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106分立体几何初步★★★★☆
在空间中，AA，BB 为两个定点，动点 CC 到直线 ABAB 的距离为 22，动点 DD 到直线 ABAB 的距离为 11，若二面角 C−AB−DC-AB-D 为 60∘60^\circ，则（ ）
A.
∠CAD≥60∘\angle CAD\ge 60^\circ
B.
CD≥3CD\ge \sqrt{3}
C.
当 AB⊥CDAB\perp CD 时，CD⊥平面ABDCD\perp \text{平面} ABD
D.
当 AB⊥平面ACDAB\perp \text{平面} ACD 时，AC⊥ADAC\perp AD

2026 · 全国 · 一卷 · 第 10 题 · 多选题

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1715分立体几何初步★★★★☆
如图所示的四棱锥 P−ABCDP - ABCD 中，PA⊥平面ABCDPA \perp \text{平面} ABCD，BC∥ADBC \parallel AD，AB⊥ADAB \perp AD.
(1) 证明：平面 PAB⊥平面PADPAB \perp \text{平面} PAD； (2) PA=AB=2PA = AB = \sqrt{2}，BC=2BC = 2，AD=1+3AD = 1 + \sqrt{3}，点 PP，BB，CC，DD 均在球 OO 的球面上.
(i) 证明：OO 在平面 ABCDABCD 上； (ii) 求直线 ACAC 与直线 POPO 所成角的余弦值.

2025 · 全国 · 一卷 · 第 17 题 · 解答题

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1715分立体几何初步★★★★☆
如图，四棱锥 P−ABCDP-ABCD 中，PA⊥PA\perp 底面 ABCDABCD，且 PA=AC=2PA=AC=2，BC=1BC=1，AB=3AB=\sqrt3.
(1) 若 AD⊥PBAD\perp PB，证明 AD∥AD\parallel 平面 PBCPBC； (2) 若 AD⊥DCAD\perp DC，且二面角 A−CP−DA-CP-D 的正弦值为 427\frac{\sqrt{42}}{7}，求 ADAD.

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 17 题 · 解答题

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126分立体几何初步★★★★☆
下列物体中，能够被整体放入棱长为 11（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（ ）
A.
直径为 0.99m0.99\text{m} 的球体
B.
所有棱长均为 1.4m1.4\text{m} 的正四面体
C.
底面直径为 0.01m0.01\text{m}，高为 1.8m1.8\text{m} 的圆柱体
D.
底面直径为 1.2m1.2\text{m}，高为 0.01m0.01\text{m} 的圆柱体

2023 · 全国 · 新高考一卷 · 第 12 题 · 多选题

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1817分立体几何初步★★★★☆
如图，在正四棱柱 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 中，AB=2AB=2，AA1=4AA_1=4. 点 A2A_2，B2B_2，C2C_2，D2D_2 分别在棱 AA1AA_1，BB1BB_1，CC1CC_1，DD1DD_1 上，且 AA2=1AA_2=1，BB2=DD2=2BB_2=DD_2=2，CC2=3CC_2=3.
(1) 证明：B2C2∥A2D2B_2C_2\parallel A_2D_2； (2) 点 PP 在棱 BB1BB_1 上，当二面角 P−A2C2−D2P-A_2C_2-D_2 为 150∘150^\circ 时，求 B2PB_2P.

2023 · 全国 · 新高考一卷 · 第 18 题 · 解答题

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085分立体几何初步★★★★☆
已知正四棱锥的侧棱长为 ll，其各顶点都在同一球面上. 若该球的体积为 36π36\pi，且 3≤l≤333\le l\le 3\sqrt3，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ）
A.
[18,814]\left[18,\frac{81}{4}\right]
B.
[274,814]\left[\frac{27}{4},\frac{81}{4}\right]
C.
[274,643]\left[\frac{27}{4},\frac{64}{3}\right]
D.
[18,27][18,27]

2022 · 全国 · 新高考一卷 · 第 8 题 · 选择题

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126分立体几何初步★★★★☆
在正三棱柱 ABC−A1B1C1ABC-A_1B_1C_1 中，AB=AA1=1AB=AA_1=1，点 PP 满足 BP→=λBC→+μBB1→\overrightarrow{BP}=\lambda\overrightarrow{BC}+\mu\overrightarrow{BB_1}，其中 λ∈[0,1]\lambda\in[0,1]，μ∈[0,1]\mu\in[0,1]，则（ ）
A.
当 λ=1\lambda=1 时，△AB1P\triangle AB_1P 的周长为定值
B.
当 μ=1\mu=1 时，三棱锥 P−A1BCP-A_1BC 的体积为定值
C.
当 λ=12\lambda=\frac{1}{2} 时，有且仅有一个点 PP，使得 A1P⊥BPA_1P\perp BP
D.
当 μ=12\mu=\frac{1}{2} 时，有且仅有一个点 PP，使得 A1B⊥A_1B\perp 平面 AB1PAB_1P

2021 · 全国 · 新高考一卷 · 第 12 题 · 多选题

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2015分立体几何初步★★★★☆
如图，在三棱锥 A−BCDA-BCD 中，平面 ABD⊥ABD\perp 平面 BCDBCD，AB=ADAB=AD，OO 为 BDBD 的中点.
(1) 证明：OA⊥CDOA\perp CD； (2) 若 △OCD\triangle OCD 是边长为 11 的等边三角形，点 EE 在棱 ADAD 上，DE=2EADE=2EA，且二面角 E−BC−DE-BC-D 的大小为 45∘45^\circ，求三棱锥 A−BCDA-BCD 的体积.

2021 · 全国 · 新高考一卷 · 第 20 题 · 解答题

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22立体几何初步★★★★☆
在三棱锥 A−BCDA-BCD 中，已知 CB=CD=5CB=CD=\sqrt5，BD=2BD=2，OO 为 BDBD 的中点，AO⊥AO\perp 平面 BCDBCD，AO=2AO=2，EE 为 ACAC 的中点.
(1) 求直线 ABAB 与 DEDE 所成角的余弦值； (2) 若点 FF 在 BCBC 上，满足 BF=14BCBF=\dfrac14BC，设二面角 F−DE−CF-DE-C 的大小为 θ\theta，求 sin⁡θ\sin\theta 的值.

2020 · 江苏 · 第 22 题 · 解答题

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18立体几何初步★★★★☆
如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器 II 和正四棱台形玻璃容器 IIII 的高均为 32 cm32\text{ cm}，容器 II 的底面对角线 ACAC 的长为 107 cm10\sqrt7\text{ cm}，容器 IIII 的两底面对角线 EGEG，E1G1E_1G_1 的长分别为 14 cm14\text{ cm} 和 62 cm62\text{ cm}. 分别在容器 II 和容器 IIII 中注入水，水深均为 12 cm12\text{ cm}. 现有一根玻璃棒 ll，其长度为 40 cm40\text{ cm}. （容器厚度，玻璃棒粗细均忽略不计）
(1) 将 ll 放在容器 II 中，ll 的一端置于点 AA 处，另一端置于侧棱 CC1CC_1 上，求 ll 没入水中部分的长度； (2) 将 ll 放在容器 IIII 中，ll 的一端置于点 EE 处，另一端置于侧棱 GG1GG_1 上，求 ll 没入水中部分的长度.

2017 · 江苏 · 第 18 题 · 解答题

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22立体几何初步★★★★☆
如图，在四棱锥 P−ABCDP-ABCD 中，已知 PA⊥PA \perp 平面 ABCDABCD，且四边形 ABCDABCD 为直角梯形，∠ABC=∠BAD=π2\angle ABC = \angle BAD = \dfrac{\pi}{2}，PA=AD=2PA = AD = 2，AB=BC=1AB = BC = 1.
(1) 求平面 PABPAB 与平面 PCDPCD 所成二面角的余弦值； (2) 点 QQ 是线段 BPBP 上的动点. 当直线 CQCQ 与 DPDP 所成的角最小时，求线段 BQBQ 的长.

2015 · 江苏 · 第 22 题 · 解答题

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22立体几何初步★★★★☆
如图，在正四棱柱 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 中，AA1=2AA_{1}=2，AB=1AB=1，点 NN 是 BCBC 的中点，点 MM 在 CC1CC_{1} 上. 设二面角 A1−DN−MA_{1}-DN-M 的大小为 θ\theta.
(1) 当 θ=90∘\theta=90^\circ 时，求 AMAM 的长； (2) 当 cos⁡θ=66\cos\theta=\frac{\sqrt{6}}{6} 时，求 CMCM 的长.

2011 · 江苏 · 第 22 题 · 解答题

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09立体几何初步★★★★☆
两个相同的正四棱锥组成如图所示的几何体，可放入棱长为 11 的正方体内，使正四棱锥的底面 ABCDABCD 与正方体的某一个平面平行，且各顶点均在正方体的面上，则这样的几何体体积的可能值有（ ）
A.
11 个
B.
22 个
C.
33 个
D.
无穷多个

2006 · 江苏 · 第 9 题 · 选择题

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18立体几何初步★★★★☆
请您设计一个帐篷. 它下部的形状是高为 1 m1\mathrm{~m} 的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为 3 m3\mathrm{~m} 的正六棱锥（如图所示）. 试问当帐篷的顶点 OO 到底面中心 O1O_{1} 的距离为多少时，帐篷的体积最大？

2006 · 江苏 · 第 18 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★★☆
在正三角形 ABCABC 中，EE，FF，PP 分别是 ABAB，ACAC，BCBC 边上的点. 满足 AE:EB=CF:FA=CP:PB=1:2AE:EB=CF:FA=CP:PB=1:2（如图1）. 将 △AEF\triangle AEF 沿 EFEF 折起到 △A1EF\triangle A_{1}EF 的位置. 使二面角 A1−EF−BA_{1}-EF-B 成直二面角，连接 A1BA_{1}B，A1PA_{1}P（如图2）.
(1) 求证：A1E⊥A_{1}E \perp 平面 BEPBEP； (2) 求直线 A1EA_{1}E 与平面 A1BPA_{1}BP 所成角的大小； (3) 求二面角 B−A1P−FB - A_{1}P - F 的大小.（用反三角函数表示）

2006 · 江苏 · 第 19 题 · 解答题

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12计数原理与组合数学★★★★☆
四棱锥的 88 条棱代表 88 种不同的化工产品，有公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的，没有公共顶点的两条棱所代表的化工产品放在同一仓库是安全的，现打算用编号为 \circled1\circled{1}，\circled2\circled{2}，\circled3\circled{3}，\circled4\circled{4} 的 44 个仓库存放这 88 种化工产品，那么安全存放的不同方法种数为（ ）
A.
9696
B.
4848
C.
2424
D.
00

2005 · 江苏 · 第 12 题 · 选择题

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21立体几何初步★★★★☆
如图，在五棱锥 S−ABCDES-ABCDE 中，SA⊥SA \perp 底面 ABCDEABCDE，SA=AB=AE=2SA = AB = AE = 2，BC=DE=3BC = DE = \sqrt{3}，∠BAE=∠BCD=∠CDE=120∘\angle BAE = \angle BCD = \angle CDE = 120^{\circ}.
(1) 求异面直线 CDCD 与 SBSB 所成的角（用反三角函数值表示）； (2) 证明：BC⊥BC \perp 平面 SABSAB； (3) 用反三角函数值表示二面角 B−SC−DB-SC-D 的大小（本小问不必写出解答过程）.

2005 · 江苏 · 第 21 题 · 解答题

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