设平面点集 $A = \left\{(x, y) \mid (y - x)\left(y - \frac{1}{x}\right) \geqslant 0\right\}$，$B = \{(x, y) \mid (x - 1)^2 + (y - 1)^2 \leqslant 1\}$，则 $A \cap B$ 所表示的平面图形的面积为（ ）

\begin{answer} D \end{answer}

\begin{solution} 圆 $B$ 的内部是圆心 $(1,1)$、半径 $1$ 的圆盘. 除去边界上的零测集，圆盘内有 $x>0$，$y>0$，于是条件可改写为 在交换 $x$ 与 $y$ 时，圆盘保持不变，而 符号相反. 因此，圆盘内满足严格不等式的一点与其关于直线 $y=x$ 的对称点恰有一个属于 $A$，边界对面积没有影响. 所以 $A\cap B$ 占圆盘面积的一半，面积为 故选 D. \end{solution}