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21函数与初等函数★★★★☆
已知非空集合 A⊆RA\subseteq\mathbf{R}，函数 y=f(x)y=f(x) 的定义域为 DD，若对任意 t∈At\in A 且 x∈Dx\in D，不等式 f(x)≥f(x+t)f(x)\geq f(x+t) 恒成立，则称函数 f(x)f(x) 具有 AA 性质.
(1) 当 A={−1}A=\{-1\}，判断 f(x)=−xf(x)=-x，g(x)=2xg(x)=2^x 是否具有 AA 性质； (2) 当 A=(0,1)A=(0,1)，f(x)=x+1xf(x)=x+\dfrac{1}{x}，x∈[a,+∞)x\in[a,+\infty)，若 f(x)f(x) 具有 AA 性质，求 aa 的取值范围； (3) 当 A={−2,m}A=\{-2,m\}，m∈Zm\in\mathbf{Z}，若 DD 为整数集且具有 AA 性质的函数均为常值函数，求所有符合条件的 mm 的值.

2020 · 上海 · 春季 · 第 21 题 · 解答题

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22数列★★★★☆
对于无穷数列 {an}\{a_n\} 与 {bn}\{b_n\}，记 A={x∣x=an, n∈N∗}A=\{x\mid x=a_n,\ n\in\mathbf{N}^*\}，B={x∣x=bn, n∈N∗}B=\{x\mid x=b_n,\ n\in\mathbf{N}^*\}. 若同时满足条件：
① {an}\{a_n\}，{bn}\{b_n\} 均单调递增； ② A∩B=∅A\cap B=\varnothing 且 A∪B=N∗A\cup B=\mathbf{N}^*，则称 {an}\{a_n\} 与 {bn}\{b_n\} 是无穷互补数列.
(1) 若 an=2n−1a_n=2n-1，bn=4n−2b_n=4n-2，判断 {an}\{a_n\} 与 {bn}\{b_n\} 是否为无穷互补数列，并说明理由； (2) 若 an=2na_n=2^n 且 {an}\{a_n\} 与 {bn}\{b_n\} 是无穷互补数列，求数列 {bn}\{b_n\} 的前 1616 项的和； (3) 若 {an}\{a_n\} 与 {bn}\{b_n\} 是无穷互补数列，{an}\{a_n\} 为等差数列且 a16=36a_{16}=36，求 {an}\{a_n\} 与 {bn}\{b_n\} 的通项公式.

2016 · 上海 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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23集合与逻辑基础★★★★☆
已知集合 X={1,2,3}X = \{1, 2, 3\}，Yn={1,2,3,⋯ ,n}Y_n = \{1, 2, 3, \cdots, n\}（n∈N∗n \in \mathbf{N}^*），设 Sn={(a,b)∣aS_n = \{(a, b) \mid a 整除 bb 或 bb 整除 a,a∈X,b∈Yn}a, a \in X, b \in Y_n\}，令 f(n)f(n) 表示集合 SnS_n 所含元素的个数.
(1) 写出 f(6)f(6) 的值； (2) 当 n⩾6n \geqslant 6 时，写出 f(n)f(n) 的表达式，并用数学归纳法证明.

2015 · 江苏 · 第 23 题 · 解答题

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19集合与逻辑基础★★★★☆
已知 qq 和 nn 均为给定的大于 11 的自然数. 设集合 M={0,1,2,…,q−1}M = \{0, 1, 2, \dots, q - 1\}，集合 A={x∣x=x1+x2q+⋯+xnqn−1,xi∈M,i=1,2,…,n}A = \{x \mid x = x_1 + x_2q + \dots + x_nq^{n-1}, x_i \in M, i = 1, 2, \dots, n\}.
(1) 当 q=2q = 2，n=3n = 3 时，用列举法表示集合 AA； (2) 设 ss，t∈At \in A，s=a1+a2q+⋯+anqn−1s = a_1 + a_2q + \cdots + a_nq^{n-1}，t=b1+b2q+⋯+bnqn−1t = b_1 + b_2q + \cdots + b_nq^{n-1}，其中 aia_i，bi∈Mb_i \in M，i=1i = 1，22，⋯\cdots，nn. 证明：若 an<bna_n < b_n，则 s<ts < t.

2014 · 天津 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20集合与逻辑基础★★★★☆
已知 qq 和 nn 均为给定的大于 11 的自然数. 设集合 M={0,1,2,⋯ ,q−1}M = \{0, 1, 2, \cdots, q-1\}，集合 A={x∣x=x1+x2q+⋯+xnqn−1,xi∈M,i=1,2,⋯ ,n}A = \{x \mid x = x_1 + x_2q + \cdots + x_nq^{n-1}, x_i \in M, i = 1, 2, \cdots, n\}.
(1) 当 q=2q = 2，n=3n = 3 时，用列举法表示集合 AA； (2) 设 ss，t∈At \in A，s=a1+a2q+⋯+anqn−1s = a_1 + a_2q + \cdots + a_nq^{n-1}，t=b1+b2q+⋯+bnqn−1t = b_1 + b_2q + \cdots + b_nq^{n-1}，其中 aia_i，bi∈Mb_i \in M，i=1i = 1，22，⋯\cdots，nn. 证明：若 an<bna_n < b_n，则 s<ts < t.

2014 · 天津 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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21不等式★★★★☆
设 a<1a < 1，集合 A={x∈R∣x>0}A = \{x \in \mathbf{R} \mid x > 0\}，B={x∈R∣2x2−3(1+a)x+6a>0}B = \{x \in \mathbf{R} \mid 2x^2 - 3(1 + a)x + 6a > 0\}，D=A∩BD = A \cap B.
(1) 求集合 DD （用区间表示）； (2) 求函数 f(x)=2x3−3(1+a)x2+6axf(x) = 2x^3 - 3(1 + a)x^2 + 6ax 在 DD 内的极值点.

2012 · 广东 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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21不等式★★★★☆
设 0<a<10 < a < 1，集合 A={x∈R∣x>0}A = \{x \in \mathbf{R} \mid x > 0\}，B={x∈R∣2x2−3(1+a)x+6a>0}B = \{x \in \mathbf{R} \mid 2x^2 - 3(1 + a)x + 6a > 0\}，D=A∩BD = A \cap B.
(1) 求集合 DD （用区间表示）； (2) 求函数 f(x)=2x3−3(1+a)x2+6axf(x) = 2x^{3} - 3(1 + a)x^{2} + 6ax 在 DD 内的极值点.

2012 · 广东 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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22数列★★★★☆
已知数列 {an}\{a_n\} 和 {bn}\{b_n\} 的通项公式分别为 an=3n+6a_n = 3n + 6，bn=2n+7b_n = 2n + 7 （n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}），将集合 {x∣x=an,n∈N∗}∪{x∣x=bn,n∈N∗}\{x \mid x = a_n, n \in \mathbf{N}^{*}\} \cup \{x \mid x = b_n, n \in \mathbf{N}^{*}\} 中的元素从小到大依次排列，构成数列 c1c_1，c2c_2，c3c_3，c4c_4，⋯\cdots，cnc_n，⋯\cdots.
(1) 求 c1c_1，c2c_2，c3c_3，c4c_4； (2) 求证：在数列 {an}\{a_n\} 中，但不在数列 {bn}\{b_n\} 中的项恰为 a2a_2，a4a_4，⋯\cdots，a2na_{2n}，⋯\cdots； (3) 求数列 {cn}\{c_n\} 的通项公式.

2011 · 上海 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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20集合与逻辑基础★★★★☆
已知集合 Sn={X∣X=(x1,x2,…,xn),xi∈{0,1},i=1,2,⋯ ,n}S_{n} = \{X \mid X = (x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}), x_{i} \in \{0, 1\}, i = 1, 2, \cdots, n\}（n⩾2n \geqslant 2），对于 A=(a1,a2,⋯ ,an)A = (a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n})，B=(b1,b2,⋯ ,bn)∈SnB = (b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{n}) \in S_{n}，定义 AA 与 BB 的差为 A−B=(∣a1−b1∣,∣a2−b2∣,⋯ ,∣an−bn∣)A - B = (|a_{1} - b_{1}|, |a_{2} - b_{2}|, \cdots, |a_{n} - b_{n}|)； AA 与 BB 之间的距离为 d(A,B)=∑i=1n∣ai−bi∣d(A, B) = \sum_{i=1}^{n} |a_{i} - b_{i}|.
(1) 当 n=5n = 5 时，设 A=(0,1,0,0,1)A = (0, 1, 0, 0, 1)，B=(1,1,1,0,0)B = (1, 1, 1, 0, 0)，求 A−BA - B，d(A,B)d(A, B)； (2) 证明： ∀A\forall A，BB，C∈SnC \in S_n，有 A−B∈SnA - B \in S_n，且 d(A−C,B−C)=d(A,B)d(A - C, B - C) = d(A, B)； (3) 证明： ∀A\forall A，BB，C∈SnC \in S_n，d(A,B)d(A, B)，d(A,C)d(A, C)，d(B,C)d(B, C) 三个数中至少有一个是偶数.

2010 · 北京 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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18不等式★★★★☆
设全集 U=RU = \mathbf{R}.
(1) 解关于 xx 的不等式 ∣x−1∣+a−1>0|x - 1| + a - 1 > 0（a∈Ra \in \mathbf{R}）； (2) 记 AA 为（1）中不等式的解集，集合 B={x∣sin⁡(πx−π3)+3cos⁡(πx−π3)=0}B = \left\{x \mid \sin \left( \pi x - \frac{\pi}{3} \right) + \sqrt{3} \cos \left( \pi x - \frac{\pi}{3} \right) = 0 \right\}，若 (∁UA)∩B(\complement_U A) \cap B 恰有 33 个元素，求 aa 的取值范围.

2004 · 辽宁 · 第 18 题 · 解答题

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22数列★★★★☆
若 AnA_{n} 和 BnB_{n} 分别表示数列 {an}\{a_{n}\} 和 {bn}\{b_{n}\} 前 nn 项的和，对任意正整数 nn，an=−2n+32a_{n} = -\frac{2n+3}{2}，4Bn−12An=13n4B_{n} - 12A_{n} = 13n.
(1) 求数列 {bn}\{b_{n}\} 的通项公式. (2) 设有抛物线列 C1C_{1}，C2C_{2}，⋯\cdots，CnC_{n}，⋯\cdots，抛物线 CnC_{n}（n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}）的对称轴平行于 yy 轴，顶点为 (an,bn)(a_{n}, b_{n})，且通过点 Dn(0,n2+1)D_{n}(0, n^{2} + 1)，过点 DnD_{n} 且与抛物线 CnC_{n} 相切的直线斜率为 knk_{n}，求极限 lim⁡n→∞k1+k2+k3+⋯+knanbn\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{k_1 + k_2 + k_3 + \cdots + k_n}{a_n b_n}. (3) 设集合 X={x∣x=2an,n∈N∗}X = \{x \mid x = 2a_n, n \in \mathbf{N}^{*}\}，Y={y∣y=4bn,n∈N∗}Y = \{y \mid y = 4b_n, n \in \mathbf{N}^{*}\}. 把 X∩YX \cap Y 中小于 −100-100 的元素从大到小排列构成数列 {cn}\{c_n\}，求 cnc_n 的通项公式.

1998 · 上海 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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25不等式★★★★☆
关于实数 xx 的不等式 ∣x−(a+1)22∣≤(a−1)22\left|x-\frac{(a+1)^2}{2}\right|\le\frac{(a-1)^2}{2} 与 x2−3(a+1)x+2(3a+1)≤0x^2-3(a+1)x+2(3a+1)\le0（其中 a∈Ra\in\mathbf{R}）的解集依次记为 AA 与 BB. 求使 A⊆BA\subseteq B 的 aa 的取值范围.

1990 · 上海 · 第 25 题 · 解答题

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17集合与逻辑基础★★★★☆
设 aa，bb 是两个实数，
A={(x,y)∣x=n,y=na+b,n∈Z}A = \left\{\left(x, y\right)\mid x = n, y = na + b, n \in \mathbf{Z}\right\}，
B={(x,y)∣x=m,y=3m2+15,m∈Z}B = \left\{\left(x, y\right)\mid x = m, y = 3m^2 + 15, m \in \mathbf{Z}\right\}，
C={(x,y)∣x2+y2⩽144}C = \left\{(x, y)\mid x^2 + y^2 \leqslant 144\right\} 是平面 xOyxOy 内的点集合，讨论是否存在 aa 和 bb 使得
(1) A∩B≠∅A \cap B \neq \varnothing（∅\varnothing 表示空集）； (2) (a,b)∈C\left(a,b\right)\in C 同时成立.
\begin{solution} 若 A∩B≠∅A\cap B\neq\varnothing，则存在整数 nn 和 mm，使得 (n,na+b)=(m,3m2+15)(n,na+b)=(m,3m^2+15). 比较横坐标得 n=mn=m，记这个整数为 kk，于是
ka+b=3k2+15ka+b=3k^2+15
恒等式 (k2+1)(a2+b2)=(ka+b)2+(a−kb)2(k^2+1)(a^2+b^2)=(ka+b)^2+(a-kb)^2 给出
a2+b2⩾(ka+b)2k2+1=(3k2+15)2k2+1a^2+b^2\geqslant\frac{(ka+b)^2}{k^2+1}=\frac{(3k^2+15)^2}{k^2+1}
而 (3k2+15)2−144(k2+1)=9(k2−3)2>0(3k^2+15)^2-144(k^2+1)=9(k^2-3)^2>0，其中严格不等号成立是因为 kk 为整数，不可能有 k2=3k^2=3. 所以 a2+b2>144a^2+b^2>144，这与 (a,b)∈C(a,b)\in C，即 a2+b2⩽144a^2+b^2\leqslant144，矛盾. 因此不存在同时满足这两个条件的实数 aa 和 bb. \end{solution}

1985 · 全国 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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