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1715分三角函数★★★★☆
在 △ABC\triangle ABC 中，已知 cos⁡B=34\cos B=\frac{3}{4}，cos⁡2(A+C)+sin⁡Asin⁡C=1\cos^2\left( A+C \right)+\sin A\sin C=1.
(1) 证明：△ABC\triangle ABC 为钝角三角形； (2) 若 △ABC\triangle ABC 的面积为 74\frac{\sqrt{7}}{4}，求 △ABC\triangle ABC 的周长.

2026 · 全国 · 二卷 · 第 17 题 · 解答题

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10三角函数★★★★☆
函数 y=f(x)y=f(x) 的图象由函数 y=cos⁡(2x+π6)y=\cos\left( 2x+\frac{\pi}{6} \right) 的图象向左平移 π6\frac{\pi}{6} 个单位长度得到，则 y=f(x)y=f(x) 的图象与直线 y=12x−12y=\frac12x-\frac12 的交点个数为（ ）
A.
1
B.
2
C.
3
D.
4

2023 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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12三角函数★★★★☆
函数 y=f(x)y=f(x) 的图象由 y=cos⁡(2x+π6)y=\cos\left(2x+\dfrac{\pi}{6}\right) 的图象向左平移 π6\dfrac{\pi}{6} 个单位长度得到，则 y=f(x)y=f(x) 的图象与直线 y=12x−12y=\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{2} 的交点个数为（ ）
A.
11
B.
22
C.
33
D.
44

2023 · 全国 · 甲卷 · 文 · 第 12 题 · 选择题

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11三角函数★★★★☆
设函数 f(x)=sin⁡(ωx+π3)f(x)=\sin\left(\omega x+\frac\pi3\right) 在区间 (0,π)(0,\pi) 上恰有三个极值点，两个零点，则实数 ω\omega 的取值范围是（ ）
A.
[53,136)\left[\frac53,\frac{13}6\right)
B.
[53,196)\left[\frac53,\frac{19}6\right)
C.
(136,83]\left(\frac{13}6,\frac83\right]
D.
(136,196]\left(\frac{13}6,\frac{19}6\right]

2022 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 11 题 · 选择题

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12函数与初等函数★★★★☆
已知 a=3132a=\frac{31}{32}，b=cos⁡14b=\cos\frac14，c=4sin⁡14c=4\sin\frac14，则（ ）
A.
c>b>ac>b>a
B.
b>a>cb>a>c
C.
a>b>ca>b>c
D.
a>c>ba>c>b

2022 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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16三角函数★★★★☆
已知 △ABC\triangle ABC，点 DD 在边 BCBC 上，∠ADB=120∘\angle ADB=120^\circ，AD=2AD=2，CD=2BDCD=2BD. 当 ACAB\frac{AC}{AB} 取得最小值时，BD=BD=______.

2022 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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16三角函数★★★★☆
已知 △ABC\triangle ABC 中，点 DD 在边 BCBC 上，∠ADB=120∘\angle ADB=120^\circ，AD=2AD=2，且 CD=2BDCD=2BD. 当 ACAB\dfrac{AC}{AB} 取得最小值时，BD=BD=______.

2022 · 全国 · 甲卷 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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16三角函数★★★★☆
已知函数 f(x)=2cos⁡(ωx+φ)f(x)=2\cos (\omega x+\varphi) 的部分图像如图所示，则满足条件 (f(x)−f(−7π4))(f(x)−f(4π3))>0\left( f(x)-f\left( -\frac{7\pi}{4} \right) \right)\allowbreak\left( f(x)-f\left( \frac{4\pi}{3} \right) \right)>0 的最小正整数 xx 为______.

2021 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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12三角函数★★★★☆
设函数 f(x)=sin⁡ ⁣(ωx+π5)f(x)=\sin\!\left(\omega x+\dfrac{\pi}{5}\right)（ω>0\omega>0），已知 f(x)f(x) 在 [0,2π][0,2\pi] 有且仅有 55 个零点. 下述四个结论：
① f(x)f(x) 在 (0,2π)(0,2\pi) 有且仅有 33 个极大值点； ② f(x)f(x) 在 (0,2π)(0,2\pi) 有且仅有 22 个极小值点； ③ f(x)f(x) 在 (0,π10)\left(0,\dfrac{\pi}{10}\right) 单调递增； ④ ω\omega 的取值范围是 [125,2910)\left[\dfrac{12}{5},\dfrac{29}{10}\right).
其中所有正确结论的编号是（ ）
A.
\circled1\circled4\circled{1}\circled{4}
B.
\circled2\circled3\circled{2}\circled{3}
C.
\circled1\circled2\circled3\circled{1}\circled{2}\circled{3}
D.
\circled1\circled3\circled4\circled{1}\circled{3}\circled{4}

2019 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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19三角函数★★★★☆
如图，AA，BB，CC，DD 为平面四边形 ABCDABCD 的四个内角.
(1) 证明：tan⁡A2=1−cos⁡Asin⁡A\tan \frac{A}{2} = \frac{1 - \cos A}{\sin A}； (2) 若 A+C=180∘A + C = 180^{\circ}，AB=6AB = 6，BC=3BC = 3，CD=4CD = 4，AD=5AD = 5， 求 tan⁡A2+tan⁡B2+tan⁡C2+tan⁡D2\tan \frac{A}{2} + \tan \frac{B}{2} + \tan \frac{C}{2} + \tan \frac{D}{2} 的值.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 因为 AA 是四边形的内角，所以 0<A<π0<A<\pi，从而 sin⁡A>0\sin A>0. 利用平方差公式，
1−cos⁡Asin⁡A=(1−cos⁡A)(1+cos⁡A)sin⁡A(1+cos⁡A)=sin⁡2Asin⁡A(1+cos⁡A)=sin⁡A1+cos⁡A=tan⁡A2\frac{1-\cos A}{\sin A}=\frac{(1-\cos A)(1+\cos A)}{\sin A(1+\cos A)} =\frac{\sin^2A}{\sin A(1+\cos A)} =\frac{\sin A}{1+\cos A} =\tan\frac A2
\item 由 A+C=180∘A+C=180^{\circ}，四边形 ABCDABCD 为圆内接四边形，且 B+D=180∘B+D=180^{\circ}. 令其面积为 KK，半周长为 ss，则 s=6+3+4+52=9s=\dfrac{6+3+4+5}{2}=9. 由布拉马古普塔公式，
K=(s−6)(s−3)(s−4)(s−5)=3⋅6⋅5⋅4=610K=\sqrt{(s-6)(s-3)(s-4)(s-5)}=\sqrt{3\cdot6\cdot5\cdot4}=6\sqrt{10}
沿对角线分割四边形，并利用 sin⁡C=sin⁡A\sin C=\sin A，得
K=12⋅6⋅5sin⁡A+12⋅3⋅4sin⁡C=21sin⁡AK=\frac12\cdot6\cdot5\sin A+\frac12\cdot3\cdot4\sin C=21\sin A
所以 sin⁡A=2107\sin A=\dfrac{2\sqrt{10}}7. 同理，利用 sin⁡D=sin⁡B\sin D=\sin B，得
K=12⋅6⋅3sin⁡B+12⋅5⋅4sin⁡D=19sin⁡BK=\frac12\cdot6\cdot3\sin B+\frac12\cdot5\cdot4\sin D=19\sin B
所以 sin⁡B=61019\sin B=\dfrac{6\sqrt{10}}{19}.
又 tan⁡C2=cot⁡A2\tan\dfrac C2=\cot\dfrac A2，tan⁡D2=cot⁡B2\tan\dfrac D2=\cot\dfrac B2，而 tan⁡t2+cot⁡t2=2sin⁡t\tan\dfrac t2+\cot\dfrac t2=\dfrac2{\sin t}. 因而所求为
2sin⁡A+2sin⁡B=710+19310=4103\frac2{\sin A}+\frac2{\sin B}=\frac7{\sqrt{10}}+\frac{19}{3\sqrt{10}}=\frac{4\sqrt{10}}3
\end{enumerate} \end{solution}

2015 · 四川 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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19三角函数★★★★☆
已知 AA，BB，CC 为 △ABC\triangle ABC 的内角，tan⁡A\tan A，tan⁡B\tan B 是关于 xx 的方程 x2+3px−p+1=0x^{2} + \sqrt{3}px - p + 1 = 0（p∈Rp \in \mathbf{R}）的两个实根.
(1) 求 CC 的大小； (2) 若 AB=3AB = 3，AC=6AC = \sqrt{6}，求 pp 的值.

2015 · 四川 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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08三角函数★★★★☆
在 △ABC\triangle ABC 中，sin⁡2A⩽sin⁡2B+sin⁡2C−sin⁡Bsin⁡C\sin^2 A \leqslant \sin^2 B + \sin^2 C - \sin B \sin C，则 AA 的取值范围是（ ）
A.
(0,π6](0, \frac{\pi}{6}]
B.
[π6,π)[\frac{\pi}{6}, \pi)
C.
(0,π3](0, \frac{\pi}{3}]
D.
[π3,π)[\frac{\pi}{3}, \pi)

2011 · 四川 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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11三角函数★★★★☆
设 aa，bb，cc 分别是 △ABC\triangle ABC 的三个内角 AA，BB，CC 所对的边，则 a2=b(b+c)a^{2}=b(b+c) 是 A=2BA=2B 的（ ）
A.
充要条件
B.
充分而不必要条件
C.
必要而不充分条件
D.
既不充分也不必要条件

2006 · 四川 · 理 · 第 11 题 · 选择题

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11三角函数★★★★☆
设 aa，bb，cc 分别是 △ABC\triangle ABC 的三个内角 AA，BB，CC 所对的边，则 a2=b(b+c)a^2 = b(b + c) 是 A=2BA = 2B 的（ ）
A.
充要条件
B.
充分而不必要条件
C.
必要而不充分条件
D.
既不充分也不必要条件

2006 · 四川 · 文 · 第 11 题 · 选择题

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