如图, 平面四边形 $ABCD$ 中, $AB = 8, CD = 3, AD = 5\sqrt{3}, \angle ADC = 90^\circ, \angle BAD = 30^\circ$, 点 $E, F$ 满足 $\vec{AE} = \frac{2}{5}\vec{AD}, \vec{AF} = \frac{1}{2}\vec{AB}$, 将 $\triangle AEF$ 沿 $EF$ 翻折至 $\triangle PEF$, 使得 $PC = 4\sqrt{3}$.

(1) 证明: $EF \perp PD$;

(2) 求面 $PCD$ 与面 $PBF$ 所成的二面角的正弦值.

2024新高考二卷 · 第 17 题 · 解答题

如图, 四棱锥 $P-ABCD$ 中, $PA \perp$ 底面 $ABCD$, $PA = AC = 2$, $BC = 1$, $AB = \sqrt{3}$. (1) 若 $AD \parallel PB$, 证明: $AD \perp$ 平面 $PBC$; (2) 若 $AD \perp DC$, 且二面角 $A-CP-D$ 的正弦值为 $\frac{\sqrt{42}}{7}$, 求 $AD$.

2024新高考一卷 · 第 17 题 · 解答题

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2024全国甲卷(理) · 第 19 题 · 解答题