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165分数列★★★★☆
某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为 20 dm×12 dm20\text{ dm}\times 12\text{ dm} 的长方形纸，对折 11 次共可以得到 10 dm×12 dm10\text{ dm}\times 12\text{ dm}，20 dm×6 dm20\text{ dm}\times 6\text{ dm} 两种规格的图形，它们的面积之和 S1=240 dm2S_1=240\text{ dm}^2；对折 22 次共可以得到 5 dm×12 dm5\text{ dm}\times 12\text{ dm}，10 dm×6 dm10\text{ dm}\times 6\text{ dm}，20 dm×3 dm20\text{ dm}\times 3\text{ dm} 三种规格的图形，它们的面积之和 S2=180 dm2S_2=180\text{ dm}^2. 以此类推.
(1) 对折 44 次共可以得到不同规格图形的种数为______； (2) 如果对折 nn 次，那么 ∑k=1nSk=‾ dm2\sum_{k=1}^n S_k=\underline{\hspace{2em}}\text{ dm}^2.

2021 · 全国 · 新高考一卷 · 第 16 题 · 填空题

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126分数列★★★★☆
设正整数 n=a0⋅20+a1⋅21+⋯+ak⋅2kn=a_0\cdot 2^0+a_1\cdot 2^1+\cdots +a_k\cdot 2^k，其中 ai∈{0,1}a_i\in \{0,1\}，记 ω(n)=a0+a1+⋯+ak\omega\left( n \right)=a_0+a_1+\cdots +a_k. 则（ ）
\begin{answer} ACD \end{answer}
A.
ω(2n)=ω(n)\omega\left( 2n \right)=\omega\left( n \right)
B.
ω(2n+3)=ω(n)+1\omega\left( 2n+3 \right)=\omega\left( n \right)+1
C.
ω(8n+5)=ω(4n+3)\omega\left( 8n+5 \right)=\omega\left( 4n+3 \right)
D.
ω(2n−1)=n\omega\left( 2^n-1 \right)=n

2021 · 全国 · 新高考二卷 · 第 12 题 · 多选题

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19数列★★★★☆
记 SnS_n 为数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和，bnb_n 为数列 {Sn}\{S_n\} 的前 nn 项积，已知 2Sn+1bn=2\frac{2}{S_n}+\frac{1}{b_n}=2.
(1) 证明：数列 {bn}\{b_n\} 是等差数列； (2) 求 {an}\{a_n\} 的通项公式.

2021 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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19数列★★★★☆
设 {an}\{a_n\} 是首项为 11 的等比数列，数列 {bn}\{b_n\} 满足 bn=nan3b_n=\dfrac{na_n}{3}. 已知 a1a_1，3a23a_2，9a39a_3 成等差数列.
(1) 求 {an}\{a_n\} 和 {bn}\{b_n\} 的通项公式； (2) 记 SnS_n 和 TnT_n 分别为 {an}\{a_n\} 和 {bn}\{b_n\} 的前 nn 项和，证明：Tn<Sn2T_n<\dfrac{S_n}{2}.

2021 · 全国 · 乙卷 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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12数列★★★★☆
已知 ai∈N∗a_i\in \mathbf{N}^*（i=1i=1，22，…\dots，99），对任意的 k∈N∗k\in \mathbf{N}^*（2≤k≤82\le k\le 8），ak=ak−1+1a_k=a_{k-1}+1 或 ak=ak+1−1a_k=a_{k+1}-1 中有且仅有一个成立，a1=6a_1=6，a9=9a_9=9，则 a1+⋯+a9a_1+\cdots+a_9 的最小值为______.

2021 · 上海 · 第 12 题 · 填空题

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20数列★★★★☆
已知数列 {an}\{a_n\} 前 nn 项和为 SnS_n，a1=−94a_1=-\frac{9}{4}，且 4Sn+1=3Sn−94S_{n+1}=3S_n-9.
(1) 求数列 {an}\{a_n\} 的通项； (2) 设 {bn}\{b_n\} 满足 3bn+(n−4)an=03b_n+(n-4)a_n=0（n∈N∗n\in\mathbf{N}^*），记其前 nn 项和为 TnT_n. 若 Tn≤λbnT_n\le\lambda b_n 对任意 n∈N∗n\in\mathbf{N}^* 恒成立，求 λ\lambda 的取值范围.

2021 · 浙江 · 第 20 题 · 解答题

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