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19
高考真题
15分
数列
★★★★☆
已知等差数列
{
a
n
}
\{a_n\}
{
a
n
}
和等比数列
{
b
n
}
\{b_n\}
{
b
n
}
满足
a
1
=
b
1
=
2
a_1 = b_1 = 2
a
1
=
b
1
=
2
,
a
2
=
b
2
+
1
a_2 = b_2 + 1
a
2
=
b
2
+
1
,
a
3
=
b
3
a_3 = b_3
a
3
=
b
3
。
(1) 求
{
a
n
}
\{a_n\}
{
a
n
}
和
{
b
n
}
\{b_n\}
{
b
n
}
的通项公式;
(2) 给定
n
∈
N
∗
n \in \mathbb{N}^*
n
∈
N
∗
, 记集合
I
=
{
0
,
1
}
I = \{0, 1\}
I
=
{
0
,
1
}
, 集合
T
n
=
{
p
1
a
1
b
1
+
p
2
a
2
b
2
+
⋯
+
p
n
a
n
b
n
∣
p
1
,
p
2
,
⋯
,
p
n
∈
I
}
T_n = \{p_1a_1b_1 + p_2a_2b_2 + \cdots + p_na_nb_n \mid p_1, p_2, \cdots, p_n \in I\}
T
n
=
{
p
1
a
1
b
1
+
p
2
a
2
b
2
+
⋯
+
p
n
a
n
b
n
∣
p
1
,
p
2
,
⋯
,
p
n
∈
I
}
。
① 求证: 对任意的
t
∈
T
n
t \in T_n
t
∈
T
n
, 有
t
<
a
n
+
1
b
n
+
1
t < a_{n+1}b_{n+1}
t
<
a
n
+
1
b
n
+
1
;
② 求
T
n
T_n
T
n
中所有元素之和。
2025天津卷 · 第 19 题 · 解答题
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高考真题
15分
数列
★★★★☆
等差数列
{
a
n
}
\{a_n\}
{
a
n
}
前
n
n
n
项和
S
n
S_n
S
n
,
a
1
=
1
a_1=1
a
1
=
1
, 公差
d
>
0
d>0
d
>
0
,
a
2
,
a
5
,
a
14
a_2,a_5,a_{14}
a
2
,
a
5
,
a
14
成等比。
(1) 求
{
a
n
}
\{a_n\}
{
a
n
}
通项及
S
n
S_n
S
n
;
(2) 证
∑
k
=
1
n
1
S
k
<
3
2
\sum_{k=1}^n \frac{1}{S_k} < \frac{3}{2}
∑
k
=
1
n
S
k
1
<
2
3
。
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