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106分立体几何初步★★★★☆
在空间中，AA，BB 为两个定点，动点 CC 到直线 ABAB 的距离为 22，动点 DD 到直线 ABAB 的距离为 11，若二面角 C−AB−DC-AB-D 为 60∘60^\circ，则（ ）
A.
∠CAD≥60∘\angle CAD\ge 60^\circ
B.
CD≥3CD\ge \sqrt{3}
C.
当 AB⊥CDAB\perp CD 时，CD⊥平面ABDCD\perp \text{平面} ABD
D.
当 AB⊥平面ACDAB\perp \text{平面} ACD 时，AC⊥ADAC\perp AD

2026 · 全国 · 一卷 · 第 10 题 · 多选题

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1715分立体几何初步★★★★☆
如图所示的四棱锥 P−ABCDP - ABCD 中，PA⊥平面ABCDPA \perp \text{平面} ABCD，BC∥ADBC \parallel AD，AB⊥ADAB \perp AD.
(1) 证明：平面 PAB⊥平面PADPAB \perp \text{平面} PAD； (2) PA=AB=2PA = AB = \sqrt{2}，BC=2BC = 2，AD=1+3AD = 1 + \sqrt{3}，点 PP，BB，CC，DD 均在球 OO 的球面上.
(i) 证明：OO 在平面 ABCDABCD 上； (ii) 求直线 ACAC 与直线 POPO 所成角的余弦值.

2025 · 全国 · 一卷 · 第 17 题 · 解答题

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1715分立体几何初步★★★★☆
如图，四棱锥 P−ABCDP-ABCD 中，PA⊥PA\perp 底面 ABCDABCD，且 PA=AC=2PA=AC=2，BC=1BC=1，AB=3AB=\sqrt3.
(1) 若 AD⊥PBAD\perp PB，证明 AD∥AD\parallel 平面 PBCPBC； (2) 若 AD⊥DCAD\perp DC，且二面角 A−CP−DA-CP-D 的正弦值为 427\frac{\sqrt{42}}{7}，求 ADAD.

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 17 题 · 解答题

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126分立体几何初步★★★★☆
下列物体中，能够被整体放入棱长为 11（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（ ）
A.
直径为 0.99m0.99\text{m} 的球体
B.
所有棱长均为 1.4m1.4\text{m} 的正四面体
C.
底面直径为 0.01m0.01\text{m}，高为 1.8m1.8\text{m} 的圆柱体
D.
底面直径为 1.2m1.2\text{m}，高为 0.01m0.01\text{m} 的圆柱体

2023 · 全国 · 新高考一卷 · 第 12 题 · 多选题

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1817分立体几何初步★★★★☆
如图，在正四棱柱 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 中，AB=2AB=2，AA1=4AA_1=4. 点 A2A_2，B2B_2，C2C_2，D2D_2 分别在棱 AA1AA_1，BB1BB_1，CC1CC_1，DD1DD_1 上，且 AA2=1AA_2=1，BB2=DD2=2BB_2=DD_2=2，CC2=3CC_2=3.
(1) 证明：B2C2∥A2D2B_2C_2\parallel A_2D_2； (2) 点 PP 在棱 BB1BB_1 上，当二面角 P−A2C2−D2P-A_2C_2-D_2 为 150∘150^\circ 时，求 B2PB_2P.

2023 · 全国 · 新高考一卷 · 第 18 题 · 解答题

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085分立体几何初步★★★★☆
已知正四棱锥的侧棱长为 ll，其各顶点都在同一球面上. 若该球的体积为 36π36\pi，且 3≤l≤333\le l\le 3\sqrt3，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ）
A.
[18,814]\left[18,\frac{81}{4}\right]
B.
[274,814]\left[\frac{27}{4},\frac{81}{4}\right]
C.
[274,643]\left[\frac{27}{4},\frac{64}{3}\right]
D.
[18,27][18,27]

2022 · 全国 · 新高考一卷 · 第 8 题 · 选择题

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126分立体几何初步★★★★☆
在正三棱柱 ABC−A1B1C1ABC-A_1B_1C_1 中，AB=AA1=1AB=AA_1=1，点 PP 满足 BP→=λBC→+μBB1→\overrightarrow{BP}=\lambda\overrightarrow{BC}+\mu\overrightarrow{BB_1}，其中 λ∈[0,1]\lambda\in[0,1]，μ∈[0,1]\mu\in[0,1]，则（ ）
A.
当 λ=1\lambda=1 时，△AB1P\triangle AB_1P 的周长为定值
B.
当 μ=1\mu=1 时，三棱锥 P−A1BCP-A_1BC 的体积为定值
C.
当 λ=12\lambda=\frac{1}{2} 时，有且仅有一个点 PP，使得 A1P⊥BPA_1P\perp BP
D.
当 μ=12\mu=\frac{1}{2} 时，有且仅有一个点 PP，使得 A1B⊥A_1B\perp 平面 AB1PAB_1P

2021 · 全国 · 新高考一卷 · 第 12 题 · 多选题

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2015分立体几何初步★★★★☆
如图，在三棱锥 A−BCDA-BCD 中，平面 ABD⊥ABD\perp 平面 BCDBCD，AB=ADAB=AD，OO 为 BDBD 的中点.
(1) 证明：OA⊥CDOA\perp CD； (2) 若 △OCD\triangle OCD 是边长为 11 的等边三角形，点 EE 在棱 ADAD 上，DE=2EADE=2EA，且二面角 E−BC−DE-BC-D 的大小为 45∘45^\circ，求三棱锥 A−BCDA-BCD 的体积.

2021 · 全国 · 新高考一卷 · 第 20 题 · 解答题

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165分立体几何初步★★★★☆
已知直四棱柱 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 的棱长均为 2，∠BAD=60∘\angle BAD=60^\circ. 以 D1D_1 为球心，5\sqrt{5} 为半径的球面与侧面 BCC1B1BCC_1B_1 的交线长为______.

2020 · 全国 · 新高考一卷 · 第 16 题 · 填空题

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2015分立体几何初步★★★★☆
如图，四棱锥 P−ABCDP-ABCD 的底面为正方形，PD⊥PD\perp底面 ABCDABCD. 设平面 PADPAD 与平面 PBCPBC 的交线为 ll.
(1) 证明：l⊥l\perp平面 PDCPDC； (2) 已知 PD=AD=1PD=AD=1，QQ 为 ll 上的点，求 PBPB 与平面 QCDQCD 所成角的正弦值的最大值.

2020 · 全国 · 新高考一卷 · 第 20 题 · 解答题

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12立体几何初步★★★★☆
已知三棱锥 P−ABCP-ABC 的四个顶点在球 OO 的球面上，PA=PB=PCPA=PB=PC，△ABC\triangle ABC 是边长为 22 的正三角形，EE，FF 分别是 PAPA，ABAB 的中点，∠CEF=90∘\angle CEF=90^\circ，则球 OO 的体积为（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
A.
86π8\sqrt6\pi
B.
46π4\sqrt6\pi
C.
26π2\sqrt6\pi
D.
6π\sqrt6\pi

2019 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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16立体几何初步★★★★☆
已知 ∠ACB=90∘\angle ACB=90^\circ，PP 为平面 ABCABC 外一点，PC=2PC=2，点 PP 到 ∠ACB\angle ACB 两边 ACAC，BCBC 的距离均为 3\sqrt3，那么 PP 到平面 ABCABC 的距离为______.

2019 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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12立体几何初步★★★★☆
已知正方体的棱长为 11，每条棱所在直线与平面 α\alpha 所成的角都相等，则 α\alpha 截此正方体所得截面面积的最大值为（ ）
A.
334\frac{3\sqrt3}{4}
B.
233\frac{2\sqrt3}{3}
C.
324\frac{3\sqrt2}{4}
D.
32\frac{\sqrt3}{2}

2018 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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18立体几何初步★★★★☆
如图，四边形 ABCDABCD 为正方形，EE，FF 分别为 ADAD，BCBC 的中点，以 DFDF 为折痕把 △DFC\triangle DFC 折起，使点 CC 到达点 PP 的位置，且 PF⊥BFPF\perp BF.
(1) 证明：平面 PEF⊥PEF\perp 平面 ABFDABFD； (2) 求 DPDP 与平面 ABFDABFD 所成角的正弦值.

2018 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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17立体几何初步★★★★☆
如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形 ABCDABCD（及其内部）以 ABAB 边所在直线为旋转轴旋转 120∘120^\circ 得到的，GG 是 DF⌢\overset{\frown}{DF} 的中点.
(1) 设 PP 是 CE⌢\overset{\frown}{CE} 上的一点，且 AP⊥BEAP\perp BE，求 ∠CBP\angle CBP 的大小； (2) 当 AB=3AB=3，AD=2AD=2 时，求二面角 E−AG−CE-AG-C 的大小.

2017 · 山东 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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17立体几何初步★★★★☆
在如图所示的圆台中，ACAC 是下底面圆 OO 的直径，EFEF 是上底面圆 O′O' 的直径，FBFB 是圆台的一条母线.
(1) 已知 GG，HH 分别为 ECEC，FBFB 的中点，求证：GH∥平面 ABCGH\parallel\text{平面 }ABC； (2) 已知 EF=FB=12AC=23EF=FB=\dfrac12AC=2\sqrt3，AB=BCAB=BC，求二面角 F−BC−AF-BC-A 的余弦值.

2016 · 山东 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18立体几何初步★★★★☆
如图所示，在三棱锥 P−ABQP - ABQ 中，PB⊥PB \perp 平面 ABQABQ，BA=BP=BQBA = BP = BQ，DD，CC，EE，FF 分别是 AQAQ，BQBQ，APAP，BPBP 的中点，AQ=2BDAQ = 2BD，PDPD 与 EQEQ 交于点 GG，PCPC 与 FQFQ 交于点 HH，连接 GHGH.
(1) 求证：AB∥GHAB \parallel GH； (2) 求二面角 D−GH−ED - GH - E 的余弦值.

2013 · 山东 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★★☆
如图，在五棱锥 P−ABCDEP - ABCDE 中，PA⊥PA \perp 平面 ABCDEABCDE，AB∥CDAB \parallel CD，AC∥EDAC \parallel ED，AE∥BCAE \parallel BC，∠ABC=45∘\angle ABC = 45^\circ，AB=22AB = 2\sqrt{2}，BC=2AE=4BC = 2AE = 4，三角形 PABPAB 是等腰三角形.
(1) 求证：平面 PCD⊥PCD \perp 平面 PACPAC； (2) 求直线 PBPB 与平面 PCDPCD 所成角的大小； (3) 求四棱锥 P−ACDEP - ACDE 的体积.

2010 · 山东 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20立体几何初步★★★★☆
如图，已知四棱锥 P−ABCDP - ABCD，底面 ABCDABCD 为菱形，PA⊥PA \perp 平面 ABCDABCD，∠ABC=60∘\angle ABC = 60^{\circ}，EE，FF 分别是 BCBC，PCPC 的中点.
(1) 证明：AE⊥PDAE \perp PD； (2) 若 HH 为 PDPD 上的动点，EHEH 与平面 PADPAD 所成最大角的正切值为 62\frac{\sqrt{6}}{2}，求二面角 E−AF−CE - AF - C 的余弦值.

2008 · 山东 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★★☆
如图，已知平面A1B1C1A_1B_1C_1平行于三棱锥V−ABCV-ABC的底面ABCABC，等边△AB1C\triangle AB_1C所在平面与底面ABCABC垂直，且∠ACB=90∘\angle ACB=90^\circ，设AC=2aAC=2a，BC=aBC=a.
(1) 求证直线B1C1B_1C_1是异面直线AB1AB_1与A1C1A_1C_1的公垂线； (2) 求点AA到平面VBCVBC的距离； (3) 求二面角A−VB−CA-VB-C的大小.

2006 · 山东 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20立体几何初步★★★★☆
如图，已知四棱锥 P−ABCDP - ABCD 的底面 ABCDABCD 为等腰梯形，AB∥DCAB \parallel DC，AC⊥BDAC \perp BD，ACAC 与 BDBD 相交于点 OO，且顶点 PP 在底面上的射影恰为 OO 点，又 BO=2BO = 2，PO=2PO = \sqrt{2}，PB⊥PDPB \perp PD.
(1) 求异面直线 PDPD 与 BCBC 所成角的余弦值； (2) 求二面角 P−AB−CP - AB - C 的大小； (3) 设点 MM 在棱 PCPC 上，且 PMMC=λ\frac{PM}{MC} = \lambda，问 λ\lambda 为何值时，PC⊥PC \perp 平面 BMDBMD.

2006 · 山东 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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20立体几何初步★★★★☆
如图，已知长方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}，AB=2AB = 2，AA1=1AA_{1} = 1，直线 BDBD 与平面 AA1B1BAA_{1}B_{1}B 所成的角为 30∘30^{\circ}，AEAE 垂直 BDBD 于 EE，FF 为 A1B1A_{1}B_{1} 的中点.
(1) 求异面直线 AEAE 与 BFBF 所成的角； (2) 求平面 BDFBDF 与平面 AA1BAA_{1}B 所成的二面角（锐角）的大小； (3) 求点 AA 到平面 BDFBDF 的距离.

2005 · 山东 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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