已知正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 的棱长为 $4$, $E, F$ 分别为 $A_1D_1$ 和 $B_1C_1$ 的中点, $G$ 在线段 $CC_1$ 上, 且 $CG = 3GC_1$。

(1) 求证: $GF \perp$ 平面 $EBF$;

(2) 求平面 $EBF$ 和平面 $EBG$ 夹角的余弦值;

(3) 求三棱锥 $D-EBF$ 的体积。