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共找到 216 题
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1615分数列★★★★☆
设数列 {an}\{a_n\} 满足 a1=3a_1 = 3，an+1n=ann+1+1n(n+1)\frac{a_{n+1}}{n} = \frac{a_n}{n+1} + \frac{1}{n(n+1)}.
(1) 证明：{nan}\{na_n\} 为等差数列； (2) 给定正整数 mm，设函数 f(x)=a1x+a2x2+⋯+amxmf(x) = a_1x + a_2x^2 + \cdots + a_mx^m，求 f′(−2)f'(-2).

2025 · 全国 · 一卷 · 第 16 题 · 解答题

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19数列★★★★☆
已知数列 {an}\{a_n\} 为等差数列，{bn}\{b_n\} 为等比数列，a1=b1=2a_1=b_1=2，a2=b2+1a_2=b_2+1，a3=b3a_3=b_3.
(1) 求 {an}\{a_n\}，{bn}\{b_n\} 的通项； (2) ∀n∈N∗\forall n\in\mathbf{N}^*，I={0,1}I=\{0,1\}，定义 Tn={p1a1b1+p2a2b2+⋯+pnanbn∣pi∈I,i=1,…,n}T_n=\{p_1a_1b_1+p_2a_2b_2+\cdots+p_na_nb_n\mid p_i\in I,i=1,\dots,n\}.
(i) 求证：对任意 t∈Tnt\in T_n，有 t<an+1bn+1t<a_{n+1}b_{n+1}； (ii) 求 TnT_n 的所有元素之和.

2025 · 天津 · 第 19 题 · 解答题

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2015分数列★★★★☆
设等差数列 {an}\{a_n\} 的公差为 dd，且 d>1d>1. 令 bn=n2+nanb_n=\frac{n^2+n}{a_n}，记 SnS_n，TnT_n 分别为数列 {an}\{a_n\}，{bn}\{b_n\} 的前 nn 项和.
(1) 若 3a2=3a1+a33a_2=3a_1+a_3，S3+T3=21S_3+T_3=21，求 {an}\{a_n\} 的通项公式； (2) 若 {bn}\{b_n\} 为等差数列，且 S99−T99=99S_{99}-T_{99}=99，求 dd.

2023 · 全国 · 新高考一卷 · 第 20 题 · 解答题

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1817分数列★★★★☆
已知 {an}\{a_n\} 为等差数列，bn=an−6b_n=a_n-6（nn 为奇数），bn=2anb_n=2a_n（nn 为偶数）. 记 SnS_n，TnT_n 分别为 {an}\{a_n\}，{bn}\{b_n\} 的前 nn 项和，且 S4=32S_4=32，T3=16T_3=16.
(1) 求 {an}\{a_n\} 的通项公式； (2) 证明：当 n>5n>5 时，Tn>SnT_n>S_n.

2023 · 全国 · 新高考二卷 · 第 18 题 · 解答题

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19数列★★★★☆
已知 {an}\{a_n\} 是等差数列，a2+a5=16a_2+a_5=16，a5−a3=4a_5-a_3=4.
(1) 求 {an}\{a_n\} 的通项公式和 ∑i=2n−12n−1ai\displaystyle\sum_{i=2^{n-1}}^{2^n-1}a_i； (2) 已知 {bn}\{b_n\} 为等比数列，对于任意 k∈N∗k\in \mathbf{N}^*，若 2k−1≤n≤2k−12^{k-1}\le n\le 2^k-1，则 bk<an<bk+1b_k<a_n<b_{k+1}.
(i) 当 k≥2k\ge 2 时，求证：2k−1<bk<2k+12^k-1<b_k<2^k+1； (ii) 求 {bn}\{b_n\} 的通项公式及其前 nn 项和.

2023 · 天津 · 第 19 题 · 解答题

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18数列★★★★☆
设 {an}\{a_n\} 为等差数列，{bn}\{b_n\} 为等比数列，且 a1=b1=a2−b2=a3−b3=1a_1=b_1=a_2-b_2=a_3-b_3=1.
(1) 求 {an}\{a_n\} 和 {bn}\{b_n\} 的通项公式； (2) 记 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和为 SnS_n，求证：(Sn+1+an+1)bn=Sn+1bn+1−Snbn\left(S_{n+1}+a_{n+1}\right)b_n=S_{n+1}b_{n+1}-S_nb_n； (3) 求 ∑k=12n[ak+1−(−1)kak]bk\displaystyle\sum_{k=1}^{2n}\left[a_{k+1}-(-1)^ka_k\right]b_k.

2022 · 天津 · 第 18 题 · 解答题

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18数列★★★★☆
已知数列 {an}\{a_n\}，a2=1a_2=1，{an}\{a_n\} 的前 nn 项和为 SnS_n.
(1) 若 {an}\{a_n\} 为等比数列，S2=3S_2=3，求 lim⁡n→∞Sn\displaystyle\lim_{n\to\infty}S_n； (2) 若 {an}\{a_n\} 为等差数列，公差为 dd，对任意 n∈N∗n\in\mathbf{N}^*，均满足 S2n≥nS_{2n}\ge n，求 dd 的取值范围.

2022 · 上海 · 春季 · 第 18 题 · 解答题

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20数列★★★★☆
已知等差数列 {an}\{a_n\} 的首项 a1=−1a_1=-1，公差 d>1d>1. 记 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和为 SnS_n（n∈N∗n\in\mathbf{N}^*）.
(1) 若 S4−2a2a3+6=0S_4-2a_2a_3+6=0，求 SnS_n； (2) 若对于每个 n∈N∗n\in\mathbf{N}^*，存在实数 cnc_n，使 an+cna_n+c_n，an+1+4cna_{n+1}+4c_n，an+2+15cna_{n+2}+15c_n 成等比数列，求 dd 的取值范围.

2022 · 浙江 · 第 20 题 · 解答题

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19数列★★★★☆
记 SnS_n 为数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和，bnb_n 为数列 {Sn}\{S_n\} 的前 nn 项积，已知 2Sn+1bn=2\frac{2}{S_n}+\frac{1}{b_n}=2.
(1) 证明：数列 {bn}\{b_n\} 是等差数列； (2) 求 {an}\{a_n\} 的通项公式.

2021 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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19数列★★★★☆
设 {an}\{a_n\} 是首项为 11 的等比数列，数列 {bn}\{b_n\} 满足 bn=nan3b_n=\dfrac{na_n}{3}. 已知 a1a_1，3a23a_2，9a39a_3 成等差数列.
(1) 求 {an}\{a_n\} 和 {bn}\{b_n\} 的通项公式； (2) 记 SnS_n 和 TnT_n 分别为 {an}\{a_n\} 和 {bn}\{b_n\} 的前 nn 项和，证明：Tn<Sn2T_n<\dfrac{S_n}{2}.

2021 · 全国 · 乙卷 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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20数列★★★★☆
已知数列 {an}\{a_n\} 前 nn 项和为 SnS_n，a1=−94a_1=-\frac{9}{4}，且 4Sn+1=3Sn−94S_{n+1}=3S_n-9.
(1) 求数列 {an}\{a_n\} 的通项； (2) 设 {bn}\{b_n\} 满足 3bn+(n−4)an=03b_n+(n-4)a_n=0（n∈N∗n\in\mathbf{N}^*），记其前 nn 项和为 TnT_n. 若 Tn≤λbnT_n\le\lambda b_n 对任意 n∈N∗n\in\mathbf{N}^* 恒成立，求 λ\lambda 的取值范围.

2021 · 浙江 · 第 20 题 · 解答题

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19数列★★★★☆
已知 {an}\{a_n\} 为等差数列，{bn}\{b_n\} 为等比数列，a1=b1=1a_1=b_1=1，a5=5(a4−a3)a_5=5\left( a_4-a_3 \right)，b5=4(b4−b3)b_5=4\left( b_4-b_3 \right).
(1) 求 {an}\{a_n\} 和 {bn}\{b_n\} 的通项公式； (2) 记 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和为 SnS_n，求证：SnSn+2<Sn+12S_nS_{n+2}<S_{n+1}^2（n∈N∗n\in\mathbf{N}^*）； (3) 对任意的正整数 nn，设 cn=(3an−2)bnanan+2c_n=\dfrac{(3a_n-2)b_n}{a_na_{n+2}}（nn 为奇数），cn=an−1bn+1c_n=\dfrac{a_{n-1}}{b_{n+1}}（nn 为偶数），求数列 {cn}\{c_n\} 的前 2n2n 项和.

2020 · 天津 · 第 19 题 · 解答题

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20数列★★★★☆
已知数列 {an}\{a_n\}，{bn}\{b_n\}，{cn}\{c_n\} 中，a1=b1=c1=1a_1=b_1=c_1=1，cn+1=an+1−anc_{n+1}=a_{n+1}-a_n，cn+1=bnbn+2 cnc_{n+1}=\dfrac{b_n}{b_{n+2}}\,c_n（n∈N∗n\in\mathbf{N}^*）.
(1) 若数列 {bn}\{b_n\} 为等比数列，且公比 q>0q>0，且 b1+b2=6b3b_1+b_2=6b_3，求 qq 与 ana_n 的通项公式； (2) 若数列 {bn}\{b_n\} 为等差数列，且公差 d>0d>0，证明：c1+c2+⋯+cn<1+1dc_1+c_2+\cdots+c_n<1+\dfrac1d，n∈N∗n\in\mathbf{N}^*.

2020 · 浙江 · 第 20 题 · 解答题

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19数列★★★★☆
设 {an}\{a_n\} 是等差数列，{bn}\{b_n\} 是等比数列. 已知 a1=4a_1=4，b1=6b_1=6，b2=2a2−2b_2=2a_2-2，b3=2a3+4b_3=2a_3+4.
(1) 求 {an}\{a_n\} 和 {bn}\{b_n\} 的通项公式； (2) 设数列 {cn}\{c_n\} 满足 c1=1c_1=1，
cn={1,2k<n<2k+1,bk,n=2k,c_n=\begin{cases} 1, & 2^k<n<2^{k+1},\\ b_k, & n=2^k, \end{cases}
其中 k∈N∗k\in \mathbf{N}^*.
(i) 求数列 {a2n(c2n−1)}\{a_{2^n}(c_{2^n}-1)\} 的通项公式； (ii) 求 ∑i=12naici\sum_{i=1}^{2^n} a_ic_i（n∈N∗n\in \mathbf{N}^*）.

2019 · 天津 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20三角函数★★★★☆
已知等差数列 {an}\{a_n\} 的公差 d∈(0,π]d\in(0,\pi]，数列 {bn}\{b_n\} 满足 bn=sin⁡(an)b_n=\sin(a_n)，集合 S={x∣x=bn,n∈N∗}S=\{x\mid x=b_n,n\in\mathbf{N}^*\}.
(1) 若 a1=0a_1=0，d=2π3d=\dfrac{2\pi}{3}，求集合 SS； (2) 若 a1=π2a_1=\dfrac{\pi}{2}，求 dd 使得集合 SS 恰好有两个元素； (3) 若集合 SS 恰好有三个元素：bn+T=bnb_{n+T}=b_n，TT 是不超过 7 的正整数，求 TT 的所有可能的值.

2019 · 上海 · 春季 · 第 20 题 · 解答题

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20数列★★★★☆
设等差数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和为 SnS_n，a3=4a_3=4，a4=S3a_4=S_3，数列 {bn}\{b_n\} 满足：对每个 n∈N∗n\in\mathbf{N}^*，Sn+bnS_n+b_n，Sn+1+bnS_{n+1}+b_n，Sn+2+bnS_{n+2}+b_n 成等比数列.
(1) 求数列 {an}\{a_n\}，{bn}\{b_n\} 的通项公式； (2) 记 Cn=an2bnC_n=\sqrt{\dfrac{a_n}{2b_n}}（n∈N∗n\in\mathbf{N}^*），证明：C1+C2+⋯+Cn<2nC_1+C_2+\cdots+C_n<2\sqrt n，n∈N∗n\in\mathbf{N}^*.

2019 · 浙江 · 第 20 题 · 解答题

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20解析几何★★★★☆
已知斜率为 kk 的直线 ll 与椭圆 C:x24+y23=1C:\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{3}=1 交于 AA，BB 两点，线段 ABAB 的中点为 M(1,m)M(1,m)（m>0m>0）.
(1) 证明：k<−12k<-\dfrac12； (2) 设 FF 为 CC 的右焦点，PP 为 CC 上一点，且 FP→+FA→+FB→=0→\overrightarrow{FP}+\overrightarrow{FA}+\overrightarrow{FB}=\overrightarrow{0}. 证明：∣FA→∣\left|\overrightarrow{FA}\right|，∣FP→∣\left|\overrightarrow{FP}\right|，∣FB→∣\left|\overrightarrow{FB}\right| 成等差数列，并求该数列的公差.

2018 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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18数列★★★★☆
设 {an}\{a_n\} 是等比数列，公比大于 00，其前 nn 项和为 SnS_n （n∈N∗n\in\mathbf{N}^*），{bn}\{b_n\} 是等差数列. 已知 a1=1a_1=1，a3=a2+2a_3=a_2+2，a4=b3+b5a_4=b_3+b_5，a5=b4+2b6a_5=b_4+2b_6.
(1) 求 {an}\{a_n\} 和 {bn}\{b_n\} 的通项公式； (2) 设数列 {Sn}\{S_n\} 的前 nn 项和为 TnT_n （n∈N∗n\in\mathbf{N}^*），
(i) 求 TnT_n； (ii) 证明 ∑k=1n(Tk+bk+2)bk(k+1)(k+2)=2n+2n+2−2\displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{(T_k+b_k+2)b_k}{(k+1)(k+2)}=\frac{2^{n+2}}{n+2}-2 （n∈N∗n\in\mathbf{N}^*）.

2018 · 天津 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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20数列★★★★☆
已知等比数列 {an}\{a_n\} 的公比 q>1q>1，且 a3+a4+a5=28a_3+a_4+a_5=28，a4+2a_4+2 是 a3a_3，a5a_5 的等差中项. 数列 {bn}\{b_n\} 满足 b1=1b_1=1，数列 {(bn+1−bn)an}\{(b_{n+1}-b_n)a_n\} 的前 nn 项和为 2n2+n2n^2+n.
(1) 求 qq 的值； (2) 求数列 {bn}\{b_n\} 的通项公式.

2018 · 浙江 · 第 20 题 · 解答题

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18数列★★★★☆
已知 {an}\{a_n\} 为等差数列，前 nn 项和为 SnS_n（n∈N∗n\in\mathbf{N}^*），{bn}\{b_n\} 是首项为 22 的等比数列，且公比大于 00，b2+b3=12b_2+b_3=12，b3=a4−2a1b_3=a_4-2a_1，S11=11b4S_{11}=11b_4.
(1) 求 {an}\{a_n\} 和 {bn}\{b_n\} 的通项公式； (2) 求数列 {a2nbn}\{a_{2n}b_n\} 的前 nn 项和（n∈N∗n\in\mathbf{N}^*）.

2017 · 天津 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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21指数函数与对数函数★★★★☆
已知函数 f(x)=log⁡21+x1−xf(x)=\log_2\dfrac{1+x}{1-x}.
(1) 解方程 f(x)=1f(x)=1； (2) 设 x∈(−1,1)x\in(-1,1)，a∈(1,+∞)a\in(1,+\infty)，证明：ax−1a−x∈(−1,1)\dfrac{ax-1}{a-x}\in(-1,1)，且 f ⁣(ax−1a−x)−f(x)=−f ⁣(1a)f\!\left(\dfrac{ax-1}{a-x}\right)-f(x)=-f\!\left(\dfrac1a\right)； (3) 设数列 {xn}\{x_n\} 中，x1∈(−1,1)x_1\in(-1,1)，xn+1=(−1)n+13xn−13−xnx_{n+1}=(-1)^{n+1}\dfrac{3x_n-1}{3-x_n}，n∈N∗n\in\mathbf{N}^*，求 x1x_1 的取值范围，使得 x3≥xnx_3\ge x_n 对任意 n∈N∗n\in\mathbf{N}^* 成立.

2017 · 上海 · 春季 · 第 21 题 · 解答题

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19数列★★★★☆
已知 {xn}\{x_n\} 是各项均为正数的等比数列，且 x1+x2=3x_1+x_2=3，x3−x2=2x_3-x_2=2.
(1) 求数列 {xn}\{x_n\} 的通项公式； (2) 如图，在平面直角坐标系 xOyxOy 中，依次连接点 P1(x1,1)P_1(x_1,1)，P2(x2,2)P_2(x_2,2)，…\ldots，Pn+1(xn+1,n+1)P_{n+1}(x_{n+1},n+1) 得到折线 P1P2⋯Pn+1P_1P_2\cdots P_{n+1}，求由该折线与直线 y=0y=0，x=x1x=x_1，x=xn+1x=x_{n+1} 所围成的区域的面积 TnT_n.

2017 · 山东 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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18数列★★★★☆
已知 {an}\{a_n\} 是各项均为正数的等差数列，公差为 dd，对任意的 n∈N∗n\in\mathbf{N}^*，bnb_n 是 ana_n 和 an+1a_{n+1} 的等比中项.
(1) 设 cn=bn+12−bn2c_n=b_{n+1}^2-b_n^2（n∈N∗n\in\mathbf{N}^*），求证：数列 {cn}\{c_n\} 是等差数列； (2) 设 a1=da_1=d，Tn=∑k=12n(−1)kbk2T_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{2n}(-1)^k b_k^2（n∈N∗n\in\mathbf{N}^*），求证：∑k=1n1Tk<12d2\displaystyle\sum_{k=1}^n\dfrac1{T_k}<\dfrac1{2d^2}.

2016 · 天津 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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22数列★★★★☆
对于无穷数列 {an}\{a_n\} 与 {bn}\{b_n\}，记 A={x∣x=an, n∈N∗}A=\{x\mid x=a_n,\ n\in\mathbf{N}^*\}，B={x∣x=bn, n∈N∗}B=\{x\mid x=b_n,\ n\in\mathbf{N}^*\}. 若同时满足条件：
① {an}\{a_n\}，{bn}\{b_n\} 均单调递增； ② A∩B=∅A\cap B=\varnothing 且 A∪B=N∗A\cup B=\mathbf{N}^*，则称 {an}\{a_n\} 与 {bn}\{b_n\} 是无穷互补数列.
(1) 若 an=2n−1a_n=2n-1，bn=4n−2b_n=4n-2，判断 {an}\{a_n\} 与 {bn}\{b_n\} 是否为无穷互补数列，并说明理由； (2) 若 an=2na_n=2^n 且 {an}\{a_n\} 与 {bn}\{b_n\} 是无穷互补数列，求数列 {bn}\{b_n\} 的前 1616 项的和； (3) 若 {an}\{a_n\} 与 {bn}\{b_n\} 是无穷互补数列，{an}\{a_n\} 为等差数列且 a16=36a_{16}=36，求 {an}\{a_n\} 与 {bn}\{b_n\} 的通项公式.

2016 · 上海 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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28数列★★★★☆
已知数列 {an}\{a_n\} 是公差为 22 的等差数列.
(1) 若 a1a_1，a3a_3，a4a_4 成等比数列，求 a1a_1 的值； (2) 设 a1=−19a_1=-19，数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和为 SnS_n.数列 {bn}\{b_n\} 满足 b1=1b_1=1，bn+1−bn=(12)nb_{n+1}-b_n=\left(\dfrac12\right)^n.记 cn=Sn+2n−1bnc_n=S_n+2^{n-1}b_n（n∈N∗n\in\mathbf{N}^*），求数列 {cn}\{c_n\} 的最小项 cn0c_{n_0}（即 cn0≤cnc_{n_0}\leq c_n 对任意 n∈N∗n\in\mathbf{N}^* 成立）.

2016 · 上海 · 春季 · 第 28 题 · 解答题

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