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12集合与逻辑基础★★★★☆
a1=2a_1=2，a2=4a_2=4，a3=8a_3=8，a4=16a_4=16，任意 b1b_1，b2b_2，b3b_3，b4∈Rb_4\in \mathbf{R}，满足 {ai+aj∣1≤i<j≤4}={bi+bj∣1≤i<j≤4}\{a_i+a_j\mid 1\le i<j\le 4\}=\{b_i+b_j\mid 1\le i<j\le 4\}，求有序数列 {b1,b2,b3,b4}\{b_1,b_2,b_3,b_4\} 有______ 对.

2024 · 上海 · 春季 · 第 12 题 · 填空题

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12集合与逻辑基础★★★★☆
已知集合 A=[t,t+1]∪[t+4,t+9]A=[t,t+1]\cup[t+4,t+9]，0∉A0\notin A，存在正数 λ\lambda，使得对任意 a∈Aa\in A，都有 λa∈A\dfrac{\lambda}{a}\in A，则 tt 的值是______.

2019 · 上海 · 春季 · 第 12 题 · 填空题

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15计数原理与组合数学★★★★☆
若集合 {a,b,c,d}={1,2,3,4}\{a, b, c, d\} = \{1, 2, 3, 4\}，且下列四个关系：
① a=1a = 1； ② b≠1b \neq 1； ③ c=2c = 2； ④ d≠4d \neq 4.
有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组 (a,b,c,d)(a, b, c, d) 的个数是______.

2014 · 福建 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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15函数与初等函数★★★★☆
以 AA 表示值域为 R\mathbf{R} 的函数组成的集合，BB 表示具有如下性质的函数 φ(x)\varphi(x) 组成的集合：对于函数 φ(x)\varphi(x)，存在一个正数 MM，使得函数 φ(x)\varphi(x) 的值域包含于区间 [−M,M][-M, M]. 例如，当 φ1(x)=x3\varphi_{1}(x) = x^{3}，φ2(x)=sin⁡x\varphi_{2}(x) = \sin x 时，φ1(x)∈A\varphi_{1}(x) \in A，φ2(x)∈B\varphi_{2}(x) \in B. 现有如下命题：
① 设函数 f(x)f(x) 的定义域为 DD，则“f(x)∈Af(x) \in A”的充要条件是“∀b∈R\forall b \in \mathbf{R}，∃a∈D\exists a \in D，f(a)=bf(a)=b”； ② 函数 f(x)∈Bf(x) \in B 的充要条件是 f(x)f(x) 有最大值和最小值； ③ 若函数 f(x)f(x)，g(x)g(x) 的定义域相同，且 f(x)∈Af(x) \in A，g(x)∈Bg(x) \in B，则 f(x)+g(x)∉Bf(x)+g(x) \notin B； ④ 若函数 f(x)=aln⁡(x+2)+xx2+1f(x) = a\ln(x + 2) + \frac{x}{x^{2} + 1}（x>−2x > -2，a∈Ra \in \mathbf{R}）有最大值，则 f(x)∈Bf(x) \in B.
其中的真命题有______.（写出所有真命题的序号） \begin{answer} \circled1\circled3\circled4\circled{1}\circled{3}\circled{4} \end{answer}
\begin{solution} 命题 1 直接是值域为 R\mathbf{R} 的定义，因此命题 1 为真.
命题 2 中，函数有最大值和最小值可以推出值域有界，但有界函数不一定取得最大值和最小值. 例如 f(x)=arctan⁡xf(x)=\arctan x 的值域为 (−π2,π2)\left(-\frac\pi2,\frac\pi2\right)，有界却没有最大值和最小值，因此命题 2 为假.
命题 3 中，设 g(x)g(x) 的值域包含于 [−M,M][-M,M]. 对任意正数 KK，由于 f(x)f(x) 的值域为 R\mathbf{R}，存在 xx 使 f(x)>K+Mf(x)>K+M，于是 f(x)+g(x)>Kf(x)+g(x)>K. 因而 f+gf+g 无上界，不能属于 BB，命题 3 为真.
命题 4 中，若 a>0a>0，则 aln⁡(x+2)→+∞a\ln(x+2)\to+\infty（x→+∞x\to+\infty），函数不可能有最大值；若 a<0a<0，则 aln⁡(x+2)→+∞a\ln(x+2)\to+\infty（x→−2+x\to-2^+），函数同样不可能有最大值. 因此函数有最大值时只能有 a=0a=0，此时 f(x)=xx2+1f(x)=\frac{x}{x^2+1}，且 ∣xx2+1∣⩽12\left|\frac{x}{x^2+1}\right|\leqslant\frac12，所以 f(x)∈Bf(x)\in B. 命题 4 为真.
所以真命题的序号为 11，33，44. \end{solution}

2014 · 四川 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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15数列★★★★☆
对于 E={a1,a2,⋯ ,a100}E = \{a_1, a_2, \cdots, a_{100}\} 的子集 X={ai1,ai2,⋯ ,aik}X = \{a_{i_1}, a_{i_2}, \cdots, a_{i_k}\}，定义 XX 的“特征数列”为 x1x_1，x2x_2，⋯\cdots，x100x_{100}，其中 xi1=xi2=⋯=xik=1x_{i_1} = x_{i_2} = \cdots = x_{i_k} = 1，其余项均为 00，例如：子集 {a2,a3}\{a_2, a_3\} 的“特征数列”为 00，11，11，00，00，⋯\cdots，00.
(1) 子集 {a1,a3,a5}\{a_{1}, a_{3}, a_{5}\} 的“特征数列”的前 3 项和等于______. (2) 若 EE 的子集 PP 的“特征数列” p1p_{1}，p2p_{2}，⋯\cdots，p100p_{100} 满足 p1=1p_{1}=1，pi+pi+1=1p_{i}+p_{i+1}=1，1⩽i⩽991\leqslant i\leqslant99；EE 的子集 QQ 的“特征数列” q1q_{1}，q2q_{2}，⋯\cdots，q100q_{100} 满足 q1=1q_{1}=1，qj+qj+1+qj+2=1q_{j}+q_{j+1}+q_{j+2}=1，1⩽j⩽981\leqslant j\leqslant98，则 P∩QP\cap Q 的元素个数为______.

2013 · 湖南 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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14集合与逻辑基础★★★★☆
设集合 A={(x,y)∣m2⩽(x−2)2+y2⩽m2, x,y∈R}A=\left\{(x,y)\mid \frac{m}{2}\leqslant (x-2)^2+y^2\leqslant m^2,\ x,y\in\mathbf{R}\right\}.
集合 B={(x,y)∣2m⩽x+y⩽2m+1, x,y∈R}B=\left\{(x,y)\mid 2m\leqslant x+y\leqslant 2m+1,\ x,y\in\mathbf{R}\right\}. 若 A∩B≠∅A\cap B\neq\emptyset，则实数 mm 的取值范围是______.

2011 · 江苏 · 第 14 题 · 填空题

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14计数原理与组合数学★★★★☆
从集合 U={a,b,c,d}U = \{a, b, c, d\} 的子集中选出 4 个不同的子集，需同时满足以下两个条件：
① ∅\varnothing，UU 都要选出； ② 对选出的任意两个子集 AA 和 BB，必有 A⊆BA \subseteq B 或 A⊇BA \supseteq B.
那么，共有______ 种不同的选法.

2010 · 上海 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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16立体几何初步★★★★☆
平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行，类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件：
① ______； ② ______.
（写出你认为正确的两个充要条件）

2008 · 全国 · 大纲二卷 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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16集合与逻辑基础★★★★☆
设 PP 是一个数集，且至少含有两个数，若对任意 a∈Pa\in P，b∈Pb \in P，都有 a+ba + b，a−ba - b，abab，ab∈P\frac{a}{b} \in P（除数 b≠0b \neq 0），则称 PP 是一个数域. 例如有理数集 Q\mathbf{Q} 是数域；数集 F={a+b2∣a,b∈Q}F = \{a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbf{Q}\} 也是数域. 有下列命题：
① 整数集是数域； ② 若有理数集 Q⊆M\mathbf{Q} \subseteq M，则数集 MM 必为数域； ③ 数域必为无限集； ④ 存在无穷多个数域.
其中正确的命题的序号是______. \begin{answer} 33、44 \end{answer} \begin{solution} 命题一不成立，因为整数集对除法不封闭，例如 22，1∈Z1\in\mathbf{Z}，但 12∉Z\frac{1}{2}\notin\mathbf{Z}. 命题二不成立，例如 M=Q∪{2}M=\mathbf Q\cup\{\sqrt2\} 含有 Q\mathbf Q，但 2+2=22∉M\sqrt2+\sqrt2=2\sqrt2\notin M，所以不一定是数域.
证明命题三：取数域 PP 中两个不同的数 uu，vv，则 d=u−v∈Pd=u-v\in P 且 d≠0d\neq0. 由除法封闭性，1=dd∈P1=\frac{d}{d}\in P，再由加法封闭性，所有正整数都属于 PP，从而 PP 是无限集.
证明命题四：对每个正素数 pp，集合
Pp={r+sp∣r,s∈Q}P_p=\{r+s\sqrt p\mid r,s\in\mathbf Q\}
是数域. 确实，和、差、积仍为此形式. 若分母 r+sp≠0r+s\sqrt p\neq0，则 r2−ps2≠0r^2-ps^2\neq0，否则 s=0s=0 时有 r=0r=0，或 s≠0s\neq0 时 p=rs∈Q\sqrt p=\frac{r}{s}\in\mathbf{Q}，均与分母非零矛盾. 因此
u+vpr+sp=(u+vp)(r−sp)r2−ps2\frac{u+v\sqrt p}{r+s\sqrt p}=\frac{(u+v\sqrt p)(r-s\sqrt p)}{r^2-ps^2}
其中 r2−ps2≠0r^2-ps^2\neq0，结果仍属于 PpP_p. 不同的素数给出不同的数域. 先说明：若 pp 是素数，则 p∉Q\sqrt p\notin\mathbf{Q}. 否则设 p=uv\sqrt p=\frac{u}{v}，其中 uu，v∈Zv\in\mathbf{Z}、v≠0v\neq0 且 gcd⁡(u,v)=1\gcd(u,v)=1，则 pv2=u2pv^2=u^2，从而 p∣up\mid u，再代回可得 p∣vp\mid v，与互素矛盾.
事实上，若 p≠qp\neq q 且 p∈Pq\sqrt p\in P_q，则存在 rr，s∈Qs\in\mathbf{Q}，使得
p=r+sq\sqrt p=r+s\sqrt q
两边平方得 p=r2+2rsq+qs2p=r^2+2rs\sqrt q+qs^2. 因为 q∉Q\sqrt q\notin\mathbf{Q}，所以 rs=0rs=0. 若 s=0s=0，则 p=r∈Q\sqrt p=r\in\mathbf{Q}，矛盾；若 r=0r=0，则 p=qs2p=qs^2. 写 s=uvs=\frac{u}{v}（uu，vv 互素且 v≠0v\neq0），便有 pv2=qu2pv^2=qu^2. 因为 p≠qp\neq q，由素数整除性得 p∣up\mid u，再代回得 p∣vp\mid v，与 uu，vv 互素矛盾. 因此 p∉Pq\sqrt p\notin P_q，从而 Pp≠PqP_p\neq P_q. 因而存在无穷多个数域，正确命题的序号为 33、44. \end{solution}

2008 · 福建 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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14集合与逻辑基础★★★★☆
设集合 A={(x,y)∣y⩾12∣x−2∣}A = \left\{(x, y) \mid y \geqslant \frac{1}{2} |x - 2|\right\}，B={(x,y)∣y⩽−∣x∣+b}B = \{(x, y) \mid y \leqslant -|x| + b\}，A∩B≠∅A \cap B \neq \emptyset.
(1) bb 的取值范围是______； (2) 若 (x,y)∈A∩B(x, y) \in A \cap B，且 x+2yx + 2y 的最大值为 99，则 bb 的值是______.

2007 · 湖南 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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