球 $O$ 的体积为 $4\sqrt{3}\pi$，$A$，$B$，$C$，$D$ 四点均在球 $O$ 的球面上，$\triangle ABC$ 为等边三角形，$DA=DB=DC=\sqrt{2}$，则 $\triangle ABC$ 的面积为 ______。

如图, 在四边形 $ABCD$ 中, $AB \parallel CD$, $\angle DAB = 90^\circ$, $F$ 为 $CD$ 的中点, 点 $E$ 在 $AB$ 上, $EF \parallel AD$, $AB = 3AD$, $CD = 2AD$。将四边形 $EFDA$ 沿 $EF$ 翻折至四边形 $EFD'A'$, 使得面 $EFD'A'$ 与面 $EFCB$ 所成的二面角为 $60^\circ$。

(1) 证明: $A'B \parallel$ 平面 $CD'F$;

(2) 求面 $BCD'$ 与面 $EFD'A'$ 所成的二面角的正弦值。

如图, 三棱锥 $A-BCD$, $DA=DB=DC$, $BD \perp CD$, $\angle ADB = \angle ADC = 60^\circ$, $E$ 为 $BC$ 中点。

(1) 证明 $BC \perp DA$;

(2) $F$ 满足 $\overrightarrow{EF} = \overrightarrow{DA}$, 求二面角 $D-AB-F$ 的正弦值。