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09解析几何★★★★☆
已知双曲线 x2a2−y2b2=1\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a>0a>0，b>0b>0）的左焦点为 FF，AA 是右顶点，PP 是双曲线上一点，满足 ∣FA∣=∣FP∣|FA|=|FP|，∠FAP=30∘\angle FAP=30^\circ，则双曲线离心率为（ ）
A.
44
B.
83\frac{8}{3}
C.
85\frac{8}{5}
D.
43\frac{4}{3}

2026 · 天津 · 第 9 题 · 选择题

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08三角函数★★★★☆
f(x)=sin⁡(ωx+φ)f(x)=\sin(\omega x+\varphi)（ω>0\omega>0，−π<φ<π-\pi<\varphi<\pi），在 [−5π12,π12]\left[-\frac{5\pi}{12},\frac{\pi}{12}\right] 上单调递增，且 x=π12x=\frac{\pi}{12} 是它的一条对称轴，(π3,0)(\frac{\pi}{3},0) 是它的一个对称中心.
当 x∈[0,π2]x\in[0,\frac{\pi}{2}] 时，f(x)f(x) 的最小值为（ ）
A.
−32-\frac{\sqrt3}{2}
B.
−12-\frac12
C.
1
D.
0

2025 · 天津 · 第 8 题 · 选择题

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08解析几何★★★★☆
双曲线 x2a2−y2b2=1\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a>0a>0，b>0b>0）的左，右焦点分别为 F1F_1，F2F_2. PP 是双曲线右支上一点，且直线 PF2PF_2 的斜率为 2. △PF1F2\triangle PF_1F_2 是面积为 8 的直角三角形，则双曲线的方程为（ ）
A.
x22−y28=1\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{y^2}{8}=1
B.
x24−y28=1\dfrac{x^2}{4}-\dfrac{y^2}{8}=1
C.
x28−y22=1\dfrac{x^2}{8}-\dfrac{y^2}{2}=1
D.
x28−y24=1\dfrac{x^2}{8}-\dfrac{y^2}{4}=1

2024 · 天津 · 第 8 题 · 选择题

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14平面向量★★★★☆
在 △ABC\triangle ABC 中，∠A=60∘\angle A=60^\circ，BC=1BC=1，点 DD 为 ABAB 的中点，点 EE 为 CDCD 的中点. 若设 AB→=a\overrightarrow{AB}=\boldsymbol{a}，AC→=b\overrightarrow{AC}=\boldsymbol{b}，则 AE→\overrightarrow{AE} 可用 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 表示为______；若 BF→=13BC→\overrightarrow{BF}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BC}，则 AE→⋅AF→\overrightarrow{AE}\cdot \overrightarrow{AF} 的最大值为______.

2023 · 天津 · 第 14 题 · 填空题

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09函数与初等函数★★★★☆
设 a∈Ra\in \mathbf{R}，函数
f(x)={cos⁡(2πx−2πa),x<a,x2−2(a+1)x+a2+5,x≥af(x)=\begin{cases} \cos\left( 2\pi x-2\pi a \right), & x<a,\\ x^2-2(a+1)x+a^2+5, & x\ge a \end{cases}
若 f(x)f(x) 在区间 (0,+∞)\left( 0,+\infty \right) 内恰有 66 个零点，则 aa 的取值范围是（ ）
A.
(2,94]∪(52,114]\left( 2,\frac{9}{4} \right]\cup \left( \frac{5}{2},\frac{11}{4} \right]
B.
(74,2)∪(52,114]\left( \frac{7}{4},2 \right)\cup \left( \frac{5}{2},\frac{11}{4} \right]
C.
(2,94]∪[114,3)\left( 2,\frac{9}{4} \right]\cup \left[ \frac{11}{4},3 \right)
D.
(74,2)∪[114,3)\left( \frac{7}{4},2 \right)\cup \left[ \frac{11}{4},3 \right)

2021 · 天津 · 第 9 题 · 选择题

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08三角函数★★★★☆
已知函数 f(x)=sin⁡2ωx2+12sin⁡ωx−12f(x)=\sin^2\frac{\omega x}{2}+\frac12\sin\omega x-\frac12（ω>0\omega>0，x∈Rx\in \mathbf{R}），若 f(x)f(x) 在区间 (π,2π)\left( \pi,2\pi \right) 内没有零点，则 ω\omega 的取值范围是（ ）
A.
(0,18]\left( 0,\frac18 \right]
B.
(0,14]∪[58,1)\left( 0,\frac14 \right]\cup\left[ \frac58,1 \right)
C.
(0,58]\left( 0,\frac58 \right]
D.
(0,18]∪[14,58]\left( 0,\frac18 \right]\cup\left[ \frac14,\frac58 \right]

2016 · 天津 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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14三角函数★★★★☆
已知函数 f(x)=sin⁡ωx+cos⁡ωxf(x) = \sin \omega x + \cos \omega x（ω>0\omega > 0），x∈Rx \in \mathbf{R}. 若函数 f(x)f(x) 在区间 (−ω,ω)(- \omega, \omega) 内单调递增，且函数 y=f(x)y = f(x) 的图象关于直线 x=ωx = \omega 对称，则 ω\omega 的值为______.

2015 · 天津 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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20导数及其应用★★★★☆
某人在一山坡 PP 处观看对面山顶上的一座铁塔，如图所示，塔高 BC=80 米BC=80\text{ 米}，塔所在的山高 OB=220 米OB=220\text{ 米}，OA=200 米OA=200\text{ 米}. 图中所示的山坡可视为直线 ll 且点 PP 在直线 ll 上，ll 与水平地面的夹角为 α\alpha，tan⁡α=12\tan\alpha=\dfrac12. 试问此人距水平地面多高时，观看塔的视角 ∠BPC\angle BPC 最大？（不计此人的身高）

2005 · 天津 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21三角函数★★★★☆
某人在一山坡 PP 处观看对面山顶上的一座铁塔，如图所示，塔高 BC=80 mBC = 80\mathrm{~m}，塔所在的山高 OB=220 mOB = 220\mathrm{~m}，OA=200 mOA = 200\mathrm{~m}. 图中所示的山坡可视为直线 ll 且点 PP 在直线 ll 上，ll 与水平地面的夹角为 α\alpha，tan⁡α=12\tan \alpha = \frac{1}{2}. 试问此人距水平地面多高时，观看塔的视角 ∠BPC\angle BPC 最大？ （不计此人的身高）

2005 · 天津 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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