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145分立体几何初步★★★★☆
已知球 OO 的体积为 43π4\sqrt{3}\pi，AA，BB，CC，DD 四点均在球 OO 的球面上，△ABC\triangle ABC 为等边三角形，DA=DB=DC=2DA=DB=DC=\sqrt{2}，则 △ABC\triangle ABC 的面积为______.

2026 · 全国 · 二卷 · 第 14 题 · 填空题

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1615分立体几何初步★★★★☆
如图，三棱锥 AA-BCDBCD 中，点 EE 在 BDBD 上，AE⊥CEAE\perp CE，AE⊥DEAE\perp DE，CD⊥ADCD\perp AD.
(1) 证明：CD⊥ABCD\perp AB； (2) 若 DE=2DE=2，BE=1BE=1，AE=2AE=\sqrt{2}，CD=23CD=2\sqrt{3}，求直线 ADAD 与平面 ABCABC 所成角的正弦值.

2026 · 全国 · 二卷 · 第 16 题 · 解答题

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145分立体几何初步★★★★☆
一个底面半径为 4cm4\text{cm}，高为 9cm9\text{cm} 的封闭圆柱形容器内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为______cm\text{cm}.

2025 · 全国 · 二卷 · 第 14 题 · 填空题

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19立体几何初步★★★★☆
如图，在以 AA，BB，CC，DD，EE，FF 为顶点的五面体中，四边形 ABCDABCD 与四边形 ADEFADEF 均为等腰梯形，BC∥ADBC\parallel AD，EF∥ADEF\parallel AD，AD=4AD=4，AB=BC=EF=2AB=BC=EF=2，ED=10ED=\sqrt{10}，FB=23FB=2\sqrt{3}，MM 为 ADAD 的中点.
(1) 证明：BM∥BM\parallel平面 CDECDE； (2) 求二面角 F−BM−EF-BM-E 的正弦值.

2024 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★★☆
如图，在以 AA，BB，CC，DD，EE，FF 为顶点的五面体中，四边形 ABCDABCD 与四边形 ADEFADEF 均为等腰梯形，EF∥ADEF\parallel AD，BC∥ADBC\parallel AD，AD=4AD=4，AB=BC=EF=2AB=BC=EF=2，ED=10ED=\sqrt{10}，FB=23FB=2\sqrt3，MM 为 ADAD 的中点.
(1) 证明：BM∥BM\parallel 平面 CDECDE； (2) 求 MM 到平面 FABFAB 的距离.

2024 · 全国 · 甲卷 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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11立体几何初步★★★★☆
已知四棱锥 P−ABCDP-ABCD 的底面是边长为 4 的正方形，PC=PD=3PC=PD=3，∠PCA=45∘\angle PCA=45^\circ，则 △PBC\triangle PBC 的面积为（ ）
A.
222\sqrt{2}
B.
323\sqrt{2}
C.
424\sqrt{2}
D.
626\sqrt{2}

2023 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 11 题 · 选择题

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15立体几何初步★★★★☆
在正方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 中，EE，FF 分别为 ABAB，C1D1C_1D_1 的中点，以 EFEF 为直径的球的球面与该正方体的棱共有______个公共点.

2023 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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18立体几何初步★★★★☆
如图，在三棱柱 ABC−A1B1C1ABC-A_1B_1C_1 中，A1C⊥A_1C\perp 底面 ABCABC，∠ACB=90∘\angle ACB=90^\circ，AA1=2AA_1=2，A1A_1 到平面 BCC1B1BCC_1B_1 的距离为 1.
(1) 证明 A1C=ACA_1C=AC； (2) 已知 AA1AA_1 与 BB1BB_1 的距离为 2，求 AB1AB_1 与平面 BCC1B1BCC_1B_1 所成角的正弦值.

2023 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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16立体几何初步★★★★☆
在正方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 中，AB=4AB=4，OO 为 AC1AC_1 的中点，若该正方体的棱与球 OO 的球面有公共点，则球 OO 的半径的取值范围是______.

2023 · 全国 · 甲卷 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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19立体几何初步★★★★☆
已知直三棱柱 ABC−A1B1C1ABC-A_1B_1C_1 中，侧面 AA1B1BAA_1B_1B 为正方形，AB=BC=2AB=BC=2，EE，FF 分别为 ACAC 和 CC1CC_1 的中点，DD 为棱 A1B1A_1B_1 上的点，BF⊥A1B1BF\perp A_1B_1.
(1) 证明：BF⊥DEBF\perp DE； (2) 当 B1DB_1D 为何值时，面 BB1C1CBB_1C_1C 与面 DEFDEF 所成的二面角的正弦值最小？

2021 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★★☆
如图，边长为 22 的正方形 ABCDABCD 所在的平面与半圆弧 CD^\widehat{CD} 所在平面垂直，MM 是 CD^\widehat{CD} 上异于 CC，DD 的点.
(1) 证明：平面 AMD⊥AMD\perp 平面 BMCBMC； (2) 当三棱锥 M−ABCM-ABC 体积最大时，求面 MABMAB 与面 MCDMCD 所成二面角的正弦值.

2018 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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12立体几何初步★★★★☆
设 AA，BB，CC，DD 是同一个半径为 44 的球的球面上四点，△ABC\triangle ABC 为等边三角形且面积为 939\sqrt3，则三棱锥 D−ABCD-ABC 体积的最大值为（ ）
A.
12312\sqrt3
B.
18318\sqrt3
C.
24324\sqrt3
D.
54354\sqrt3

2018 · 全国 · 三卷 · 文 · 第 12 题 · 选择题

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19立体几何初步★★★★☆
如图，矩形 ABCDABCD 所在平面与半圆弧 CD^\widehat{CD} 所在平面垂直，MM 是 CD^\widehat{CD} 上异于 CC，DD 的点.
(1) 证明：平面 AMD⊥AMD\perp 平面 BMCBMC； (2) 在线段 AMAM 上是否存在点 PP，使得 MC∥MC\parallel 平面 PBDPBD？说明理由.

2018 · 全国 · 三卷 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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