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16立体几何初步★★★★☆
已知空间直角坐标系中有一正方体，其三组棱分别与 xx 轴，yy 轴，zz 轴重合，顶点 AA 与坐标原点重合，点 CC 是正方体底面中与 AA 相对的对角顶点，点 C1C_1 在点 CC 的正上方. 将正方体绕直线 AC1AC_1 旋转一周，点 CC 的运动轨迹会经过（ ）个空间卦限.
A.
11
B.
33
C.
44
D.
77

2026 · 上海 · 第 16 题 · 选择题

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15立体几何初步★★★★☆
如图，在正方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 中，PP，QQ，RR，SS 分别为棱 ABAB，BCBC，BB1BB_1，CDCD 的中点，连接 A1SA_1S，B1DB_1D. 对于空间任意两点 MM，NN，若线段 MNMN 上不存在也在线段 A1SA_1S，B1DB_1D 上的点，则称 MM，NN 两点“可视”，则下列选项中与点 D1D_1“可视”的点为（ ）
A.
点 PP
B.
点 BB
C.
点 RR
D.
点 QQ

2022 · 上海 · 第 15 题 · 选择题

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15立体几何初步★★★★☆
《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马. 设 AA1AA_1 是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点，以 AA1AA_1 为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（ ）
A.
44
B.
88
C.
1212
D.
1616

2018 · 上海 · 第 15 题 · 选择题

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13立体几何初步★★★★☆
在 xOyxOy 平面上，将两个半圆弧 (x−1)2+y2=1(x-1)^2+y^2=1 （x⩾1x\geqslant 1）和 (x−3)2+y2=1(x-3)^2+y^2=1（x⩾3x\geqslant 3），两条直线 y=1y=1 和 y=−1y=-1 围成的封闭图形记为 DD，如图中阴影部分. 记 DD 绕 yy 轴旋转一周而成的几何体为 Ω\Omega，过 (0,y)(0,y) （∣y∣⩽1|y|\leqslant 1）作 Ω\Omega 的水平截面，所得截面面积为 4π1−y2+8π4\pi\sqrt{1-y^2}+8\pi，试利用祖暅原理，一个平放的圆柱和一个长方体，得出 Ω\Omega 的体积为______.
\begin{answer} 2π2+16π2\pi^2+16\pi \end{answer}
\begin{solution} 考虑一个半径为 11、轴向长度为 2π2\pi 的平放圆柱. 在高度 yy（∣y∣⩽1|y|\leqslant1）处，其水平截面为矩形，面积为
2π⋅21−y2=4π1−y22\pi\cdot2\sqrt{1-y^2}=4\pi\sqrt{1-y^2}
再取一个高为 22、水平截面面积恒为 8π8\pi 的长方体. 两者组成的几何体在每个 ∣y∣⩽1|y|\leqslant1 处的水平截面面积均为
4π1−y2+8π4\pi\sqrt{1-y^2}+8\pi
与 Ω\Omega 的对应截面面积相等. 由祖暅原理，
V(Ω)=π⋅12⋅2π+8π⋅2=2π2+16πV(\Omega)=\pi\cdot1^2\cdot2\pi+8\pi\cdot2=2\pi^2+16\pi
\end{solution}

2013 · 上海 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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21立体几何初步★★★★☆
已知 ABCD−A1B1C1D1ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 是底面边长为 1 的正四棱柱，O1O_1 为 A1C1A_1C_1 与 B1D1B_1D_1 的交点.
(1) 设 AB1AB_1 与底面 A1B1C1D1A_1B_1C_1D_1 所成角的大小为 α\alpha，二面角 A−B1D1−A1A - B_{1}D_{1} - A_1 的大小为 β\beta. 求证：tan⁡β=2tan⁡α\tan \beta = \sqrt{2}\tan \alpha； (2) 若点 CC 到平面 AB1D1AB_1D_1 的距离为 43\frac{4}{3}，求正四棱柱 ABCD−A1B1C1D1ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 的高.

2011 · 上海 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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10立体几何初步★★★★☆
在平面上，两条直线的位置关系有相交，平行，重合三种. 已知 α\alpha，β\beta 是两个相交平面，空间两条直线 l1l_{1}，l2l_{2} 在 α\alpha 上的射影是直线 s1s_{1}，s2s_{2}，l1l_{1}，l2l_{2} 在 β\beta 上的射影是直线 t1t_{1}，t2t_{2}. 用 s1s_{1} 与 s2s_{2}，t1t_{1} 与 t2t_{2} 的位置关系，写出一个总能确定 l1l_{1} 与 l2l_{2} 是异面直线的充分条件：______.

2007 · 上海 · 理 · 第 10 题 · 填空题

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11导数及其应用★★★★☆
如图，ABAB 是直线 ll 上的两点，且 AB=2AB = 2. 两个半径相等的动圆分别与 ll 相切于 AA，BB 点，CC 是这两个圆的公共点，则圆弧 ACAC，CBCB 与线段 ABAB 围成图形面积 SS 的取值范围是______.

2007 · 上海 · 文 · 第 11 题 · 填空题

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10立体几何初步★★★★☆
如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”. 在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是______.

2006 · 上海 · 理 · 第 10 题 · 填空题

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11立体几何初步★★★★☆
有两个相同的直三棱柱，高为 2a\frac{2}{a}，底面三角形的三边长分别为 3a3a，4a4a，5a5a（a>0a > 0）. 用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面积最小的是一个四棱柱，则 aa 的取值范围是______.

2005 · 上海 · 理 · 第 11 题 · 填空题

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12立体几何初步★★★★☆
有两个相同的直三棱柱，高为 2a\frac{2}{a}，底面三角形的三边长分别为 3a3a，4a4a，5a5a（a>0a>0）. 用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面积最小的是一个四棱柱，则 aa 的取值范围是______.

2005 · 上海 · 文 · 第 12 题 · 填空题

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