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145分立体几何初步★★★★☆
已知球 OO 的体积为 43π4\sqrt{3}\pi，AA，BB，CC，DD 四点均在球 OO 的球面上，△ABC\triangle ABC 为等边三角形，DA=DB=DC=2DA=DB=DC=\sqrt{2}，则 △ABC\triangle ABC 的面积为______.

2026 · 全国 · 二卷 · 第 14 题 · 填空题

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1615分立体几何初步★★★★☆
如图，三棱锥 AA-BCDBCD 中，点 EE 在 BDBD 上，AE⊥CEAE\perp CE，AE⊥DEAE\perp DE，CD⊥ADCD\perp AD.
(1) 证明：CD⊥ABCD\perp AB； (2) 若 DE=2DE=2，BE=1BE=1，AE=2AE=\sqrt{2}，CD=23CD=2\sqrt{3}，求直线 ADAD 与平面 ABCABC 所成角的正弦值.

2026 · 全国 · 二卷 · 第 16 题 · 解答题

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145分立体几何初步★★★★☆
一个底面半径为 4cm4\text{cm}，高为 9cm9\text{cm} 的封闭圆柱形容器内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为______cm\text{cm}.

2025 · 全国 · 二卷 · 第 14 题 · 填空题

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1715分立体几何初步★★★★☆
如图，平面四边形 ABCDABCD 中，AB=8AB=8，CD=3CD=3，AD=53AD=5\sqrt3，∠ADC=90∘\angle ADC=90^\circ，∠BAD=30∘\angle BAD=30^\circ，点 EE，FF 满足 AE→=25AD→\overrightarrow{AE}=\frac{2}{5}\overrightarrow{AD}，AF→=12AB→\overrightarrow{AF}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}，将 △AEF\triangle AEF 沿 EFEF 对折至 △PEF\triangle PEF，使得 PC=43PC=4\sqrt3.
(1) 证明：EF⊥PDEF\perp PD； (2) 求面 PCDPCD 与面 PBFPBF 所成二面角的正弦值.

2024 · 全国 · 新高考二卷 · 第 17 题 · 解答题

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2015分立体几何初步★★★★☆
如图，三棱锥 A−BCDA-BCD 中，DA=DB=DCDA=DB=DC，BD⊥CDBD\perp CD，∠ADB=∠ADC=60∘\angle ADB=\angle ADC=60^\circ，EE 为 BCBC 的中点.
(1) 证明：BC⊥DABC\perp DA； (2) 点 FF 满足 EF→=DA→\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{DA}，求二面角 D−AB−FD-AB-F 的正弦值.

2023 · 全国 · 新高考二卷 · 第 20 题 · 解答题

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2015分立体几何初步★★★★☆
如图，POPO 是三棱锥 P−ABCP-ABC 的高，PA=PBPA=PB，AB⊥ACAB\perp AC，EE 是 PBPB 的中点.
(1) 证明：OE∥平面 PACOE\parallel\text{平面 }PAC； (2) 若 ∠ABO=∠CBO=30∘\angle ABO=\angle CBO=30^\circ，PO=3PO=3，PA=5PA=5，求二面角 C−AE−BC-AE-B 的正弦值.

2022 · 全国 · 新高考二卷 · 第 20 题 · 解答题

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1917分立体几何初步★★★★☆
在四棱锥 Q−ABCDQ-ABCD 中，底面 ABCDABCD 是正方形，若 AD=2AD=2，QD=QA=5QD=QA=\sqrt5，QC=3QC=3.
(1) 证明：平面 QAD⊥平面 ABCDQAD\perp \text{平面 }ABCD； (2) 求二面角 B−QD−AB-QD-A 的平面角的余弦值.

2021 · 全国 · 新高考二卷 · 第 19 题 · 解答题

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20立体几何初步★★★★☆
如图，已知三棱柱 ABC−A1B1C1ABC-A_1B_1C_1 的底面是正三角形，侧面 BB1C1CBB_1C_1C 是矩形，MM，NN 分别为 BCBC，B1C1B_1C_1 的中点，PP 为 AMAM 上一点. 过 B1C1B_1C_1 和 PP 的平面交 ABAB 于 EE，交 ACAC 于 FF.
(1) 证明：AA1∥MNAA_1\parallel MN，且平面 A1AMN⊥A_1AMN\perp 平面 EB1C1FEB_1C_1F； (2) 设 OO 为 △A1B1C1\triangle A_1B_1C_1 的中心. 若 AO∥AO\parallel 平面 EB1C1FEB_1C_1F，且 AO=ABAO=AB，求直线 B1EB_1E 与平面 A1AMNA_1AMN 所成角的正弦值.

2020 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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20立体几何初步★★★★☆
如图，已知三棱柱 ABC−A1B1C1ABC-A_1B_1C_1 的底面是正三角形，侧面 BB1C1CBB_1C_1C 是矩形，MM，NN 分别为 BCBC，B1C1B_1C_1 的中点，PP 为 AMAM 上一点. 过 B1C1B_1C_1 和 PP 的平面交 ABAB 于 EE，交 ACAC 于 FF.
(1) 证明：AA1∥MNAA_1\parallel MN，且平面 A1AMN⊥A_1AMN\perp 平面 EB1C1FEB_1C_1F； (2) 设 OO 为 △A1B1C1\triangle A_1B_1C_1 的中心. 若 AO=AB=6AO=AB=6，AO∥AO\parallel 平面 EB1C1FEB_1C_1F，且 ∠MPN=π3\angle MPN=\dfrac{\pi}{3}，求四棱锥 B−EB1C1FB-EB_1C_1F 的体积.

2020 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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16立体几何初步★★★★☆
中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一. 印信的形状多为长方体，正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图 1）. 半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体. 半正多面体体现了数学的对称美. 图 2 是一个棱数为 4848 的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为 11. 则该半正多面体共有______ 个面，其棱长为______

2019 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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17立体几何初步★★★★☆
如图，长方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 的底面 ABCDABCD 是正方形，点 EE 在棱 AA1AA_1 上，BE⊥EC1BE\perp EC_1.
(1) 证明：BE⊥平面EB1C1BE\perp \text{平面} EB_1C_1； (2) 若 AE=A1EAE=A_1E，求二面角 B−EC−C1B-EC-C_1 的正弦值.

2019 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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16立体几何初步★★★★☆
中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一. 印信的形状多为长方体，正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）. 半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体. 半正多面体体现了数学的对称美. 图2是一个棱数为 4848 的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为 11. 则该半正多面体共有______ 个面，其棱长为______.

2019 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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20立体几何初步★★★★☆
如图，在三棱锥 P−ABCP-ABC 中，AB=BC=22AB=BC=2\sqrt2，PA=PB=PC=AC=4PA=PB=PC=AC=4，OO 为 ACAC 的中点.
(1) 证明：PO⊥PO\perp 平面 ABCABC； (2) 若点 MM 在棱 BCBC 上，且二面角 M−PA−CM-PA-C 为 30∘30^\circ，求 PCPC 与平面 PAMPAM 所成角的正弦值.

2018 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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22立体几何初步★★★★☆
(1) 如图，ABAB 为 ⊙O\odot O 直径，直线 CDCD 与 ⊙O\odot O 相切于 EE，ADAD 垂直 CDCD 于 DD，BCBC 垂直 CDCD 于 CC，EFEF 垂直 ABAB 于 FF，连接 AEAE，BEBE. 证明：∠FEB=∠CEB\angle FEB = \angle CEB； (2) 证明：EF2=AD⋅BCEF^{2} = AD\cdot BC.

2013 · 辽宁 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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16立体几何初步★★★★☆
已知正三棱锥 P−ABCP - ABC，点 PP，AA，BB，CC 都在半径为 3\sqrt{3} 的球面上. 若 PAPA，PBPB，PCPC 两两互相垂直，则球心到截面 ABCABC 的距离为______.

2012 · 辽宁 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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22立体几何初步★★★★☆
如图，⊙O\odot O 和 ⊙O′\odot O' 相交于 AA，BB 两点，过 AA 作两圆的切线分别交两圆于 CC，DD 两点，连接 DBDB 并延长交 ⊙O\odot O 于点 EE. 证明：
(1) AC⋅BD=AD⋅ABAC \cdot BD = AD \cdot AB. (2) AC=AEAC = AE.

2012 · 辽宁 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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16立体几何初步★★★★☆
已知点 PP，AA，BB，CC，DD 是球 OO 表面上的点，PA⊥PA \perp 平面 ABCDABCD，四边形 ABCDABCD 是边长为 232\sqrt{3} 的正方形. 若 PA=26PA = 2\sqrt{6}，则 △OAB\triangle OAB 的面积为______.

2012 · 辽宁 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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12立体几何初步★★★★☆
已知球的直径 SC=4SC = 4，AA，BB 是该球球面上的两点，AB=3AB = \sqrt{3}，∠ASC=∠BSC=30∘\angle ASC = \angle BSC = 30^\circ，则棱锥 S−ABCS - ABC 的体积为（ ）
A.
333\sqrt{3}
B.
232\sqrt{3}
C.
3\sqrt{3}
D.
11

2011 · 辽宁 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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22立体几何初步★★★★☆
如图，AA，BB，CC，DD 四点在同一圆上，ADAD 的延长线与 BCBC 的延长线交于 EE 点，且 EC=EDEC = ED.
(1) 证明： CD∥ABCD \parallel AB； (2) 延长 CDCD 到 FF，延长 DCDC 到 GG，使得 EF=EGEF = EG，证明： AA，BB，GG，FF 四点共圆.

2011 · 辽宁 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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10立体几何初步★★★★☆
已知球的直径 SC=4SC = 4，AA，BB 是该球球面上的两点，AB=2AB = 2，∠ASC=∠BSC=45∘\angle ASC = \angle BSC = 45^\circ，则棱锥 S−ABCS-ABC 的体积为（ ）
A.
33\frac{\sqrt{3}}{3}
B.
233\frac{2\sqrt{3}}{3}
C.
433\frac{4\sqrt{3}}{3}
D.
533\frac{5\sqrt{3}}{3}

2011 · 辽宁 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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12立体几何初步★★★★☆
有四根长都为 2 的直铁条，若再选两根长都为 aa 的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则 aa 的取值范围是（ ）
A.
(0,6+2)(0, \sqrt{6} + \sqrt{2})
B.
(1,22)(1, 2\sqrt{2})
C.
(6−2,6+2)(\sqrt{6} -\sqrt{2},\sqrt{6} +\sqrt{2})
D.
(0,22)(0,2\sqrt{2})

2010 · 辽宁 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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16立体几何初步★★★★☆
如图，网格纸的小正方形的边长是 11，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为______.

2010 · 辽宁 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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19立体几何初步★★★★☆
如图，棱柱 ABC−A1B1C1ABC-A_1B_1C_1 的侧面 BCC1B1BCC_1B_1 是菱形，B1C⊥A1BB_1C\perp A_1B.
(1) 证明：平面 AB1C⊥AB_1C\perp 平面 A1BC1A_1BC_1； (2) 设 DD 是 A1C1A_1C_1 上的点，且 A1B∥A_1B\parallel 平面 B1CDB_1CD，求 A1D:DC1A_1D:DC_1 的值.

2010 · 辽宁 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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11立体几何初步★★★★☆
在正方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 中，EE，FF 分别为棱 AA1AA_{1}，CC1CC_{1} 的中点，则在空间中与三条直线 A1D1A_{1}D_{1}，EFEF，CDCD 都相交的直线（ ）
A.
不存在
B.
有且只有两条
C.
有且只有三条
D.
有无数条

2008 · 辽宁 · 理 · 第 11 题 · 选择题

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19立体几何初步★★★★☆
如图，在棱长为 11 的正方体 ABCD−A′B′C′D′ABCD - A'B'C'D' 中，AP=BQ=bAP = BQ = b（0<b<10 < b < 1），截面 PQEF∥A′DPQEF \parallel A'D，截面 PQGH∥AD′PQGH \parallel AD'.
(1) 证明：平面 PQEFPQEF 和平面 PQGHPQGH 互相垂直； (2) 证明：截面 PQEFPQEF 和截面 PQGHPQGH 面积之和是定值，并求出这个值； (3) 若 D′ED'E 与平面 PQEFPQEF 所成的角为 45∘45^{\circ}，求 D′ED'E 与平面 PQGHPQGH 所成角的正弦值.

2008 · 辽宁 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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