已知正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 的棱长为 $4$, $E, F$ 分别为 $A_1D_1$ 和 $B_1C_1$ 的中点, $G$ 在线段 $CC_1$ 上, 且 $CG = 3GC_1$。

(1) 求证: $GF \perp$ 平面 $EBF$;

(2) 求平面 $EBF$ 和平面 $EBG$ 夹角的余弦值;

(3) 求三棱锥 $D-EBF$ 的体积。

如图, 在四边形 $ABCD$ 中, $AB \parallel CD$, $\angle DAB = 90^\circ$, $F$ 为 $CD$ 的中点, 点 $E$ 在 $AB$ 上, $EF \parallel AD$, $AB = 3AD$, $CD = 2AD$。将四边形 $EFDA$ 沿 $EF$ 翻折至四边形 $EFD'A'$, 使得面 $EFD'A'$ 与面 $EFCB$ 所成的二面角为 $60^\circ$。

(1) 证明: $A'B \parallel$ 平面 $CD'F$;

(2) 求面 $BCD'$ 与面 $EFD'A'$ 所成的二面角的正弦值。