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10集合与逻辑基础★★★★☆
已知 M={(x,y)∣y=x+t(x2−x), 1≤x≤2, 0≤t≤1}M=\left\{ (x,y)\mid y=x+t\left( x^2-x \right),\,1\le x\le 2,\,0\le t\le 1 \right\} 是平面直角坐标系中的点集. 设 dd 是 MM 中两点间距离的最大值，SS 是 MM 表示的图形的面积，则（ ）
A.
d=3d=3，S<1S<1
B.
d=3d=3，S>1S>1
C.
d=10d=\sqrt{10}，S<1S<1
D.
d=10d=\sqrt{10}，S>1S>1

2024 · 北京 · 第 10 题 · 选择题

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18函数与初等函数★★★★☆
设 f(x)f(x)，g(x)g(x)，h(x)h(x) 是定义域为 R\mathbf{R} 的三个函数. 对于命题：
① 若 f(x)+g(x)f(x)+g(x)，f(x)+h(x)f(x)+h(x)，g(x)+h(x)g(x)+h(x) 均为增函数，则 f(x)f(x)，g(x)g(x)，h(x)h(x) 中至少有一个为增函数； ② 若 f(x)+g(x)f(x)+g(x)，f(x)+h(x)f(x)+h(x)，g(x)+h(x)g(x)+h(x) 均是以 TT 为周期的函数，则 f(x)f(x)，g(x)g(x)，h(x)h(x) 均是以 TT 为周期的函数.
下列判断正确的是（ ）
A.
\circled1\circled{1} 和 \circled2\circled{2} 均为真命题
B.
\circled1\circled{1} 和 \circled2\circled{2} 均为假命题
C.
\circled1\circled{1} 为真命题，\circled2\circled{2} 为假命题
D.
\circled1\circled{1} 为假命题，\circled2\circled{2} 为真命题

2016 · 上海 · 理 · 第 18 题 · 选择题

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07集合与逻辑基础★★★★☆
设 pp：实数 xx，yy 满足 (x−1)2+(y−1)2≤2\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2\le2，qq：实数 xx，yy 满足
{y≥x−1,y≥1−x,y≤1\begin{cases} y\ge x-1,\\ y\ge 1-x,\\ y\le 1 \end{cases}
，则 pp 是 qq 的（ ）
\begin{solution} 令 u=x−1u=x-1，v=y−1v=y-1.条件 qq 化为 v≥u−1v\geq u-1，v≥−u−1v\geq-u-1，v≤0v\leq0. 由前两个不等式得 v≥∣u∣−1v\geq |u|-1，再结合 v≤0v\leq0 可知 −1≤v≤0-1\leq v\leq0，且 ∣u∣≤v+1|u|\leq v+1.因此
u2+v2≤(v+1)2+v2=1+2v(v+1)≤1<2u^2+v^2\leq(v+1)^2+v^2=1+2v(v+1)\leq1<2
故满足 qq 的点都满足 pp，即 q⇒pq\Rightarrow p.但点 (1,1+2)(1,1+\sqrt2) 满足 pp，而 y=1+2>1y=1+\sqrt2>1，不满足 qq，所以 p⇏qp\not\Rightarrow q.因此 pp 是 qq 的必要不充分条件，选 A. \end{solution}
A.
必要不充分条件
B.
充分不必要条件
C.
充要条件
D.
既不充分也不必要条件

2016 · 四川 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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12集合与逻辑基础★★★★☆
“对任意 x∈(0,π2)x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)，ksin⁡xcos⁡x<x2k \sin x \cos x < x^2”是“k<1k < 1”的（ ）
A.
充分而不必要条件
B.
必要而不充分条件
C.
充分必要条件
D.
既不充分也不必要条件

2015 · 福建 · 文 · 第 12 题 · 选择题

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10导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+cf(x) = x^3 + ax^2 + bx + c，下列结论中错误的是（ ）
A.
∃x0∈R,f(x0)=0\exists x_0 \in \mathbf{R}, f(x_0) = 0
B.
函数 y=f(x)y = f(x) 的图象是中心对称图形
C.
若 x0x_0 是 f(x)f(x) 的极小值点，则 f(x)f(x) 在区间 (−∞,x0)(-\infty, x_0) 单调递减
D.
若 x0x_0 是 f(x)f(x) 的极值点，则 f′(x0)=0f'(x_0) = 0

2013 · 全国 · 新课程二卷 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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08集合与逻辑基础★★★★☆
设整数 n⩾4n \geqslant 4，集合 X={1,2,3,⋯ ,n}X = \{1, 2, 3, \cdots, n\}. 令集合 S={(x,y,z)∣x,y,z∈X, 且三条件 x<y<z,y<z<x,z<x<y 恰有一个成立}S = \{(x, y, z) \mid x, y, z \in X,\ \text{且三条件 } x < y < z, y < z < x, z < x < y \text{ 恰有一个成立}\}，若 (x,y,z)(x, y, z) 和 (z,w,x)(z, w, x) 都在 SS 中，则下列选项正确的是（ ）
A.
(y,z,w)∈S,(x,y,w)∉S(y, z, w) \in S, (x, y, w) \notin S
B.
(y,z,w)∈S(y, z, w) \in S，(x,y,w)∈S(x, y, w) \in S
C.
(y,z,w)∉S(y,z,w)\notin S，(x,y,w)∈S(x,y,w)\in S
D.
(y,z,w)∉S(y,z,w)\notin S，(x,y,w)∉S(x,y,w)\notin S

2013 · 广东 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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10集合与逻辑基础★★★★☆
设平面点集 A={(x,y)∣(y−x)(y−1x)⩾0}A = \left\{(x, y) \mid (y - x)\left(y - \frac{1}{x}\right) \geqslant 0\right\}，B={(x,y)∣(x−1)2+(y−1)2⩽1}B = \{(x, y) \mid (x - 1)^2 + (y - 1)^2 \leqslant 1\}，则 A∩BA \cap B 所表示的平面图形的面积为（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
\begin{solution} 圆 BB 的内部是圆心 (1,1)(1,1)、半径 11 的圆盘. 除去边界上的零测集，圆盘内有 x>0x>0，y>0y>0，于是条件可改写为
(y−x)(y−1x)≥0⟺(y−x)(xy−1)≥0(y-x)\left(y-\frac1x\right)\ge0 \quad\Longleftrightarrow\quad (y-x)(xy-1)\ge0
在交换 xx 与 yy 时，圆盘保持不变，而
(y−x)(xy−1)与(x−y)(xy−1)\left(y-x\right)(xy-1) \quad\text{与}\quad \left(x-y\right)(xy-1)
符号相反. 因此，圆盘内满足严格不等式的一点与其关于直线 y=xy=x 的对称点恰有一个属于 AA，边界对面积没有影响. 所以 A∩BA\cap B 占圆盘面积的一半，面积为
12⋅π⋅12=π2\frac12\cdot\pi\cdot1^{2}=\frac\pi2
故选 D. \end{solution}
A.
34π\frac{3}{4}\pi
B.
35π\frac{3}{5}\pi
C.
47π\frac{4}{7}\pi
D.
π2\frac{\pi}{2}

2012 · 重庆 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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18数列★★★★☆
设 {an}\{a_n\} 是各项为正数的无穷数列，AiA_i 是边长为 aia_i，ai+1a_{i+1} 的矩形面积 （i=1i = 1，22，⋯\cdots），则 {An}\{A_n\} 为等比数列的充要条件为（ ）
A.
{an}\{a_n\} 是等比数列
B.
{a1,a3,⋯ ,a2n−1,⋯ }\{a_1, a_3, \cdots, a_{2n-1}, \cdots\} 或 {a2,a4,⋯ ,a2n,⋯ }\{a_2, a_4, \cdots, a_{2n}, \cdots\} 是等比数列
C.
{a1,a3,⋯ ,a2n−1,⋯ }\{a_1, a_3, \cdots, a_{2n-1}, \cdots\} 和 {a2,a4,⋯ ,a2n,⋯ }\{a_2, a_4, \cdots, a_{2n}, \cdots\} 均是等比数列
D.
{a1,a3,⋯ ,a2n−1,⋯ }\{a_1, a_3, \cdots, a_{2n-1}, \cdots\} 和 {a2,a4,⋯ ,a2n,⋯ }\{a_2, a_4, \cdots, a_{2n}, \cdots\} 均是等比数列，且公比相同

2011 · 上海 · 理 · 第 18 题 · 选择题

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10函数与初等函数★★★★☆
设 aa，bb，cc 为实数，f(x)=(x+a)(x2+bx+c)f(x) = (x + a)(x^2 + bx + c)，g(x)=(ax+1)(cx2+bx+1)g(x) = (ax + 1)(cx^2 + bx + 1). 记集合 S={x∣f(x)=0,x∈R}S = \{x \mid f(x) = 0, x \in \mathbf{R}\}，T={x∣g(x)=0,x∈R}T = \{x \mid g(x) = 0, x \in \mathbf{R}\}，若 ∣S∣|S|，∣T∣|T| 分别为集合 SS，TT 的元素个数，则下列结论不可能的是（ ）
A.
∣S∣=1|S| = 1 且 ∣T∣=0|T| = 0
B.
∣S∣=1|S| = 1 且 ∣T∣=1|T| = 1
C.
∣S∣=2|S| = 2 且 ∣T∣=2|T| = 2
D.
∣S∣=2|S| = 2 且 ∣T∣=3|T| = 3

2011 · 浙江 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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10指数函数与对数函数★★★★☆
设函数的集合 P={f(x)=log⁡2(x+a)+b∣a=−12,0,12,1;b=−1,0,1}P = \left\{f(x) = \log_2(x + a) + b \mid a = -\frac{1}{2}, 0, \frac{1}{2}, 1; b = -1, 0, 1\right\}，平面上点的集合 Q={(x,y)∣x=−12,0,12,1;y=−1,0,1}Q = \left\{(x, y) \mid x = -\frac{1}{2}, 0, \frac{1}{2}, 1; y = -1, 0, 1\right\}，则在同一直角坐标系中，PP 中函数 f(x)f(x) 的图象恰好经过 QQ 中两个点的函数的个数是（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 逐一考查 aa 的四个取值. 只有当 x+a>0x+a>0 且 log⁡2(x+a)+b\log_2(x+a)+b 属于 {−1,0,1}\{-1,0,1\} 时，图象才经过集合 QQ 中的点.
对 a=−12a=-\frac12，在 x=−12x=-\frac12，00，12\frac12，11 中只有 x=1x=1 使 x+a>0x+a>0 且 log⁡2(x+a)=−1\log_2(x+a)=-1，所以任意 bb 至多经过一个点. 对 a=0a=0，x=12x=\frac12，11 时的对数值分别为 −1,0-1,0，故 b=0b=0，11 时恰好经过两个点，而 b=−1b=-1 时只有一个点.
对 a=12a=\frac12，x=0x=0，12\frac12 时的对数值分别为 −1,0-1,0，故 b=0b=0，11 时恰好经过两个点，而 b=−1b=-1 时只有一个点. 对 a=1a=1，四个横坐标对应的对数值依次为 −1-1，00，log⁡232\log_2\frac32，11. 因为 0<log⁡232<10<\log_2\frac32<1，所以 b=−1b=-1 时恰好有 (0,−1)(0,-1)、(1,0)(1,0) 两个点，b=0b=0 时有三个点，b=1b=1 时恰好有 (−12,0)(-\frac12,0)、(0,1)(0,1) 两个点.
因此符合条件的函数共有
0+2+2+2=60+2+2+2=6
个，故选 B. \end{solution}
A.
4
B.
6
C.
8
D.
10

2010 · 浙江 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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12集合与逻辑基础★★★★☆
设非空集合 S={x∣m⩽x⩽l}S = \{x \mid m \leqslant x \leqslant l\} 满足：当 x∈Sx \in S 时，有 x2∈Sx^2 \in S. 给出如下三个命题：
① 若 m=1m = 1，则 S={1}S = \{1\}； ② 若 m=−12m = -\frac{1}{2}，则 14⩽l⩽1\frac{1}{4} \leqslant l \leqslant 1； ③ 若 l=12l = \frac{1}{2}，则 −22⩽m⩽0-\frac{\sqrt{2}}{2} \leqslant m \leqslant 0.
其中正确命题的个数是（ ）
A.
0
B.
1
C.
2
D.
3

2010 · 福建 · 文 · 第 12 题 · 选择题

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02集合与逻辑基础★★★★☆
设集合 A={(x,y)∣x24+y216=1}A = \left\{(x, y) \mid \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{16} = 1\right\}，B={(x,y)∣y=3x}B = \{(x, y) \mid y = 3^x\}，则 A∩BA \cap B 的子集的个数是（ ）
A.
4
B.
3
C.
2
D.
1

2010 · 湖北 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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15解析几何★★★★☆
如图，在平面直角坐标系中，Ω\Omega 是一个与 xx 轴的正半轴，yy 轴的正半轴分别相切于点 CC，DD 的定圆所围成区域（含边界），AA，BB，CC，DD 是该圆的四等分点. 若点 P(x,y)P(x, y)，点 P′(x′,y′)P'(x', y') 满足 x⩽x′x \leqslant x' 且 y⩾y′y \geqslant y'，则称 PP 优于 P′P'. 如果 Ω\Omega 中的点 QQ 满足：不存在 Ω\Omega 中的其它点优于 QQ，那么所有这样的点 QQ 组成的集合是劣弧（\quad）
A.
\myarcAB\myarc{AB}
B.
\myarcBC\myarc{BC}
C.
\myarcCD\myarc{CD}
D.
\myarcDA\myarc{DA}

2008 · 上海 · 理 · 第 15 题 · 选择题

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12集合与逻辑基础★★★★☆
设 pp：f(x)=ex+ln⁡x+2x2+mx+1f(x) = \mathrm{e}^{x} + \ln x + 2x^{2} + mx + 1 在 (0,+∞)(0, +\infty) 内单调递增，qq：m⩾−5m \geqslant -5，则 pp 是 qq 的（ ）
A.
充分不必要条件
B.
必要不充分条件
C.
充分必要条件
D.
既不充分也不必要条件

2007 · 江西 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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10集合与逻辑基础★★★★☆
设集合 M={1,2,3,4,5,6}M = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}，S1S_1，S2S_2，⋯\cdots，SkS_k 都是 MM 的含两个元素的子集，且满足：对任意的 Si={ai,bi}S_i = \{a_i, b_i\}，Sj={aj,bj}S_j = \{a_j, b_j\}（i≠ji \neq j，ii，j∈{1,2,3,⋯ ,k}j \in \{1, 2, 3, \cdots, k\}），都有 min⁡{aibi,biai}≠min⁡{ajbj,bjaj}\min \left\{\frac{a_i}{b_i}, \frac{b_i}{a_i}\right\} \neq \min \left\{\frac{a_j}{b_j}, \frac{b_j}{a_j}\right\}（min⁡{x,y}\min \{x, y\} 表示两个数 xx，yy 中的较小者）. 则 kk 的最大值是（ ）
A.
1010
B.
1111
C.
1212
D.
1313

2007 · 湖南 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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11三角函数★★★★☆
设 aa，bb，cc 分别是 △ABC\triangle ABC 的三个内角 AA，BB，CC 所对的边，则 a2=b(b+c)a^{2}=b(b+c) 是 A=2BA=2B 的（ ）
A.
充要条件
B.
充分而不必要条件
C.
必要而不充分条件
D.
既不充分也不必要条件

2006 · 四川 · 理 · 第 11 题 · 选择题

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11三角函数★★★★☆
设 aa，bb，cc 分别是 △ABC\triangle ABC 的三个内角 AA，BB，CC 所对的边，则 a2=b(b+c)a^2 = b(b + c) 是 A=2BA = 2B 的（ ）
A.
充要条件
B.
充分而不必要条件
C.
必要而不充分条件
D.
既不充分也不必要条件

2006 · 四川 · 文 · 第 11 题 · 选择题

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08函数与初等函数★★★★☆
函数
f(x)={x,x∈P,−x,x∈M,f(x)=\begin{cases} x, & x\in P,\\ -x, & x\in M, \end{cases}
其中 PP，MM 为实数集 R\mathbf{R} 的两个非空子集，又规定 f(P)={y∣y=f(x),x∈P}f(P)=\{y\mid y=f(x),x\in P\}，f(M)={y∣y=f(x),x∈M}f(M)=\{y\mid y=f(x),x\in M\}，给出下列四个判断：
① 若 P∩M≠∅P\cap M\neq\varnothing，则 f(P)∩f(M)≠∅f(P)\cap f(M)\neq\varnothing； ② 若 P∪M=RP\cup M=\mathbf{R}，则 f(P)∪f(M)=Rf(P)\cup f(M)=\mathbf{R}； ③ 若 P∪M=RP\cup M=\mathbf{R}，则 f(P)∪f(M)=Rf(P)\cup f(M)=\mathbf{R}； ④ 若 P∪M≠RP\cup M\neq\mathbf{R}，则 f(P)∪f(M)≠Rf(P)\cup f(M)\neq\mathbf{R}.
其中正确判断有（ ）
A.
11个
B.
22个
C.
33个
D.
44个

2004 · 北京 · 秋季 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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08函数与初等函数★★★★☆
函数
f(x)={x,x∈P,−x,x∈M,f(x)=\begin{cases} x,&x\in P,\\ -x,&x\in M, \end{cases}
其中 PP，MM 为实数集 R\mathbf{R} 的两个非空子集，又规定 f(P)={y∣y=f(x),x∈P}f(P)=\{y\mid y=f(x),x\in P\}，f(M)={y∣y=f(x),x∈M}f(M)=\{y\mid y=f(x),x\in M\}，给出下列四个判断：
① 若 P∩M=∅P\cap M=\varnothing，则 f(P)∪f(M)=∅f(P)\cup f(M)=\varnothing； ② 若 P∩M≠∅P\cap M\neq\varnothing，则 f(P)∩f(M)≠∅f(P)\cap f(M)\neq\varnothing； ③ 若 P∪M=RP\cup M=\mathbf{R}，则 f(P)∪f(M)=Rf(P)\cup f(M)=\mathbf{R}； ④ 若 P∪M≠RP\cup M\neq\mathbf{R}，则 f(P)∪f(M)≠Rf(P)\cup f(M)\neq\mathbf{R}.
其中正确判断有（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 因为题目给出的 ff 是函数，若 x∈P∩Mx\in P\cap M，则同一个 xx 必须满足 f(x)=xf(x)=x 和 f(x)=−xf(x)=-x，故 x=0x=0，即 P∩M⊆{0}P\cap M\subseteq\{0\}. 对任意 p∈Pp\in P，即使 p∈Mp\in M，也只能有 p=0p=0，仍有 f(p)=pf(p)=p，所以 f(P)=Pf(P)=P；同理 f(M)=−M={−m∣m∈M}f(M)=-M=\{-m\mid m\in M\}.
第一个命题不正确：PP，MM 都是非空集，即使 P∩M=∅P\cap M=\varnothing，f(P)f(P) 和 f(M)f(M) 仍分别非空，所以它们的并集不可能为空.
第二个命题正确：若 P∩M≠∅P\cap M\neq\varnothing，由上面的结论必有 0∈P∩M0\in P\cap M，而 f(0)=0f(0)=0，所以 0∈f(P)∩f(M)0\in f(P)\cap f(M).
第三个命题不正确. 取 P=[0,+∞)P=[0,+\infty)，M=(−∞,0]M=(-\infty,0]，则 P∪M=RP\cup M=\mathbf{R}，且 f(P)=[0,+∞)f(P)=[0,+\infty)，f(M)=[0,+∞)f(M)=[0,+\infty)，故 f(P)∪f(M)≠Rf(P)\cup f(M)\neq\mathbf{R}.
证明第四个命题的逆否命题. 假设 f(P)∪f(M)=Rf(P)\cup f(M)=\mathbf{R}，若存在 x∉P∪Mx\notin P\cup M，则 x∉Px\notin P，从而 x∉f(P)=Px\notin f(P)=P，所以 x∈f(M)x\in f(M). 由 f(M)=−Mf(M)=-M 可知 −x∈M-x\in M.
又因 −x∈R=f(P)∪f(M)=P∪(−M)-x\in\mathbf{R}=f(P)\cup f(M)=P\cup(-M)，若 −x∈f(M)=−M-x\in f(M)=-M，则存在 m∈Mm\in M 使 −m=−x-m=-x，即 m=xm=x，与 x∉Mx\notin M 矛盾. 因而 −x∈f(P)=P-x\in f(P)=P. 结合 −x∈M-x\in M，得 −x∈P∩M⊆{0}-x\in P\cap M\subseteq\{0\}，所以 x=0x=0. 但此时 x=0∈Mx=0\in M，仍与 x∉P∪Mx\notin P\cup M 矛盾. 所以 P∪M=RP\cup M=\mathbf{R}，第四个命题正确.
因此正确判断有第二和第四个，共 22 个，选 B. \end{solution}
A.
3个
B.
2个
C.
1个
D.
0个

2004 · 北京 · 秋季 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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16集合与逻辑基础★★★★☆
设有如下三个命题：甲：相交两直线 ll，mm 都在平面 α\alpha 内，并且都不在平面 β\beta 内. 乙：ll，mm 之中至少有一条与 β\beta 相交. 丙：α\alpha 与 β\beta 相交. 当甲成立时（ ）
A.
乙是丙的充分而不必要的条件
B.
乙是丙的必要而不充分的条件
C.
乙是丙的充分且必要的条件
D.
乙既不是丙的充分条件又不是丙的必要条件

1993 · 京湘鄂云琼贵 · 理 · 第 16 题 · 选择题

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21立体几何初步★★★★☆
平行六面体成为直平行六面体的一个充分必要条件是（ ）
A.
它有两个矩形的侧面
B.
它的一条侧棱垂直于底面的两条边
C.
它有两条侧棱都垂直于底面的一条边
D.
它有两个侧面都垂直于底面

1987 · 广东 · 理 · 第 21 题 · 选择题

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