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1715分三角函数★★★★☆
在 △ABC\triangle ABC 中，已知 cos⁡B=34\cos B=\frac{3}{4}，cos⁡2(A+C)+sin⁡Asin⁡C=1\cos^2\left( A+C \right)+\sin A\sin C=1.
(1) 证明：△ABC\triangle ABC 为钝角三角形； (2) 若 △ABC\triangle ABC 的面积为 74\frac{\sqrt{7}}{4}，求 △ABC\triangle ABC 的周长.

2026 · 全国 · 二卷 · 第 17 题 · 解答题

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096分三角函数★★★★☆
已知函数 f(x)=sin⁡(2x+φ)f(x)=\sin(2x+\varphi)（0<φ<π0<\varphi<\pi）的图像关于点 (2π3,0)\left(\frac{2\pi}{3},0\right) 中心对称，则（ ）
A.
f(x)f(x) 在区间 (0,5π12)\left(0,\frac{5\pi}{12}\right) 单调递减
B.
f(x)f(x) 在区间 (−π12,11π12)\left(-\frac{\pi}{12},\frac{11\pi}{12}\right) 有两个极值点
C.
直线 x=7π6x=\frac{7\pi}{6} 是曲线 y=f(x)y=f(x) 的对称轴
D.
直线 y=32−xy=\frac{\sqrt3}{2}-x 是曲线 y=f(x)y=f(x) 的切线

2022 · 全国 · 新高考二卷 · 第 9 题 · 多选题

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21导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=sin⁡2xsin⁡2xf(x)=\sin^2 x\sin 2x.
(1) 讨论 f(x)f(x) 在区间 (0,π)(0,\pi) 的单调性； (2) 证明：∣f(x)∣≤338|f(x)|\leq \dfrac{3\sqrt3}{8}； (3) 设 n∈N∗n\in\mathbf{N}^*，证明：sin⁡2xsin⁡22xsin⁡24x⋯sin⁡22nx≤3n4n\sin^2 x\sin^2 2x\sin^2 4x\cdots \sin^2 2^n x\leq \dfrac{3^n}{4^n}.

2020 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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11解析几何★★★★☆
已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1C:\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1（a>b>0a > b > 0）的左焦点为 FF，CC 与过原点的直线相交于 AA，BB 两点，连接 AFAF，BFBF，若 ∣AB∣=10|AB| = 10，∣BF∣=8|BF| = 8，cos⁡∠ABF=45\cos \angle ABF = \frac{4}{5}，则 CC 的离心率为（ ）
A.
35\frac{3}{5}
B.
57\frac{5}{7}
C.
45\frac{4}{5}
D.
67\frac{6}{7}

2013 · 辽宁 · 文 · 第 11 题 · 选择题

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22立体几何初步★★★★☆
如图，⊙O\odot O 和 ⊙O′\odot O' 相交于 AA，BB 两点，过 AA 作两圆的切线分别交两圆于 CC，DD 两点，连接 DBDB 并延长交 ⊙O\odot O 于点 EE. 证明：
(1) AC⋅BD=AD⋅ABAC \cdot BD = AD \cdot AB. (2) AC=AEAC = AE.

2012 · 辽宁 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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22三角函数★★★★☆
已知 △ABC\triangle ABC 中，AB=ACAB = AC，DD 是 △ABC\triangle ABC 外接圆劣弧 AC^\widehat{AC} 上的点（不与点 AA，CC 重合），延长 BDBD 至 EE.
(1) 求证：ADAD 的延长线平分 ∠CDE\angle CDE； (2) 若 ∠BAC=30∘\angle BAC = 30^{\circ}，△ABC\triangle ABC 中 BCBC 边上的高为 2+32 + \sqrt{3}，求 △ABC\triangle ABC 外接圆的面积.

2009 · 辽宁 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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16三角函数★★★★☆
已知 f(x)=sin⁡(ωx+π3)f(x) = \sin \left( \omega x + \frac{\pi}{3} \right)（ω>0\omega > 0），f(π6)=f(π3)f\left(\frac{\pi}{6}\right) = f\left(\frac{\pi}{3}\right)，且 f(x)f(x) 在区间 (π6,π3)\left(\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}\right) 有最小值，无最大值，则 ω=\omega =______.

2008 · 辽宁 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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16三角函数★★★★☆
ω\omega 是正实数. 设 Sω={θ∣f(x)=cos⁡[ω(x+θ)] 是奇函数}S_{\omega} = \{\theta \mid f(x) = \cos[\omega(x + \theta)] \text{ 是奇函数}\}，若对每个实数 aa，Sω∩(a,a+1)S_{\omega} \cap (a, a + 1) 的元素不超过 22 个，且有 aa 使 Sω∩(a,a+1)S_{\omega} \cap (a, a + 1) 含 22 个元素，则 ω\omega 的取值范围是______.
\begin{answer} (π,2π]\left(\pi, 2\pi\right] \end{answer}
\begin{solution} 由 f(x)=cos⁡[ω(x+θ)]f(x)=\cos[\omega(x+\theta)] 为奇函数，先令 x=0x=0，得到 cos⁡(ωθ)=0\cos(\omega\theta)=0. 反过来，若 cos⁡(ωθ)=0\cos(\omega\theta)=0，则 cos⁡[ω(−x+θ)]=−cos⁡[ω(x+θ)]\cos[\omega(-x+\theta)]=-\cos[\omega(x+\theta)]， 所以
Sω={π2+kπω∣k∈Z}S_{\omega}=\left\{\frac{\frac{\pi}{2}+k\pi}{\omega}\mid k\in\mathbf{Z}\right\}
相邻两个元素的距离为 d=πωd=\frac{\pi}{\omega}. 任意长度为 11 的开区间中元素不超过两个，当且仅当 2d⩾12d\geqslant1；存在某个这样的开区间含有两个元素，当且仅当 d<1d<1. 因而 12⩽πω<1\frac12\leqslant\frac{\pi}{\omega}<1， 即 π<ω⩽2π\pi<\omega\leqslant2\pi. \end{solution}

2005 · 辽宁 · 第 16 题 · 填空题

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18导数及其应用★★★★☆
如图，在直径为 11 的圆 OO 中，作一关于圆心对称，邻边互相垂直的十字形，其中 y>x>0y > x > 0.
(1) 将十字形的面积表示为 θ\theta 的函数； (2) θ\theta 为何值时，十字形的面积最大？最大面积是多少？
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 设图中十字形的横、纵两个长方形的长边均为 yy，短边均为 xx. 两个长方形的公共部分是边长为 xx 的正方形，所以十字形面积为 S=2xy−x2S=2xy-x^2. 由图中半径方向形成的直角三角形及圆的直径为 11，有 x=cos⁡θx=\cos\theta，y=sin⁡θy=\sin\theta. 条件 y>x>0y>x>0 给出 π4<θ<π2\frac\pi4<\theta<\frac\pi2，故 S(θ)=2sin⁡θcos⁡θ−cos⁡2θS(\theta)=2\sin\theta\cos\theta-\cos^2\theta.
\item 对上式求导，得 S′(θ)=2cos⁡2θ+sin⁡2θS'(\theta)=2\cos2\theta+\sin2\theta. 在 π4<θ<π2\frac\pi4<\theta<\frac\pi2 内，令 S′(θ)=0S'(\theta)=0，则 2cos⁡2θ+sin⁡2θ=02\cos2\theta+\sin2\theta=0. 因为 π2<2θ<π\frac\pi2<2\theta<\pi，所以 sin⁡2θ=25\sin2\theta=\frac2{\sqrt5}，cos⁡2θ=−15\cos2\theta=-\frac1{\sqrt5}. 因而 θ=π4+12arccos⁡25\theta=\frac\pi4+\frac12\arccos\frac2{\sqrt5}. 此时
S=sin⁡2θ−cos⁡2θ=25−1+cos⁡2θ2=25−1−152=5−12S=\sin2\theta-\cos^2\theta =\frac2{\sqrt5}-\frac{1+\cos2\theta}{2} =\frac2{\sqrt5}-\frac{1-\frac1{\sqrt5}}2 =\frac{\sqrt5-1}{2}
区间端点不属于定义域；当 θ→π4+\theta\to\frac\pi4+ 和 θ→π2−\theta\to\frac\pi2- 时，面积分别趋于 12\frac12 和 00，均小于上述驻点处的面积. 又上述驻点唯一且导数由正变负，所以该值为最大面积. \end{enumerate} \end{solution}

2005 · 辽宁 · 第 18 题 · 解答题

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18不等式★★★★☆
设全集 U=RU = \mathbf{R}.
(1) 解关于 xx 的不等式 ∣x−1∣+a−1>0|x - 1| + a - 1 > 0（a∈Ra \in \mathbf{R}）； (2) 记 AA 为（1）中不等式的解集，集合 B={x∣sin⁡(πx−π3)+3cos⁡(πx−π3)=0}B = \left\{x \mid \sin \left( \pi x - \frac{\pi}{3} \right) + \sqrt{3} \cos \left( \pi x - \frac{\pi}{3} \right) = 0 \right\}，若 (∁UA)∩B(\complement_U A) \cap B 恰有 33 个元素，求 aa 的取值范围.

2004 · 辽宁 · 第 18 题 · 解答题

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