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共找到 104 题
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16立体几何初步★★★★☆
已知空间直角坐标系中有一正方体，其三组棱分别与 xx 轴，yy 轴，zz 轴重合，顶点 AA 与坐标原点重合，点 CC 是正方体底面中与 AA 相对的对角顶点，点 C1C_1 在点 CC 的正上方. 将正方体绕直线 AC1AC_1 旋转一周，点 CC 的运动轨迹会经过（ ）个空间卦限.
A.
11
B.
33
C.
44
D.
77

2026 · 上海 · 第 16 题 · 选择题

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09立体几何初步★★★★☆
一个五面体 ABC−DEFABC-DEF. 已知 AD∥BE∥CFAD\parallel BE\parallel CF，且两两之间距离为 1，并已知 AD=1AD=1，BE=2BE=2，CF=3CF=3. 则该五面体的体积为（ ）
A.
36\dfrac{\sqrt3}{6}
B.
334+12\dfrac{3\sqrt3}{4}+\dfrac12
C.
32\dfrac{\sqrt3}{2}
D.
334−12\dfrac{3\sqrt3}{4}-\dfrac12

2024 · 天津 · 第 9 题 · 选择题

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11立体几何初步★★★★☆
已知四棱锥 P−ABCDP-ABCD 的底面是边长为 4 的正方形，PC=PD=3PC=PD=3，∠PCA=45∘\angle PCA=45^\circ，则 △PBC\triangle PBC 的面积为（ ）
A.
222\sqrt{2}
B.
323\sqrt{2}
C.
424\sqrt{2}
D.
626\sqrt{2}

2023 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 11 题 · 选择题

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085分立体几何初步★★★★☆
已知正四棱锥的侧棱长为 ll，其各顶点都在同一球面上. 若该球的体积为 36π36\pi，且 3≤l≤333\le l\le 3\sqrt3，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ）
A.
[18,814]\left[18,\frac{81}{4}\right]
B.
[274,814]\left[\frac{27}{4},\frac{81}{4}\right]
C.
[274,643]\left[\frac{27}{4},\frac{64}{3}\right]
D.
[18,27][18,27]

2022 · 全国 · 新高考一卷 · 第 8 题 · 选择题

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09立体几何初步★★★★☆
已知球 OO 的半径为 11，四棱锥的顶点为 OO，底面的四个顶点均在球 OO 的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（ ）
A.
13\frac{1}{3}
B.
12\frac{1}{2}
C.
33\frac{\sqrt{3}}{3}
D.
22\frac{\sqrt{2}}{2}

2022 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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08立体几何初步★★★★☆
“十字歇山顶”是中国古代建筑屋顶的经典样式之一，图 1 中的故宫角楼的顶部即为十字歇山顶. 其上部可视为由两个相同的直三棱柱交叠而成的几何体（图 2）. 这两个直三棱柱有一个公共侧面 ABCDABCD，在底面 BCEBCE 中，若 BE=CE=3BE=CE=3，∠BEC=120∘\angle BEC=120^{\circ}，则该几何体的体积为（ ）
\bitmapinclude[max width=6.0cm]{img/2022/tianjin/q8_fig1.png}\bitmapinclude[max width=6.0cm]{img/2022/tianjin/q8_fig2.png}
A.
272\dfrac{27}{2}
B.
2732\dfrac{27\sqrt{3}}{2}
C.
27
D.
27327\sqrt{3}

2022 · 天津 · 第 8 题 · 选择题

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15立体几何初步★★★★☆
如图，在正方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 中，PP，QQ，RR，SS 分别为棱 ABAB，BCBC，BB1BB_1，CDCD 的中点，连接 A1SA_1S，B1DB_1D. 对于空间任意两点 MM，NN，若线段 MNMN 上不存在也在线段 A1SA_1S，B1DB_1D 上的点，则称 MM，NN 两点“可视”，则下列选项中与点 D1D_1“可视”的点为（ ）
A.
点 PP
B.
点 BB
C.
点 RR
D.
点 QQ

2022 · 上海 · 第 15 题 · 选择题

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08立体几何初步★★★★☆
如图，已知正三棱柱 ABC−A1B1C1ABC-A_1B_1C_1，AC=AA1AC=AA_1，EE，FF 分别是棱 BCBC，A1C1A_1C_1 上的点. 记 EFEF 与 AA1AA_1 所成的角为 α\alpha，EFEF 与平面 ABCABC 所成的角为 β\beta，二面角 F−BC−AF-BC-A 的平面角为 γ\gamma，则（ ）
A.
α≤β≤γ\alpha\le \beta\le \gamma
B.
β≤α≤γ\beta\le \alpha\le \gamma
C.
β≤γ≤α\beta\le \gamma\le \alpha
D.
α≤γ≤β\alpha\le \gamma\le \beta

2022 · 浙江 · 第 8 题 · 选择题

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12立体几何初步★★★★☆
已知三棱锥 P−ABCP-ABC 的四个顶点在球 OO 的球面上，PA=PB=PCPA=PB=PC，△ABC\triangle ABC 是边长为 22 的正三角形，EE，FF 分别是 PAPA，ABAB 的中点，∠CEF=90∘\angle CEF=90^\circ，则球 OO 的体积为（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
A.
86π8\sqrt6\pi
B.
46π4\sqrt6\pi
C.
26π2\sqrt6\pi
D.
6π\sqrt6\pi

2019 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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08立体几何初步★★★★☆
设三棱锥 V−ABCV-ABC 的底面是正三角形，侧棱长均相等，PP 是棱 VAVA 上的点（不含端点），记直线 PBPB 与直线 ACAC 所成角为 α\alpha，直线 PBPB 与平面 ABCABC 所成角为 β\beta，二面角 P−AC−BP-AC-B 的平面角为 γ\gamma，则（ ）
A.
β<γ\beta<\gamma，α<γ\alpha<\gamma
B.
β<α\beta<\alpha，β<γ\beta<\gamma
C.
β<α\beta<\alpha，γ<α\gamma<\alpha
D.
α<β\alpha<\beta，γ<β\gamma<\beta

2019 · 浙江 · 第 8 题 · 选择题

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12立体几何初步★★★★☆
已知正方体的棱长为 11，每条棱所在直线与平面 α\alpha 所成的角都相等，则 α\alpha 截此正方体所得截面面积的最大值为（ ）
A.
334\frac{3\sqrt3}{4}
B.
233\frac{2\sqrt3}{3}
C.
324\frac{3\sqrt2}{4}
D.
32\frac{\sqrt3}{2}

2018 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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12立体几何初步★★★★☆
设 AA，BB，CC，DD 是同一个半径为 44 的球的球面上四点，△ABC\triangle ABC 为等边三角形且面积为 939\sqrt3，则三棱锥 D−ABCD-ABC 体积的最大值为（ ）
A.
12312\sqrt3
B.
18318\sqrt3
C.
24324\sqrt3
D.
54354\sqrt3

2018 · 全国 · 三卷 · 文 · 第 12 题 · 选择题

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15立体几何初步★★★★☆
《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马. 设 AA1AA_1 是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点，以 AA1AA_1 为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（ ）
A.
44
B.
88
C.
1212
D.
1616

2018 · 上海 · 第 15 题 · 选择题

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08立体几何初步★★★★☆
已知四棱锥 S−ABCDS-ABCD 的底面是正方形，侧棱长均相等，EE 是线段 ABAB 上的点（不含端点），设 SESE 与 BCBC 所成的角为 θ1\theta_1，SESE 与平面 ABCDABCD 所成的角为 θ2\theta_2，二面角 S−AB−CS-AB-C 的平面角为 θ3\theta_3，则（ ）
A.
θ1≤θ2≤θ3\theta_1\le\theta_2\le\theta_3
B.
θ3≤θ2≤θ1\theta_3\le\theta_2\le\theta_1
C.
θ1≤θ3≤θ2\theta_1\le\theta_3\le\theta_2
D.
θ2≤θ3≤θ1\theta_2\le\theta_3\le\theta_1

2018 · 浙江 · 第 8 题 · 选择题

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09立体几何初步★★★★☆
如图，已知正四面体 D−ABCD-ABC（所有棱长均相等的三棱锥），PP，QQ，RR 分别为 ABAB，BCBC，CACA 上的点，AP=PBAP=PB，BQQC=CRRA=2\dfrac{BQ}{QC}=\dfrac{CR}{RA}=2，分别记二面角 D−PR−QD-PR-Q，D−PQ−RD-PQ-R，D−QR−PD-QR-P 的平面角为 α\alpha，β\beta，γ\gamma，则（ ）
A.
γ<α<β\gamma<\alpha<\beta
B.
α<γ<β\alpha<\gamma<\beta
C.
α<β<γ\alpha<\beta<\gamma
D.
β<γ<α\beta<\gamma<\alpha

2017 · 浙江 · 第 9 题 · 选择题

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11立体几何初步★★★★☆
在封闭的直三棱柱 ABC−A1B1C1ABC-A_1B_1C_1 内有一个体积为 VV 的球，若 AB⊥BCAB\perp BC，AB=6AB=6，BC=8BC=8，AA1=3AA_1=3，则 VV 的最大值是（ ）
A.
4π4\pi
B.
9π2\dfrac{9\pi}{2}
C.
6π6\pi
D.
32π3\dfrac{32\pi}{3}

2016 · 全国 · 三卷 · 文 · 第 11 题 · 选择题

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08立体几何初步★★★★☆
如图，已知 △ABC\triangle ABC，DD 是 ABAB 的中点，沿直线 CDCD 将 △ACD\triangle ACD 翻折成 △A′CD\triangle A'CD，所成二面角 A′−CD−BA' - CD - B 的平面角为 α\alpha，则（ ）
A.
∠A′DB⩽α\angle A'DB \leqslant \alpha
B.
∠A′DB⩾α\angle A'DB \geqslant \alpha
C.
∠A′CB⩽α\angle A'CB \leqslant \alpha
D.
∠A′CB⩾α\angle A'CB \geqslant \alpha

2015 · 浙江 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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10导数及其应用★★★★☆
某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（ ）（材料的利用率 =新工件的体积原工件的体积=\frac{\text{新工件的体积}}{\text{原工件的体积}}）
A.
89π\frac{8}{9\pi}
B.
169π\frac{16}{9\pi}
C.
4(2−1)3π\frac{4(\sqrt{2} - 1)^3}{\pi}
D.
12(2−1)3π\frac{12(\sqrt{2} - 1)^3}{\pi}

2015 · 湖南 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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10立体几何初步★★★★☆
某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（ ）（材料的利用率 =新工件的体积原工件的体积=\frac{\text{新工件的体积}}{\text{原工件的体积}}）
A.
89π\frac{8}{9\pi}
B.
827π\frac{8}{27\pi}
C.
24(2−1)3π\frac{24(\sqrt{2} - 1)^3}{\pi}
D.
8(2−1)3π\frac{8(\sqrt{2} - 1)^3}{\pi}

2015 · 湖南 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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08立体几何初步★★★★☆
若空间中 nn 个不同的点两两距离都相等，则正整数 nn 的取值（ ）
A.
至多等于 33
B.
至多等于 44
C.
等于 55
D.
大于 55

2015 · 广东 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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11立体几何初步★★★★☆
已知二面角 α−l−β\alpha-l-\beta 为 60∘60^{\circ}，AB⊂αAB\subset \alpha，AB⊥lAB\perp l，AA 为垂足，CD⊂βCD\subset \beta，C∈lC\in l，∠ACD=135∘\angle ACD=135^{\circ}，则异面直线 ABAB 与 CDCD 所成角的余弦值为（ ）
\begin{solution} 取 ll 为 xx 轴，取 α\alpha 内垂直于 ll 的单位向量为 ey\boldsymbol{e}_{y}，并取垂直于 α\alpha 的单位向量为 ez\boldsymbol{e}_{z}. 由二面角为 60∘60^{\circ}，β\beta 内垂直于 ll 的单位向量可取
u=12ey+32ez\boldsymbol{u}=\frac12\boldsymbol{e}_{y}+\frac{\sqrt3}{2}\boldsymbol{e}_{z}
设从 CC 指向 DD 的单位向量为 v\boldsymbol{v}. 因为射线 CACA 的方向为 −ex-\boldsymbol{e}_{x}，且 ∠ACD=135∘\angle ACD=135^{\circ}，有
(−ex)⋅v=−22(-\boldsymbol{e}_{x})\cdot\boldsymbol{v}=-\frac{\sqrt2}{2}
于是
v=22ex±22u\boldsymbol{v}=\frac{\sqrt2}{2}\boldsymbol{e}_{x} \pm\frac{\sqrt2}{2}\boldsymbol{u}
从而
∣ey⋅v∣=24\left|\boldsymbol{e}_{y}\cdot\boldsymbol{v}\right|=\frac{\sqrt2}{4}
异面直线所成角取锐角，故其余弦为 24\dfrac{\sqrt2}{4}，故选 B. \end{solution}
A.
14\dfrac{1}{4}
B.
24\dfrac{\sqrt{2}}{4}
C.
34\dfrac{\sqrt{3}}{4}
D.
12\dfrac{1}{2}

2014 · 全国 · 大纲卷 · 理 · 第 11 题 · 选择题

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24解析几何★★★★☆
如图，在底面半径和高均为 11 的圆锥中，ABAB，CDCD 是底面圆 OO 的两条互相垂直的直径，EE 是母线 PBPB 的中点. 已知过 CDCD 与 EE 的平面与圆锥侧面的交线是以 EE 为顶点的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点到圆锥顶点 PP 的距离为（ ）
A.
11
B.
32\frac{\sqrt{3}}{2}
C.
62\frac{\sqrt{6}}{2}
D.
104\frac{\sqrt{10}}{4}

2014 · 上海 · 春季 · 第 24 题 · 选择题

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10立体几何初步★★★★☆
如图，某人在垂直于水平地面 ABCABC 的墙面前的点 AA 处进行射击训练，已知点 AA 到墙面的距离为 ABAB，某目标点 PP 沿墙面上的射线 CMCM 移动，此人为了准确瞄准目标点 PP，需计算由点 AA 观察点 PP 的仰角 θ\theta 的大小（仰角 θ\theta 为直线 APAP 与平面 ABCABC 所成的角）. 若 AB=15 mAB = 15 \mathrm{~m}，AC=25 mAC = 25 \mathrm{~m}，∠BCM=30∘\angle BCM = 30^{\circ}，则 tan⁡θ\tan \theta 的最大值是（ ）
A.
305\frac{\sqrt{30}}{5}
B.
3010\frac{\sqrt{30}}{10}
C.
439\frac{4\sqrt{3}}{9}
D.
539\frac{5\sqrt{3}}{9}

2014 · 浙江 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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10立体几何初步★★★★☆
如图，在长方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 中，AB=11AB = 11，AD=7AD = 7，AA1=12AA_{1} = 12，一质点从顶点 AA 射向点 E(4,3,12)E(4,3,12)，遇长方体的面反射（反射服从光的反射原理），将第 i−1i - 1 次到第 ii 次反射点之间的线段记为 lil_{i}（i=2i = 2，33，44），l1=AEl_{1} = AE，将线段 l1l_{1}，l2l_{2}，l3l_{3}，l4l_{4} 竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是（ ）
A.
B.
C.
D.

2014 · 江西 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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07立体几何初步★★★★☆
某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A.
5454
B.
6060
C.
6666
D.
7272

2014 · 重庆 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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