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16函数与初等函数★★★★☆
设 λ∈R\lambda\in\mathbf{R}，数列 {an}\{a_n\}，{bn}\{b_n\}，{cn}\{c_n\} 的通项分别为 an=10n−9a_n=10n-9，bn=2nb_n=2^n，cn=λan+(1−λ)bnc_n=\lambda a_n+(1-\lambda)b_n. 若对任意 λ∈[0,1]\lambda\in[0,1]，ana_n，bnb_n，cnc_n 均能作为三角形的三边长，则满足条件的正整数 nn 有（ ）
A.
1个
B.
3个
C.
4个
D.
无穷多个

2025 · 上海 · 第 16 题 · 选择题

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085分数列★★★★☆
已知函数 f(x)f(x) 的定义域为 R\mathbf{R}，且 f(x)>f(x−1)+f(x−2)f(x)>f(x-1)+f(x-2)， 当 x<3x<3 时 f(x)=xf(x)=x. 则下列结论中一定正确的是（ ）
A.
f(10)>100f(10)>100
B.
f(20)>1000f(20)>1000
C.
f(10)<1000f(10)<1000
D.
f(20)<10000f(20)<10000

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 8 题 · 选择题

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10数列★★★★☆
已知数列 {an}\{a_n\} 满足 an+1=14(an−6)3+6a_{n+1}=\frac{1}{4}(a_n-6)^3+6（n=1n=1，22，33，…\dots），则（ ）
A.
当 a1=3a_1=3 时，{an}\{a_n\} 为递减数列，且存在常数 M≤0M\le 0，使得 an>Ma_n>M 恒成立
B.
当 a1=5a_1=5 时，{an}\{a_n\} 为递增数列，且存在常数 M≤6M\le 6，使得 an<Ma_n<M 恒成立
C.
当 a1=7a_1=7 时，{an}\{a_n\} 为递减数列，且存在常数 M>6M>6，使得 an>Ma_n>M 恒成立
D.
当 a1=9a_1=9 时，{an}\{a_n\} 为递增数列，且存在常数 M>0M>0，使得 an<Ma_n<M 恒成立

2023 · 北京 · 第 10 题 · 选择题

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16数列★★★★☆
已知数列 {an}\{a_n\} 的各项均为实数，SnS_n 为其前 nn 项和，若对任意 k>2022k>2022，都有 ∣Sk∣>∣Sk+1∣\left|S_k\right|>\left|S_{k+1}\right|，则下列说法可能成立的是（ ）.
A.
a1,a3,a5,⋯ ,a2n−1a_1,a_3,a_5,\cdots,a_{2n-1} 为等差数列，a2,a4,a6,⋯ ,a2na_2,a_4,a_6,\cdots,a_{2n} 为等比数列
B.
a1a_1，a3a_3，a5a_5，⋯\cdots，a2n−1a_{2n-1} 为等比数列，a2a_2，a4a_4，a6a_6，⋯\cdots，a2na_{2n} 为等差数列
C.
a1a_1，a2a_2，a3a_3，⋯\cdots，a2022a_{2022} 为等差数列，a2022a_{2022}，a2023a_{2023}，a2024a_{2024}，⋯\cdots，ana_n 为等比数列
D.
a1a_1，a2a_2，a3a_3，⋯\cdots，a2022a_{2022} 为等比数列，a2022a_{2022}，a2023a_{2023}，a2024a_{2024}，⋯\cdots，ana_n 为等差数列

2023 · 上海 · 春季 · 第 16 题 · 选择题

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04不等式★★★★☆
嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列 {bn}\{b_n\}：b1=1+1α1b_1=1+\frac{1}{\alpha_1}，b2=1+1α1+1α2b_2=1+\frac{1}{\alpha_1+\frac{1}{\alpha_2}}，b3=1+1α1+1α2+1α3b_3=1+\frac{1}{\alpha_1+\frac{1}{\alpha_2+\frac{1}{\alpha_3}}}，…，依此类推，其中 αk∈N∗\alpha_k\in\mathbf{N}^*（k=1k=1，22，…\dots），则（ ）
A.
b1<b5b_1<b_5
B.
b3<b8b_3<b_8
C.
b6<b2b_6<b_2
D.
b4<b7b_4<b_7

2022 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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12数列★★★★☆
00-11 周期序列在通信技术中有着重要应用. 若序列 a1a2⋯an⋯a_1a_2\cdots a_n\cdots 满足 ai∈{0,1}a_i\in\{0,1\}（i=1i=1，22，⋯\cdots），且存在正整数 mm，使得 ai+m=aia_{i+m}=a_i（i=1i=1，22，⋯\cdots）成立，则称其为 00-11 周期序列，并称满足 ai+m=aia_{i+m}=a_i（i=1i=1，22，⋯\cdots）的最小正整数 mm 为这个序列的周期. 对于周期为 mm 的 00-11 序列 a1a2⋯an⋯a_1a_2\cdots a_n\cdots，C(k)=1m∑i=1maiai+kC(k)=\dfrac{1}{m}\sum_{i=1}^{m} a_i a_{i+k}（k=1k=1，22，⋯\cdots，m−1m-1）是描述其性质的重要指标，下列周期为 55 的 00-11 序列中，满足 C(k)≤15C(k)\leq \dfrac{1}{5}（k=1k=1，22，33，44）的序列是（ ）
A.
11010⋯11010\cdots
B.
11011⋯11011\cdots
C.
10001⋯10001\cdots
D.
11001⋯11001\cdots

2020 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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08数列★★★★☆
在等差数列 {an}\{a_n\} 中，a1=−9a_1=-9，a3=−1a_3=-1. 记 Tn=a1a2⋯anT_n=a_1a_2\cdots a_n（n=1n=1，22，…\dots），则数列 {Tn}\{T_n\}（ ）
A.
有最大项，有最小项
B.
有最大项，无最小项
C.
无最大项，有最小项
D.
无最大项，无最小项

2020 · 北京 · 第 8 题 · 选择题

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16数列★★★★☆
数列 {an}\{a_n\} 各项均为实数，对任意 n∈N∗n\in\mathbb N^* 满足 an+3=ana_{n+3}=a_n，且行列式
∣anan+1an+2an+3∣=c\begin{vmatrix}a_n&a_{n+1}\\a_{n+2}&a_{n+3}\end{vmatrix}=c
为定值，则下列选项中不可能的是（ ）.
A.
a1=1,c=1a_1=1,c=1
B.
a1=2,c=2a_1=2,c=2
C.
a1=−1,c=4a_1=-1,c=4
D.
a1=2,c=0a_1=2,c=0

2020 · 上海 · 春季 · 第 16 题 · 选择题

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10数列★★★★☆
已知 a1a_1，a2a_2，a3a_3，a4a_4 成等比数列，且 a1+a2+a3+a4=ln⁡(a1+a2+a3)a_1+a_2+a_3+a_4=\ln(a_1+a_2+a_3). 若 a1>1a_1>1，则（ ）
A.
a1<a3a_1<a_3，a2<a4a_2<a_4
B.
a1>a3a_1>a_3，a2<a4a_2<a_4
C.
a1<a3a_1<a_3，a2>a4a_2>a_4
D.
a1>a3a_1>a_3，a2>a4a_2>a_4

2018 · 浙江 · 第 10 题 · 选择题

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12数列★★★★☆
几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件. 为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动. 这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列 11，11，22，11，22，44，11，22，44，88，11，22，44，88，1616，…\dots，其中第一项是 202^0，接下来的两项是 202^0，212^1，再接下来的三项是 202^0，212^1，222^2，依此类推. 求满足如下条件的最小整数 NN：N>100N>100 且该数列的前 NN 项和为 22 的整数幂. 那么该款软件的激活码是（ ）
A.
440440
B.
330330
C.
220220
D.
110110

2017 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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08数列★★★★☆
如图，点列 {An}\{A_n\}，{Bn}\{B_n\} 分别在某锐角的两边上，且 ∣AnAn+1∣=∣An+1An+2∣|A_nA_{n+1}|=|A_{n+1}A_{n+2}|，An≠An+2A_n\ne A_{n+2}，n∈N∗n\in\mathbf{N}^*，∣BnBn+1∣=∣Bn+1Bn+2∣|B_nB_{n+1}|=|B_{n+1}B_{n+2}|，Bn≠Bn+2B_n\ne B_{n+2}，n∈N∗n\in\mathbf{N}^*（P≠QP\ne Q 表示点 PP 与点 QQ 不重合）. 若 dn=∣AnBn∣d_n=|A_nB_n|，SnS_n 为 △AnBnBn+1\triangle A_nB_nB_{n+1} 的面积，则（ ）
A.
{Sn}\{S_n\} 是等差数列
B.
{Sn2}\{S_n^2\} 是等差数列
C.
{dn}\{d_n\} 是等差数列
D.
{dn2}\{d_n^2\} 是等差数列

2016 · 浙江 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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18解析几何★★★★☆
设 Pn(xn,yn)P_{n}(x_{n}, y_{n}) 是直线 2x−y=nn+12x - y = \frac{n}{n + 1}（n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}）与圆 x2+y2=2x^{2} + y^{2} = 2 在第一象限的交点，则极限 lim⁡n→∞yn−1xn−1=\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{y_{n} - 1}{x_{n} - 1} =（ ）
A.
−1-1
B.
−12-\frac{1}{2}
C.
1
D.
2

2015 · 上海 · 理 · 第 18 题 · 选择题

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12数列★★★★☆
设 △AnBnCn\triangle A_{n}B_{n}C_{n} 的三边长分别为 ana_{n}，bnb_{n}，cnc_{n}，△AnBnCn\triangle A_{n}B_{n}C_{n} 的面积为 SnS_{n}，n=1n = 1，22，33，⋯\cdots，若 b1>c1b_{1} > c_{1}，b1+c1=2a1b_{1} + c_{1} = 2a_{1}，an+1=ana_{n+1} = a_{n}，bn+1=cn+an2b_{n+1} = \frac{c_{n} + a_{n}}{2}，cn+1=bn+an2c_{n+1} = \frac{b_{n} + a_{n}}{2}，则（ ）
A.
{Sn}\{S_{n}\} 为递减数列
B.
{Sn}\{S_{n}\} 为递增数列
C.
{S2n−1}\{S_{2n - 1}\} 为递增数列，{S2n}\{S_{2n}\} 为递减数列
D.
{S2n−1}\{S_{2n - 1}\} 为递减数列，{S2n}\{S_{2n}\} 为递增数列

2013 · 全国 · 新课程一卷 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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12数列★★★★☆
数列 {an}\{a_{n}\} 满足 an+1+(−1)nan=2n−1a_{n + 1} + (-1)^{n}a_{n} = 2n - 1，则 {an}\{a_{n}\} 的前 6060 项和为（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
\begin{solution} 当 n=2k−1n=2k-1 时，递推式为 a2k−a2k−1=4k−3a_{2k}-a_{2k-1}=4k-3；当 n=2kn=2k 时，递推式为 a2k+1+a2k=4k−1a_{2k+1}+a_{2k}=4k-1. 令 uk=a2k−1u_k=a_{2k-1}，则由前式得 a2k=uk+4k−3a_{2k}=u_k+4k-3，代入后式得 uk+1=2−uku_{k+1}=2-u_k. 于是 uk=a1u_k=a_1（kk 为奇数），uk=2−a1u_k=2-a_1（kk 为偶数）. 对每个 j=1j=1，22，…\ldots，1515，有 a4j−3+a4j−2+a4j−1+a4j=16j−6a_{4j-3}+a_{4j-2}+a_{4j-1}+a_{4j}=16j-6. 所以 ∑n=160an=∑j=115(16j−6)=16⋅15⋅162−6⋅15=1830\sum_{n=1}^{60}a_n=\sum_{j=1}^{15}(16j-6)=16\cdot\frac{15\cdot16}{2}-6\cdot15=1830，应选 D. \end{solution}
A.
36903690
B.
36603660
C.
18451845
D.
18301830

2012 · 全国 · 新课程卷 · 文 · 第 12 题 · 选择题

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18数列★★★★☆
设 an=1nsin⁡nπ25a_{n} = \frac{1}{n}\sin \frac{n\pi}{25}，Sn=a1+a2+⋯+anS_{n} = a_{1} + a_{2} + \cdots + a_{n}. 在 S1S_{1}，S2S_{2}，⋯\cdots，S100S_{100} 中，正数的个数是（ ）
A.
25
B.
50
C.
75
D.
100

2012 · 上海 · 理 · 第 18 题 · 选择题

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12数列★★★★☆
设函数 f(x)=2x−cos⁡xf(x) = 2x - \cos x，{an}\{a_n\} 是公差为 π8\frac{\pi}{8} 的等差数列，f(a1)+f(a2)+⋯+f(a5)=5πf(a_1) + f(a_2) + \cdots + f(a_5) = 5\pi，则 [f(a3)]2−a1a5=\left[f(a_3)\right]^2 - a_1a_5 =（ ）
A.
0
B.
116π2\frac{1}{16}\pi^2
C.
18π2\frac{1}{8}\pi^2
D.
1316π2\frac{13}{16}\pi^2

2012 · 四川 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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12数列★★★★☆
设函数 f(x)=(x−3)3+x−1f(x) = (x - 3)^3 + x - 1，{an}\{a_n\} 是公差不为 0 的等差数列，f(a1)+f(a2)+⋯+f(a7)=14f(a_1) + f(a_2) + \dots + f(a_7) = 14，则 a1+a2+⋯+a7=a_1 + a_2 + \dots + a_7 =（ ）
A.
0
B.
7
C.
14
D.
21

2012 · 四川 · 文 · 第 12 题 · 选择题

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18数列★★★★☆
设 {an}\{a_n\} 是各项为正数的无穷数列，AiA_i 是边长为 aia_i，ai+1a_{i+1} 的矩形面积 （i=1i = 1，22，⋯\cdots），则 {An}\{A_n\} 为等比数列的充要条件为（ ）
A.
{an}\{a_n\} 是等比数列
B.
{a1,a3,⋯ ,a2n−1,⋯ }\{a_1, a_3, \cdots, a_{2n-1}, \cdots\} 或 {a2,a4,⋯ ,a2n,⋯ }\{a_2, a_4, \cdots, a_{2n}, \cdots\} 是等比数列
C.
{a1,a3,⋯ ,a2n−1,⋯ }\{a_1, a_3, \cdots, a_{2n-1}, \cdots\} 和 {a2,a4,⋯ ,a2n,⋯ }\{a_2, a_4, \cdots, a_{2n}, \cdots\} 均是等比数列
D.
{a1,a3,⋯ ,a2n−1,⋯ }\{a_1, a_3, \cdots, a_{2n-1}, \cdots\} 和 {a2,a4,⋯ ,a2n,⋯ }\{a_2, a_4, \cdots, a_{2n}, \cdots\} 均是等比数列，且公比相同

2011 · 上海 · 理 · 第 18 题 · 选择题

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10函数与初等函数★★★★☆
已知函数 f(x)=ex+xf(x)=\mathrm{e}^{x}+x. 对于曲线 y=f(x)y=f(x) 上横坐标成等差数列的三个点 AA，BB，CC，给出以下判断：
① △ABC\triangle ABC 一定是钝角三角形； ② △ABC\triangle ABC 可能是直角三角形； ③ △ABC\triangle ABC 可能是等腰三角形； ④ △ABC\triangle ABC 不可能是等腰三角形.
其中，正确的判断是（ ）
A.
①③
B.
①④
C.
②③
D.
②④

2011 · 福建 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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08数列★★★★☆
已知两个等差数列 {an}\{a_{n}\} 和 {bn}\{b_{n}\} 的前 nn 项分别为 AnA_{n} 和 BnB_{n}，且 AnBn=7n+45n+3\frac{A_{n}}{B_{n}} = \frac{7n + 45}{n + 3}，则使得 anbn\frac{a_{n}}{b_{n}} 为整数的正整数 nn 的个数是（\quad）
A.
22
B.
33
C.
44
D.
55

2007 · 湖北 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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07数列★★★★☆
若 aa 是 1+2b1 + 2b 与 1−2b1 - 2b 的等比中项，则 2ab∣a∣+2∣b∣\frac{2ab}{|a| + 2|b|} 的最大值为（ ）
A.
255\frac{2\sqrt{5}}{5}
B.
24\frac{\sqrt{2}}{4}
C.
55\frac{\sqrt{5}}{5}
D.
22\frac{\sqrt{2}}{2}

2007 · 重庆 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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12函数与初等函数★★★★☆
一给定函数 y=f(x)y = f(x) 的图象在下列图中，并且对任意 a1∈(0,1)a_{1} \in (0,1)，由关系式 an+1=f(an)a_{n+1} = f(a_n) 得到的数列 {an}\{a_n\} 满足 an+1>ana_{n+1} > a_n（n∈N∗n \in \mathbf{N}^*），则该函数的图象是（ ）
\begin{answer} A \end{answer}
\begin{solution} 由于 a1a_1 可以是 (0,1)(0,1) 中的任意数，令 a1=xa_1=x，则由 a2>a1a_2>a_1 必须有 f(x)>xf(x)>x（0<x<10<x<1）. 因此函数图象在开区间 0<x<10<x<1 内必须位于直线 y=xy=x 的上方；同时，为了使递推对任意这样的初值继续成立，图象还应把 (0,1)(0,1) 映入自身. 图 A 满足这两个条件：对 0<x<10<x<1，有 x<f(x)<1x<f(x)<1，所以由归纳法可得 0<an<10<a_n<1 且 an+1>ana_{n+1}>a_n. 图 B、C、D 均存在 x∈(0,1)x\in(0,1) 使图象不在直线 y=xy=x 上方，不能满足题设. 故选 A. \end{solution}
A.
B.
C.
D.

2005 · 辽宁 · 第 12 题 · 选择题

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12计数原理与组合数学★★★★☆
将 11，22，⋯\cdots，99 这 99 个数平均分成三组，则每组的三个数都成等差数列的概率为（ ）
A.
156\frac{1}{56}
B.
170\frac{1}{70}
C.
1336\frac{1}{336}
D.
1420\frac{1}{420}

2005 · 江西 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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09数列★★★★☆
若数列 {an}\{a_n\} 是等差数列，首项 a1>0a_1>0，a2003+a2004>0a_{2003}+a_{2004}>0，a2003⋅a2004<0a_{2003}\cdot a_{2004}<0，则使前 nn 项和 Sn>0S_n>0 成立的最大自然数 nn 是（ ）
A.
40054005
B.
40064006
C.
40074007
D.
40084008

2004 · 重庆 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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09数列★★★★☆
若数列 {an}\{a_{n}\} 是等差数列，首项 a1>0a_{1}>0，a2003+a2004>0a_{2003}+a_{2004}>0，a2003⋅a2004<0a_{2003}\cdot a_{2004}<0，则使前 nn 项和 Sn>0S_{n}>0 成立的最大自然数 nn 是（ ）
A.
40054005
B.
40064006
C.
40074007
D.
40084008

2004 · 重庆 · 文 · 第 9 题 · 选择题

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