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17立体几何初步★★★★☆
正方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 的棱长为 4，EE，FF 分别为 A1D1A_1D_1，C1B1C_1B_1 中点，且 CG=3GC1CG=3GC_1.
(1) 求证：GF⊥GF\perp 平面 FBEFBE； (2) 求平面 FBEFBE 与平面 EBGEBG 的夹角余弦； (3) 求四面体 D−FBED-FBE 的体积.

2025 · 天津 · 第 17 题 · 解答题

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09立体几何初步★★★★☆
一个五面体 ABC−DEFABC-DEF. 已知 AD∥BE∥CFAD\parallel BE\parallel CF，且两两之间距离为 1，并已知 AD=1AD=1，BE=2BE=2，CF=3CF=3. 则该五面体的体积为（ ）
A.
36\dfrac{\sqrt3}{6}
B.
334+12\dfrac{3\sqrt3}{4}+\dfrac12
C.
32\dfrac{\sqrt3}{2}
D.
334−12\dfrac{3\sqrt3}{4}-\dfrac12

2024 · 天津 · 第 9 题 · 选择题

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08立体几何初步★★★★☆
“十字歇山顶”是中国古代建筑屋顶的经典样式之一，图 1 中的故宫角楼的顶部即为十字歇山顶. 其上部可视为由两个相同的直三棱柱交叠而成的几何体（图 2）. 这两个直三棱柱有一个公共侧面 ABCDABCD，在底面 BCEBCE 中，若 BE=CE=3BE=CE=3，∠BEC=120∘\angle BEC=120^{\circ}，则该几何体的体积为（ ）
\bitmapinclude[max width=6.0cm]{img/2022/tianjin/q8_fig1.png}\bitmapinclude[max width=6.0cm]{img/2022/tianjin/q8_fig2.png}
A.
272\dfrac{27}{2}
B.
2732\dfrac{27\sqrt{3}}{2}
C.
27
D.
27327\sqrt{3}

2022 · 天津 · 第 8 题 · 选择题

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17立体几何初步★★★★☆
如图，AE⊥AE\perp平面 ABCDABCD，CF∥AECF\parallel AE，AD∥BCAD\parallel BC，AD⊥ABAD\perp AB，AB=AD=1AB=AD=1，AE=BC=2AE=BC=2.
(1) 求证：BF∥BF\parallel平面 ADEADE； (2) 求直线 CECE 与平面 BDEBDE 所成角的正弦值； (3) 若二面角 E−BD−FE-BD-F 的余弦值为 13\dfrac{1}{3}，求线段 CFCF 的长.

2019 · 天津 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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17立体几何初步★★★★☆
如图，AD∥BCAD\parallel BC 且 AD=2BCAD=2BC，AD⊥CDAD\perp CD，EG∥ADEG\parallel AD 且 EG=ADEG=AD，CD∥FGCD\parallel FG 且 CD=2FGCD=2FG，DG⊥DG\perp 平面 ABCDABCD，DA=DC=DG=2DA=DC=DG=2.
(1) 若 MM 为 CFCF 的中点，NN 为 EGEG 的中点，求证：MN∥MN\parallel 平面 CDECDE； (2) 求二面角 E−BC−FE-BC-F 的正弦值； (3) 若点 PP 在线段 DGDG 上，且直线 BPBP 与平面 ADGEADGE 所成的角为 60∘60^\circ，求线段 DPDP 的长.

2018 · 天津 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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17立体几何初步★★★★☆
如图，在三棱锥 P−ABCP-ABC 中，PA⊥PA\perp 底面 ABCABC，∠BAC=90∘\angle BAC=90^\circ. 点 DD，EE，NN 分别为棱 PAPA，PCPC，BCBC 的中点，MM 是线段 ADAD 的中点，PA=AC=4PA=AC=4，AB=2AB=2.
(1) 求证：MN∥MN\parallel 平面 BDEBDE； (2) 求二面角 C−EM−NC-EM-N 的正弦值； (3) 已知点 HH 在棱 PAPA 上，且直线 NHNH 与直线 BEBE 所成角的余弦值为 721\dfrac{\sqrt{7}}{21}，求线段 AHAH 的长.

2017 · 天津 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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17立体几何初步★★★★☆
如图，正方形 ABCDABCD 的中心为 OO，四边形 OBEFOBEF 为矩形，平面 OBEF⊥OBEF\perp 平面 ABCDABCD，点 GG 为 ABAB 的中点，AB=BE=2AB=BE=2.
(1) 求证：EG∥EG\parallel 平面 ADFADF； (2) 求二面角 O−EF−CO-EF-C 的正弦值； (3) 设 HH 为线段 AFAF 上的点，且 AH=23HFAH=\dfrac23HF，求直线 BHBH 和平面 CEFCEF 所成角的正弦值.

2016 · 天津 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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17立体几何初步★★★★☆
如图，四边形 ABCDABCD 是平行四边形，平面 AED⊥AED \perp 平面 ABCDABCD，EF∥ABEF\parallel AB，AB=2AB=2，DE=3DE=3，BC=EF=1BC=EF=1，AE=6AE=\sqrt6，∠BAD=60∘\angle BAD=60^\circ，GG 为 BCBC 的中点.
(1) 求证：FG∥FG\parallel 平面 BEDBED； (2) 求证：平面 BED⊥BED \perp 平面 AEDAED； (3) 求直线 EFEF 与平面 BEDBED 所成角的正弦值.

2016 · 天津 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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17立体几何初步★★★★☆
如图，在四棱柱 ABCD−A1B1C1D1ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 中，侧棱 A1A⊥A_{1}A \perp 底面 ABCDABCD，AB⊥ACAB \perp AC，AB=1AB = 1，AC=AA1=2AC = AA_{1} = 2，AD=CD=5AD = CD = \sqrt{5}，且点 MM 和 NN 分别为 B1CB_{1}C 和 D1DD_{1}D 的中点.
(1) 求证：MN∥MN \parallel 平面 ABCDABCD； (2) 求二面角 D1−AC−B1D_{1} - AC - B_{1} 的正弦值； (3) 设 EE 为棱 A1B1A_{1}B_{1} 上的点，若直线 NENE 和平面 ABCDABCD 所成角的正弦值为 13\frac{1}{3}，求线段 A1EA_{1}E 的长.

2015 · 天津 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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17立体几何初步★★★★☆
如图，四棱锥 PABCDPABCD 的底面 ABCDABCD 是平行四边形，BA=BD=2BA = BD = \sqrt{2}，AD=2AD = 2，PA=PD=5PA = PD = \sqrt{5}，EE，FF 分别是棱 ADAD，PCPC 的中点.
(1) 证明：EF∥EF \parallel 平面 PABPAB； (2) 若二面角 P−AD−BP - AD - B 为 60∘60^{\circ}，
(i) 证明：平面 PBC⊥PBC \perp 平面 ABCDABCD； (ii) 求直线 EFEF 与平面 PBCPBC 所成角的正弦值.

2014 · 天津 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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17立体几何初步★★★★☆
如图所示，在四棱柱 ABCD−A1B1C1D1ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 中，侧棱 A1A⊥A_{1}A \perp 底面 ABCDABCD，AB∥DCAB \parallel DC，AB⊥ADAB \perp AD，AD=CD=1AD = CD = 1，AA1=AB=2AA_{1} = AB = 2，EE 为棱 AA1AA_{1} 的中点.
(1) 证明： B1C1⊥CEB_{1}C_{1}\perp CE； (2) 求二面角 B1−CE−C1B_{1} - CE - C_{1} 的平面角的正弦值； (3) 设点 MM 在线段 C1EC_{1}E 上，且直线 AMAM 与平面 ADD1A1ADD_{1}A_{1} 所成角的正弦值为 26\frac{\sqrt{2}}{6}，求线段 AMAM 的长.

2013 · 天津 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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17立体几何初步★★★★☆
如图，在三棱柱 ABC−A1B1C1ABC - A_{1}B_{1}C_{1} 中，HH 是正方形 AA1B1BAA_{1}B_{1}B 的中心，AA1=22AA_{1} = 2\sqrt{2}，C1H⊥C_{1}H \perp 平面 AA1B1BAA_{1}B_{1}B，且 C1H=5C_{1}H = \sqrt{5}.
(1) 求异面直线 ACAC 与 A1B1A_{1}B_{1} 所成角的余弦值； (2) 求二面角 A−A1C1−B1A - A_{1}C_{1} - B_{1} 的正弦值； (3) 设 NN 为棱 B1C1B_{1}C_{1} 的中点，点 MM 在平面 AA1B1BAA_{1}B_{1}B 内，且 MN⊥MN \perp 平面 A1B1C1A_{1}B_{1}C_{1}，求线段 BMBM 的长.
\begin{solution} 取空间直角坐标系，使 A=(0,0,0)A=(0,0,0)，A1=(22,0,0)A_1=(2\sqrt2,0,0)，B=(0,22,0)B=(0,2\sqrt2,0)，B1=(22,22,0)B_1=(2\sqrt2,2\sqrt2,0). 于是 H=(2,2,0)H=(\sqrt2,\sqrt2,0). 由于 C1HC_1H 垂直于正方形所在平面且 C1H=5C_1H=\sqrt5，可取 C1=(2,2,5)C_1=(\sqrt2,\sqrt2,\sqrt5)，C=(−2,2,5)C=(-\sqrt2,\sqrt2,\sqrt5).
\begin{enumerate} \item AC→=(−2,2,5)\overrightarrow{AC}=(-\sqrt2,\sqrt2,\sqrt5)，A1B1→=(0,22,0)\overrightarrow{A_1B_1}=(0,2\sqrt2,0). 所以 AC→⋅A1B1→=4\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{A_1B_1}=4，∣AC→∣=3|\overrightarrow{AC}|=3，∣A1B1→∣=22|\overrightarrow{A_1B_1}|=2\sqrt2. 因此
cos⁡θ=∣4∣3⋅22=23\cos\theta=\frac{|4|}{3\cdot2\sqrt2} =\frac{\sqrt2}{3}
\item 平面 AA1C1AA_1C_1 和平面 A1B1C1A_1B_1C_1 的法向量可分别取 n1=(0,210,−4)\mathbf n_1=(0,2\sqrt{10},-4)，n2=(210,0,4)\mathbf n_2=(2\sqrt{10},0,4). 有 ∣n1⋅n2∣=16|\mathbf n_1\cdot\mathbf n_2|=16，∣n1∣2=∣n2∣2=56|\mathbf n_1|^2=|\mathbf n_2|^2=56. 若二面角为 φ\varphi，则
cos⁡φ=1656=27\cos\varphi=\frac{16}{56}=\frac27
从而
sin⁡φ=1−449=357\sin\varphi=\sqrt{1-\frac4{49}}=\frac{3\sqrt5}{7}
\item 点 NN 为 B1C1B_1C_1 的中点，故
N=(322,322,52)N=\left(\frac{3\sqrt2}{2},\frac{3\sqrt2}{2},\frac{\sqrt5}{2}\right)
平面 A1B1C1A_1B_1C_1 的一个法向量为
n=(10,0,2)\mathbf n=(\sqrt{10},0,2)
设 M=(x,y,0)M=(x,y,0). 由 MN⊥MN\perp 平面 A1B1C1A_1B_1C_1，存在实数 λ\lambda 使
M−N=λ(10,0,2)M-N=\lambda(\sqrt{10},0,2)
比较 zz 坐标得 λ=−54\lambda=-\frac{\sqrt5}{4}，于是 x=24x=\frac{\sqrt2}{4}，y=322y=\frac{3\sqrt2}{2}. 因此
BM2=(24)2+(322−22)2=58BM^2=\left(\frac{\sqrt2}{4}\right)^2 +\left(\frac{3\sqrt2}{2}-2\sqrt2\right)^2 =\frac{5}{8}
故 BM=104BM=\frac{\sqrt{10}}4. \end{enumerate} \end{solution}

2011 · 天津 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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17立体几何初步★★★★☆
如图，在四棱锥 P−ABCDP - ABCD 中，底面 ABCDABCD 为平行四边形，∠ADC=45∘\angle ADC = 45^{\circ}，AD=AC=1AD = AC = 1，OO 为 ACAC 中点，PO⊥PO \perp 平面 ABCDABCD，PO=2PO = 2，MM 为 PDPD 中点.
(1) 证明： PB∥PB \parallel 平面 ACMACM； (2) 证明： AD⊥AD \perp 平面 PACPAC； (3) 求直线 AMAM 与平面 ABCDABCD 所成角的正切值.

2011 · 天津 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★★☆
如图，在长方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 中，EE，FF 分别是棱 BCBC，CC1CC_{1} 上的点，CF=AB=2CECF = AB = 2CE，AB:AD:AA1=1:2:4AB:AD:AA_{1} = 1:2:4.
(1) 求异面直线 EFEF 与 A1DA_{1}D 所成角的余弦值； (2) 证明 AF⊥AF \perp 平面 A1EDA_{1}ED； (3) 求二面角 A1−ED−FA_{1} - ED - F 的正弦值.

2010 · 天津 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★★☆
如图，在五面体 ABCDEFABCDEF 中，四边形 ADEFADEF 是正方形，FA⊥FA \perp 平面 ABCDABCD，BC∥ADBC \parallel AD，CD=1CD = 1，AD=22AD = 2\sqrt{2}，∠BAD=∠CDA=45∘\angle BAD = \angle CDA = 45^\circ.
(1) 求异面直线 CECE 与 AFAF 所成角的余弦值； (2) 证明 CD⊥CD \perp 平面 ABFABF； (3) 求二面角 B−EF−AB - EF - A 的正切值.

2010 · 天津 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★★☆
如图，在四棱锥 P−ABCDP - ABCD 中，底面 ABCDABCD 是矩形. 已知 AB=3AB = 3，AD=2AD = 2，PA=2PA = 2，PD=22PD = 2\sqrt{2}，∠PAB=60∘\angle PAB = 60^{\circ}.
(1) 证明 AD⊥AD \perp 平面 PABPAB； (2) 求异面直线 PCPC 与 ADAD 所成角的大小； (3) 求二面角 P−BD−AP - BD - A 的大小.

2008 · 天津 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★★☆
如图，在四棱锥 P−ABCDP - ABCD 中，底面 ABCDABCD 是矩形. 已知 AB=3AB = 3，AD=2AD = 2，PA=2PA = 2，PD=22PD = 2\sqrt{2}，∠PAB=60∘\angle PAB = 60^\circ.
(1) 证明 AD⊥AD \perp 平面 PABPAB； (2) 求异面直线 PCPC 与 ADAD 所成的角的大小； (3) 求二面角 P−BD−AP - BD - A 的大小.

2008 · 天津 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★★☆
如图，在四棱锥 P−ABCDP - ABCD 中，PA⊥PA \perp 底面 ABCDABCD，AB⊥ADAB \perp AD，AC⊥CDAC \perp CD，∠ABC=60∘\angle ABC = 60^{\circ}，PA=AB=BCPA = AB = BC，EE 是 PCPC 的中点.
(1) 证明 CD⊥AECD \perp AE. (2) 证明 PD⊥PD \perp 平面 ABEABE. (3) 求二面角 A−PD−CA - PD - C 的大小.

2007 · 天津 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★★☆
如图，在四棱锥 P−ABCDP - ABCD 中，PA⊥PA \perp 底面 ABCDABCD，AB⊥ADAB \perp AD，AC⊥CDAC \perp CD，∠ABC=60∘\angle ABC = 60^{\circ}，PA=AB=BCPA = AB = BC，EE 是 PCPC 的中点.
(1) 求 PBPB 和平面 PADPAD 所成的角的大小. (2) 证明 AE⊥AE \perp 平面 PCDPCD. (3) 求二面角 A−PD−CA - PD - C 的大小.

2007 · 天津 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★★☆
如图，在五面体 ABCDEFABCDEF 中，点 OO 是矩形 ABCDABCD 的对角线的交点，面 CDECDE 是等边三角形，棱 EF∥BCEF\parallel BC 且 EF=12BCEF=\frac{1}{2}BC.
(1) 证明：FO∥FO\parallel 平面 CDECDE； (2) 设 BC=3CDBC=\sqrt{3}CD，证明：EO⊥EO\perp 平面 CDFCDF.

2006 · 天津 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★★☆
如图，在斜三棱柱 ABC−A1B1C1ABC-A_1B_1C_1 中， ∠A1AB=∠A1AC\angle A_1AB=\angle A_1AC，AB=ACAB=AC，A1A=A1B=aA_1A=A_1B=a，侧面 B1BCC1B_1BCC_1 与底面 ABCABC 所成的二面角为 120∘120^\circ，EE，FF 分别是棱 B1C1B_1C_1，A1AA_1A 的中点.
(1) 求 A1AA_1A 与底面 ABCABC 所成的角； (2) 证明 A1E∥平面 B1FCA_1E\parallel\text{平面 }B_1FC； (3) 求经过 A1A_1，AA，BB，CC 四点的球的体积.

2005 · 天津 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20立体几何初步★★★★☆
如图，在斜三棱柱 ABC−A1B1C1ABC - A_{1}B_{1}C_{1} 中，∠A1AB=∠A1AC\angle A_{1}AB = \angle A_{1}AC，AB=ACAB = AC，A1A=A1B=aA_{1}A = A_{1}B = a，侧面 B1BCC1B_{1}BCC_{1} 与底面 ABCABC 所成的二面角为 120∘120^{\circ}，EE，FF 分别是棱 B1C1B_{1}C_{1}，A1AA_{1}A 的中点.
(1) 求 A1AA_{1}A 与底面 ABCABC 所成的角； (2) 证明 A1E∥A_{1}E \parallel 平面 B1FCB_{1}FC； (3) 求经过 A1A_{1}，AA，BB，CC 四点的球的体积.

2005 · 天津 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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