），数列 {bk}\{b_k\} 满足 bk+1bk=k−nak+1\frac{b_{k+1}}{b_k} = \frac{k-n}{a_{k+1}} （k=1k = 1，22，⋯\cdots，n−1n-1），b1=1b_1 = 1. 求 b1+b2+⋯+bnb_1 + b_2 + \cdots + b_n.

2007 · 陕西 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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20数列★★★★☆
已知正项数列 {an}\{a_{n}\}，其前 nn 项和 SnS_{n} 满足 10Sn=an2+5an+610S_{n} = a_{n}^{2} + 5a_{n} + 6，且 a1a_{1}，a3a_{3}，a15a_{15} 成等比数列，求数列 {an}\{a_{n}\} 的通项 ana_{n}.

2006 · 陕西 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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