在 $\triangle ABC$ 中，已知 $\cos B=\frac{3}{4}$，$\cos^2\left( A+C \right)+\sin A\sin C=1$.

(1) 证明：$\triangle ABC$ 为钝角三角形； (2) 若 $\triangle ABC$ 的面积为 $\frac{\sqrt{7}}{4}$，求 $\triangle ABC$ 的周长.

已知函数 $f(x)=\sin^2 x\sin 2x$.

(1) 讨论 $f(x)$ 在区间 $(0,\pi)$ 的单调性； (2) 证明：$|f(x)|\leq \dfrac{3\sqrt3}{8}$； (3) 设 $n\in\mathbf{N}^*$，证明：$\sin^2 x\sin^2 2x\sin^2 4x\cdots \sin^2 2^n x\leq \dfrac{3^n}{4^n}$.

如图，$\triangle ABC$ 中，$BC = 6$，以 $BC$ 为直径的半圆分别交 $AB$，$AC$ 于点 $E$，$F$，若 $AC = 2AE$，则 $EF =$______.

如图，$A$，$B$ 是海面上位于东西方向相距 $5(3 + \sqrt{3})$ 海里的两个观测点. 现位于 $A$ 点北偏东 $45^\circ$，$B$ 点北偏西 $60^\circ$ 的 $D$ 点有一艘轮船发出求救信号，位于 $B$ 点南偏西 $60^\circ$ 且与 $B$ 点相距 $20\sqrt{3}$ 海里的 $C$ 点的救援船立即前往营救，其航行速度为 $30$ 海里/小时，该救援船到达 $D$ 点需要多长时间？