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145分数列★★★★☆
设实数 qq 满足：存在数列 {an}\{a_n\}，使得对于任意 n∈N∗n\in\mathbf{N}^*，均有 a1+a2+⋯+a3n=n2+na_1+a_2+\cdots+a_{3n}=n^2+n，且 {an}\{a_n\} 中有某连续 99 项 aka_k，ak+1a_{k+1}，⋯\cdots，ak+8a_{k+8} 是公比为 qq 的等比数列，则 qq 的最大值为______．

2026 · 全国 · 一卷 · 第 14 题 · 填空题

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15数列★★★★☆
设 {an}\{a_n\} 与 {bn}\{b_n\} 是两个不同的无穷数列，且都不是常数列. 记集合 M={k∣ak=bk, k∈N∗}M=\{k\mid a_k=b_k,\ k\in \mathbf{N}^*\}，给出下列 4 个结论：
① 若 {an}\{a_n\} 与 {bn}\{b_n\} 均为等差数列，则 MM 中最多有 1 个元素； ② 若 {an}\{a_n\} 与 {bn}\{b_n\} 均为等比数列，则 MM 中最多有 2 个元素； ③ 若 {an}\{a_n\} 为等差数列，{bn}\{b_n\} 为等比数列，则 MM 中最多有 3 个元素； ④ 若 {an}\{a_n\} 为递增数列，{bn}\{b_n\} 为递减数列，则 MM 中最多有 1 个元素.
其中正确结论的序号是______.

2024 · 北京 · 第 15 题 · 填空题

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15数列★★★★☆
已知数列 {an}\{a_n\} 各项均为正数，其前 nn 项和 SnS_n 满足 anSn=9a_nS_n=9（n=1n=1，22，…\dots）. 给出下列四个结论：
① {an}\{a_n\} 的第 2 项小于 3； ② {an}\{a_n\} 为等比数列； ③ {an}\{a_n\} 为递减数列； ④ {an}\{a_n\} 中存在小于 1100\dfrac{1}{100} 的项.
其中所有正确结论的序号是______.

2022 · 北京 · 第 15 题 · 填空题

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165分数列★★★★☆
某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为 20 dm×12 dm20\text{ dm}\times 12\text{ dm} 的长方形纸，对折 11 次共可以得到 10 dm×12 dm10\text{ dm}\times 12\text{ dm}，20 dm×6 dm20\text{ dm}\times 6\text{ dm} 两种规格的图形，它们的面积之和 S1=240 dm2S_1=240\text{ dm}^2；对折 22 次共可以得到 5 dm×12 dm5\text{ dm}\times 12\text{ dm}，10 dm×6 dm10\text{ dm}\times 6\text{ dm}，20 dm×3 dm20\text{ dm}\times 3\text{ dm} 三种规格的图形，它们的面积之和 S2=180 dm2S_2=180\text{ dm}^2. 以此类推.
(1) 对折 44 次共可以得到不同规格图形的种数为______； (2) 如果对折 nn 次，那么 ∑k=1nSk=‾ dm2\sum_{k=1}^n S_k=\underline{\hspace{2em}}\text{ dm}^2.

2021 · 全国 · 新高考一卷 · 第 16 题 · 填空题

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12数列★★★★☆
已知 ai∈N∗a_i\in \mathbf{N}^*（i=1i=1，22，…\dots，99），对任意的 k∈N∗k\in \mathbf{N}^*（2≤k≤82\le k\le 8），ak=ak−1+1a_k=a_{k-1}+1 或 ak=ak+1−1a_k=a_{k+1}-1 中有且仅有一个成立，a1=6a_1=6，a9=9a_9=9，则 a1+⋯+a9a_1+\cdots+a_9 的最小值为______.

2021 · 上海 · 第 12 题 · 填空题

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16数列★★★★☆
数列 {an}\{a_n\} 满足 an+2+(−1)nan=3n−1a_{n+2}+(-1)^n a_n=3n-1，前 1616 项和为 540540，则 a1=‾a_1=\underline{\hspace{2em}}.

2020 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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11解析几何★★★★☆
已知数列 {an}\{a_n\} 满足 an<an+1a_n<a_{n+1}（n∈N∗n\in\mathbf{N}^*），若点 Pn(n,an)P_n(n,a_n) 在双曲线 x26−y22=1\frac{x^2}{6}-\frac{y^2}{2}=1 上，则 lim⁡n→∞∣PnPn+1∣=\displaystyle\lim_{n\to\infty}|P_nP_{n+1}|=______.

2019 · 上海 · 第 11 题 · 填空题

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10数列★★★★☆
已知数列 {an}\{a_n\} 和 {bn}\{b_n\}，其中 an=n2a_n=n^2，n∈N∗n\in\mathbf{N}^*，{bn}\{b_n\} 的项是互不相等的正整数. 若对于任意 n∈N∗n\in\mathbf{N}^*，{bn}\{b_n\} 的第 ana_n 项都等于 {an}\{a_n\} 的第 bnb_n 项，则 lg⁡(b1b4b9b16)lg⁡(b1b2b3b4)=‾\dfrac{\lg(b_1b_4b_9b_{16})}{\lg(b_1b_2b_3b_4)}=\underline{\hspace{2em}}.

2017 · 上海 · 第 10 题 · 填空题

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11数列★★★★☆
无穷数列 {an}\{a_n\} 由 kk 个不同的数组成，SnS_n 为 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和. 若对任意的 n∈N∗n\in\mathbf{N}^*，Sn∈{2,3}S_n\in\{2,3\}，则 kk 的最大值为______.

2016 · 上海 · 理 · 第 11 题 · 填空题

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14数列★★★★☆
无穷数列 {an}\{a_n\} 由 kk 个不同的数组成，SnS_n 为 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和. 若对任意的 n∈N∗n\in\mathbf{N}^*，Sn∈{2,3}S_n\in\{2,3\}，则 kk 的最大值为______.

2016 · 上海 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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16数列★★★★☆
设 SnS_n 是数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和，且 a1=−1a_1=-1，an+1=SnSn+1a_{n+1}=S_nS_{n+1}，则 Sn=S_n=______.

2015 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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16函数与初等函数★★★★☆
若 aa，bb 是函数 f(x)=x2−px+qf(x) = x^2 - px + q （p>0p > 0，q>0q > 0）的两个不同的零点，且 aa，bb，−2-2 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则 p+qp + q 的值等于______.

2015 · 福建 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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16数列★★★★☆
等差数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和为 SnS_n，已知 S10=0S_{10} = 0，S15=25S_{15} = 25，则 nSnnS_n 的最小值为______.

2013 · 全国 · 新课程二卷 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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14数列★★★★☆
在正项等比数列 {an}\{a_n\} 中，a5=12a_5=\frac{1}{2}，a6+a7=3a_6+a_7=3，则满足 a1+a2+⋯+an>a1a2⋯ana_1+a_2+\cdots+a_n>a_1a_2\cdots a_n 的最大正整数 nn 的值为______.

2013 · 江苏 · 第 14 题 · 填空题

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15数列★★★★☆
设 SnS_{n} 为数列 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和，Sn=(−1)nan−12nS_{n} = (-1)^{n}a_{n} - \frac{1}{2^{n}}，n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}，则
(1) a3=‾a_{3} =\underline{\hspace{2em}}； (2) S1+S2+⋯+S100=‾S_{1} + S_{2} + \dots + S_{100} =\underline{\hspace{2em}}.

2013 · 湖南 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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15数列★★★★☆
对于 E={a1,a2,⋯ ,a100}E = \{a_1, a_2, \cdots, a_{100}\} 的子集 X={ai1,ai2,⋯ ,aik}X = \{a_{i_1}, a_{i_2}, \cdots, a_{i_k}\}，定义 XX 的“特征数列”为 x1x_1，x2x_2，⋯\cdots，x100x_{100}，其中 xi1=xi2=⋯=xik=1x_{i_1} = x_{i_2} = \cdots = x_{i_k} = 1，其余项均为 00，例如：子集 {a2,a3}\{a_2, a_3\} 的“特征数列”为 00，11，11，00，00，⋯\cdots，00.
(1) 子集 {a1,a3,a5}\{a_{1}, a_{3}, a_{5}\} 的“特征数列”的前 3 项和等于______. (2) 若 EE 的子集 PP 的“特征数列” p1p_{1}，p2p_{2}，⋯\cdots，p100p_{100} 满足 p1=1p_{1}=1，pi+pi+1=1p_{i}+p_{i+1}=1，1⩽i⩽991\leqslant i\leqslant99；EE 的子集 QQ 的“特征数列” q1q_{1}，q2q_{2}，⋯\cdots，q100q_{100} 满足 q1=1q_{1}=1，qj+qj+1+qj+2=1q_{j}+q_{j+1}+q_{j+2}=1，1⩽j⩽981\leqslant j\leqslant98，则 P∩QP\cap Q 的元素个数为______.

2013 · 湖南 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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16数列★★★★☆
数列 {an}\{a_{n}\} 满足 an+1+(−1)nan=2n−1a_{n + 1} + (-1)^n a_n = 2n - 1，则 {an}\{a_n\} 的前 6060 项和为______.

2012 · 全国 · 新课程卷 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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17数列★★★★☆
传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数. 他们研究过如图所示的三角形数：
将三角形数 1, 3, 6, 10, …\dots 记为数列 {an}\{a_{n}\}，记可被 5 整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列 {bn}\{b_{n}\}，可以推测：
(1) b2012b_{2012} 是数列 {an}\{a_{n}\} 中的第______ 项； (2) b2k−1=‾b_{2k-1} =\underline{\hspace{2em}}（用 kk 表示）

2012 · 湖北 · 文 · 第 17 题 · 填空题

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14函数与初等函数★★★★☆
已知点 O(0,0)O(0,0)，Q0(0,1)Q_0(0,1) 和点 R0(3,1)R_0(3,1)，记 Q0R0Q_0R_0 的中点为 P1P_1，取 Q0P1Q_0P_1 和 P1R0P_1R_0 中的一条，记其端点为 Q1Q_1，R1R_1，使之满足 (∣OQ1∣−2)(∣OR1∣−2)<0(|OQ_1| - 2)(|OR_1| - 2) < 0，记 Q1R1Q_1R_1 的中点为 P2P_2，取 Q1P2Q_1P_2 和 P2R1P_2R_1 中的一条，记其端点为 Q2Q_2，R2R_2，使之满足 (∣OQ2∣−2)(∣OR2∣−2)<0(|OQ_2| - 2)(|OR_2| - 2) < 0. 依次下去，得到 P1P_1，P2P_2，⋯\cdots，PnP_n，⋯\cdots，则 lim⁡n→∞∣Q0Pn∣=‾\lim\limits_{n \to \infty} \left|Q_0P_n\right| =\underline{\hspace{2em}}.

2011 · 上海 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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13数列★★★★☆
设 1=a1⩽a2⩽⋯⩽a71=a_{1}\leqslant a_{2}\leqslant \cdots \leqslant a_{7}，其中 a1a_{1}，a3a_{3}，a5a_{5}，a7a_{7} 成公比为 qq 的等比数列，a2a_{2}，a4a_{4}，a6a_{6} 成公差为 11 的等差数列，则 qq 的最小值是______.

2011 · 江苏 · 第 13 题 · 填空题

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16计数原理与组合数学★★★★☆
对于 n∈N∗n \in \mathbf{N}^*，将 nn 表示为 n=a0×2k+a1×2k−1+a2×2k−2+⋯+ak−1×21+ak×20n = a_0 \times 2^k + a_1 \times 2^{k-1} + a_2 \times 2^{k-2} + \cdots + a_{k-1} \times 2^1 + a_k \times 2^0. 当 i=0i = 0 时，ai=1a_i = 1，当 1⩽i⩽k1 \leqslant i \leqslant k 时，aia_i 为 0 或 1. 记 I(n)I(n) 为上述表示中 aia_i 为 0 的个数 （例如： 1=1×201 = 1 \times 2^0，4=1×22+0×21+0×204 = 1 \times 2^2 + 0 \times 2^1 + 0 \times 2^0，则 I(1)=0I(1) = 0，I(4)=2I(4) = 2），则
(1) I(12)=I(12) =______； (2) ∑n=11272I(n)=\displaystyle\sum_{n=1}^{127} 2^{I(n)}=______.

2011 · 湖南 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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10数列★★★★☆
已知某试验范围为 [10,90][10,90]，若用分数法进行 44 次优选试验，则第二次试点可以是______.

2011 · 湖南 · 文 · 第 10 题 · 填空题

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15数列★★★★☆
设 {an}\{a_n\} 是等比数列，公比 q=2q = \sqrt{2}. SnS_n 为 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和. 记 Tn=17Sn−S2nan+1T_n = \frac{17S_n - S_{2n}}{a_{n+1}}， n∈N∗\ n \in \mathbf{N}^{*}. 设 Tn0T_{n_0} 为数列 {Tn}\{T_n\} 的最大项，则 n0=‾n_0 =\underline{\hspace{2em}}.

2010 · 天津 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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14数列★★★★☆
设 nn 阶方阵
An=(135⋯2n−12n+12n+32n+5⋯4n−14n+14n+34n+5⋯6n−1⋮⋮⋮⋮⋮2n(n−1)+12n(n−1)+32n(n−1)+5⋯2n2−1)A_n=\begin{pmatrix} 1 & 3 & 5 & \cdots & 2n-1 \\ 2n+1 & 2n+3 & 2n+5 & \cdots & 4n-1 \\ 4n+1 & 4n+3 & 4n+5 & \cdots & 6n-1 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 2n(n-1)+1 & 2n(n-1)+3 & 2n(n-1)+5 & \cdots & 2n^2-1 \end{pmatrix}
. 任取 AnA_n 中的一个元素，记为 x1x_1；划去 x1x_1 所在的行和列，将剩下的元素按原来的位置关系组成 n−1n-1 阶方阵 An−1A_{n-1}，任取 An−1A_{n-1} 中的一个元素，记为 x2x_2；划去 x2x_2 所在的行和列，……；将最后剩下的一个元素记为 xnx_n. 记 Sn=x1+x2+⋯+xnS_n=x_1+x_2+\cdots+x_n，则 lim⁡n→∞Snn3+1=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{S_n}{n^3+1}=______.

2010 · 上海 · 春季 · 第 14 题 · 填空题

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15数列★★★★☆
若数列 {an}\{a_n\} 满足：对任意的 n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}，只有有限个正整数 mm 使得 am<na_m < n 成立. 记这样的 mm 的个数为 (an)∗(a_n)^*，则得到一个新数列 {(an)∗}\{(a_n)^*\}. 例如，若数列 {an}\{a_n\} 是 11，22，33，⋯\cdots，nn，⋯\cdots，则数列 {(an)∗}\{(a_n)^*\} 是 00，11，22，⋯\cdots，n−1n - 1，⋯\cdots. 已知对任意的 n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}，an=n2a_n = n^2，则 (a5)∗=‾(a_5)^* =\underline{\hspace{2em}}，((an)∗)∗=‾((a_n)^*)^* =\underline{\hspace{2em}}.

2010 · 湖南 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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