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共找到 47 题
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09解析几何★★★★☆
已知双曲线 x2a2−y2b2=1\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a>0a>0，b>0b>0）的左焦点为 FF，AA 是右顶点，PP 是双曲线上一点，满足 ∣FA∣=∣FP∣|FA|=|FP|，∠FAP=30∘\angle FAP=30^\circ，则双曲线离心率为（ ）
A.
44
B.
83\frac{8}{3}
C.
85\frac{8}{5}
D.
43\frac{4}{3}

2026 · 天津 · 第 9 题 · 选择题

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08三角函数★★★★☆
f(x)=sin⁡(ωx+φ)f(x)=\sin(\omega x+\varphi)（ω>0\omega>0，−π<φ<π-\pi<\varphi<\pi），在 [−5π12,π12]\left[-\frac{5\pi}{12},\frac{\pi}{12}\right] 上单调递增，且 x=π12x=\frac{\pi}{12} 是它的一条对称轴，(π3,0)(\frac{\pi}{3},0) 是它的一个对称中心.
当 x∈[0,π2]x\in[0,\frac{\pi}{2}] 时，f(x)f(x) 的最小值为（ ）
A.
−32-\frac{\sqrt3}{2}
B.
−12-\frac12
C.
1
D.
0

2025 · 天津 · 第 8 题 · 选择题

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16三角函数★★★★☆
已知 a∈Ra\in\mathbf{R}，不等式 [tan⁡(π6x)−a][tan⁡(π6x)−a−1]<0\left[\tan\left(\dfrac\pi6x\right)-a\right]\left[\tan\left(\dfrac\pi6x\right)-a-1\right]<0 在 (0,2025)(0,2025) 中的整数解有 mm 个. 关于 mm 的个数，以下不可能的是（ ）.
A.
00
B.
338338
C.
674674
D.
10121012

2025 · 上海 · 春季 · 第 16 题 · 选择题

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075分三角函数★★★★☆
当 x∈[0,2π]x\in[0,2\pi] 时，曲线 y=sin⁡xy=\sin x 与 y=2sin⁡ ⁣(3x−π6)y=2\sin\!\left(3x-\frac{\pi}{6}\right) 的交点个数为（ ）
A.
3
B.
4
C.
6
D.
8

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 7 题 · 选择题

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08解析几何★★★★☆
双曲线 x2a2−y2b2=1\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a>0a>0，b>0b>0）的左，右焦点分别为 F1F_1，F2F_2. PP 是双曲线右支上一点，且直线 PF2PF_2 的斜率为 2. △PF1F2\triangle PF_1F_2 是面积为 8 的直角三角形，则双曲线的方程为（ ）
A.
x22−y28=1\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{y^2}{8}=1
B.
x24−y28=1\dfrac{x^2}{4}-\dfrac{y^2}{8}=1
C.
x28−y22=1\dfrac{x^2}{8}-\dfrac{y^2}{2}=1
D.
x28−y24=1\dfrac{x^2}{8}-\dfrac{y^2}{4}=1

2024 · 天津 · 第 8 题 · 选择题

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10三角函数★★★★☆
函数 y=f(x)y=f(x) 的图象由函数 y=cos⁡(2x+π6)y=\cos\left( 2x+\frac{\pi}{6} \right) 的图象向左平移 π6\frac{\pi}{6} 个单位长度得到，则 y=f(x)y=f(x) 的图象与直线 y=12x−12y=\frac12x-\frac12 的交点个数为（ ）
A.
1
B.
2
C.
3
D.
4

2023 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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12三角函数★★★★☆
函数 y=f(x)y=f(x) 的图象由 y=cos⁡(2x+π6)y=\cos\left(2x+\dfrac{\pi}{6}\right) 的图象向左平移 π6\dfrac{\pi}{6} 个单位长度得到，则 y=f(x)y=f(x) 的图象与直线 y=12x−12y=\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{2} 的交点个数为（ ）
A.
11
B.
22
C.
33
D.
44

2023 · 全国 · 甲卷 · 文 · 第 12 题 · 选择题

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11三角函数★★★★☆
设函数 f(x)=sin⁡(ωx+π3)f(x)=\sin\left(\omega x+\frac\pi3\right) 在区间 (0,π)(0,\pi) 上恰有三个极值点，两个零点，则实数 ω\omega 的取值范围是（ ）
A.
[53,136)\left[\frac53,\frac{13}6\right)
B.
[53,196)\left[\frac53,\frac{19}6\right)
C.
(136,83]\left(\frac{13}6,\frac83\right]
D.
(136,196]\left(\frac{13}6,\frac{19}6\right]

2022 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 11 题 · 选择题

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12函数与初等函数★★★★☆
已知 a=3132a=\frac{31}{32}，b=cos⁡14b=\cos\frac14，c=4sin⁡14c=4\sin\frac14，则（ ）
A.
c>b>ac>b>a
B.
b>a>cb>a>c
C.
a>b>ca>b>c
D.
a>c>ba>c>b

2022 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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09函数与初等函数★★★★☆
设 a∈Ra\in \mathbf{R}，函数
f(x)={cos⁡(2πx−2πa),x<a,x2−2(a+1)x+a2+5,x≥af(x)=\begin{cases} \cos\left( 2\pi x-2\pi a \right), & x<a,\\ x^2-2(a+1)x+a^2+5, & x\ge a \end{cases}
若 f(x)f(x) 在区间 (0,+∞)\left( 0,+\infty \right) 内恰有 66 个零点，则 aa 的取值范围是（ ）
A.
(2,94]∪(52,114]\left( 2,\frac{9}{4} \right]\cup \left( \frac{5}{2},\frac{11}{4} \right]
B.
(74,2)∪(52,114]\left( \frac{7}{4},2 \right)\cup \left( \frac{5}{2},\frac{11}{4} \right]
C.
(2,94]∪[114,3)\left( 2,\frac{9}{4} \right]\cup \left[ \frac{11}{4},3 \right)
D.
(74,2)∪[114,3)\left( \frac{7}{4},2 \right)\cup \left[ \frac{11}{4},3 \right)

2021 · 天津 · 第 9 题 · 选择题

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15三角函数★★★★☆
已知 f(x)=3sin⁡x+2f(x)=3\sin x+2，对任意的 x1∈[0,π2]x_1\in\left[ 0,\frac{\pi}{2} \right]，都存在 x2∈[0,π2]x_2\in\left[ 0,\frac{\pi}{2} \right]，使得 f(x1)=2f(x2+θ)+2f(x_1)=2f(x_2+\theta)+2 成立，则下列选项中，θ\theta 可能的值是（ ）
A.
3π5\dfrac{3\pi}{5}
B.
4π5\dfrac{4\pi}{5}
C.
6π5\dfrac{6\pi}{5}
D.
7π5\dfrac{7\pi}{5}

2021 · 上海 · 第 15 题 · 选择题

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12三角函数★★★★☆
设函数 f(x)=sin⁡ ⁣(ωx+π5)f(x)=\sin\!\left(\omega x+\dfrac{\pi}{5}\right)（ω>0\omega>0），已知 f(x)f(x) 在 [0,2π][0,2\pi] 有且仅有 55 个零点. 下述四个结论：
① f(x)f(x) 在 (0,2π)(0,2\pi) 有且仅有 33 个极大值点； ② f(x)f(x) 在 (0,2π)(0,2\pi) 有且仅有 22 个极小值点； ③ f(x)f(x) 在 (0,π10)\left(0,\dfrac{\pi}{10}\right) 单调递增； ④ ω\omega 的取值范围是 [125,2910)\left[\dfrac{12}{5},\dfrac{29}{10}\right).
其中所有正确结论的编号是（ ）
A.
\circled1\circled4\circled{1}\circled{4}
B.
\circled2\circled3\circled{2}\circled{3}
C.
\circled1\circled2\circled3\circled{1}\circled{2}\circled{3}
D.
\circled1\circled3\circled4\circled{1}\circled{3}\circled{4}

2019 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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08三角函数★★★★☆
如图，AA，BB 是半径为 22 的圆周上的定点，PP 为圆周上的动点，∠APB\angle APB 是锐角，大小为 β\beta. 图中阴影区域的面积的最大值为（ ）.
A.
4β+4cos⁡β4\beta+4\cos\beta
B.
4β+4sin⁡β4\beta+4\sin\beta
C.
2β+2cos⁡β2\beta+2\cos\beta
D.
2β+2sin⁡β2\beta+2\sin\beta

2019 · 北京 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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16三角函数★★★★☆
已知 tan⁡α⋅tan⁡β=tan⁡(α+β)\tan\alpha\cdot\tan\beta=\tan(\alpha+\beta).
① 存在角 α\alpha 在第一象限，角 β\beta 在第三象限； ② 存在角 α\alpha 在第二象限，角 β\beta 在第四象限.
那么（ ）
A.
\circled1\circled2\circled{1}\circled{2}均正确
B.
\circled1\circled2\circled{1}\circled{2}均错误
C.
\circled1\circled{1}正确，\circled2\circled{2}错误
D.
\circled1\circled{1}错误，\circled2\circled{2}正确

2019 · 上海 · 第 16 题 · 选择题

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07解析几何★★★★☆
在平面直角坐标系中，记 dd 为点 P(cos⁡θ,sin⁡θ)P(\cos\theta,\sin\theta) 到直线 x−my−2=0x-my-2=0 的距离，当 θ\theta，mm 变化时，dd 的最大值为（ ）.
A.
11
B.
22
C.
33
D.
44

2018 · 北京 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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12三角函数★★★★☆
已知函数 f(x)=sin⁡(ωx+φ)f(x)=\sin(\omega x+\varphi) （ω>0\omega>0， ∣φ∣≤π2\ |\varphi|\le \frac{\pi}{2}），x=−π4x=-\dfrac{\pi}{4} 为 f(x)f(x) 的零点，x=π4x=\dfrac{\pi}{4} 为 y=f(x)y=f(x) 图象的对称轴，且 f(x)f(x) 在 (π18,5π36)\left(\dfrac{\pi}{18},\dfrac{5\pi}{36}\right) 上单调，则 ω\omega 的最大值为（ ）
A.
1111
B.
99
C.
77
D.
55

2016 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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12函数与初等函数★★★★☆
若函数 f(x)=x−13sin⁡2x+asin⁡xf(x)=x-\dfrac13\sin 2x+a\sin x 在 (−∞,+∞)(-\infty,+\infty) 单调递增，则 aa 的取值范围是（ ）
A.
[−1,1][ -1,1]
B.
[−1,13][ -1,\dfrac13]
C.
[−13,13][ -\dfrac13,\dfrac13]
D.
[−1,−13][ -1,-\dfrac13]

2016 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 12 题 · 选择题

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08三角函数★★★★☆
已知函数 f(x)=sin⁡2ωx2+12sin⁡ωx−12f(x)=\sin^2\frac{\omega x}{2}+\frac12\sin\omega x-\frac12（ω>0\omega>0，x∈Rx\in \mathbf{R}），若 f(x)f(x) 在区间 (π,2π)\left( \pi,2\pi \right) 内没有零点，则 ω\omega 的取值范围是（ ）
A.
(0,18]\left( 0,\frac18 \right]
B.
(0,14]∪[58,1)\left( 0,\frac14 \right]\cup\left[ \frac58,1 \right)
C.
(0,58]\left( 0,\frac58 \right]
D.
(0,18]∪[14,58]\left( 0,\frac18 \right]\cup\left[ \frac14,\frac58 \right]

2016 · 天津 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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17三角函数★★★★☆
设 a∈Ra\in\mathbf{R}，b∈[0,2π)b\in[0,2\pi). 若对任意实数 xx 都有 sin⁡ ⁣(3x−π3)=sin⁡(ax+b)\sin\!\left(3x-\dfrac{\pi}{3}\right)=\sin(ax+b)，则满足条件的有序实数对 (a,b)(a,b) 的对数为（ ）
A.
11
B.
22
C.
33
D.
44

2016 · 上海 · 文 · 第 17 题 · 选择题

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10三角函数★★★★☆
已知函数 f(x)=Asin⁡(ωx+φ)f(x) = A \sin (\omega x + \varphi) （AA，ω\omega，φ\varphi 均为正的常数） 的最小正周期为 π\pi，当 x=2π3x = \frac{2\pi}{3} 时，函数 f(x)f(x) 取得最小值，则下列结论正确的是（ ）
\begin{solution} 最小正周期满足 2πω=π\dfrac{2\pi}{\omega}=\pi，所以 ω=2\omega=2. 在 x=2π3x=\frac{2\pi}{3} 时取得最小值，故
sin⁡(4π3+φ)=−1\sin\left(\frac{4\pi}{3}+\varphi\right)=-1
从而 φ=π6+2kπ\varphi=\frac{\pi}{6}+2k\pi. 相位相差整数个周期不改变函数，故可取 f(x)=Asin⁡(2x+π6)f(x)=A\sin\left(2x+\frac{\pi}{6}\right).
因为 7π6<4<4π37\frac{\pi}{6}<4<4\frac{\pi}{3}，所以 sin⁡4<0\sin4<0，并且 π6−4\frac{\pi}{6}-4 加上 2π2\pi 后落在 (5π6,π)(5\frac{\pi}{6},\pi) 内. 于是
f(2)−f(−2)=A[sin⁡(4+π6)−sin⁡(π6−4)]=A3sin⁡4<0f(2)-f(-2)=A\left[\sin\left(4+\frac{\pi}{6}\right)-\sin\left(\frac{\pi}{6}-4\right)\right]=A\sqrt{3}\sin4<0
且 f(−2)=Asin⁡(π6−4)<Asin⁡π6=f(0)f(-2)=A\sin(\frac{\pi}{6}-4)<A\sin\frac{\pi}{6}=f(0). 因此 f(2)<f(−2)<f(0)f(2)<f(-2)<f(0)，选 A. \end{solution}
A.
f(2)<f(−2)<f(0)f(2) < f(-2) < f(0)
B.
f(0)<f(2)<f(−2)f(0) < f(2) < f(-2)
C.
f(−2)<f(0)<f(2)f(-2) < f(0) < f(2)
D.
f(2)<f(0)<f(−2)f(2) < f(0) < f(-2)

2015 · 安徽 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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09三角函数★★★★☆
将函数 f(x)=sin⁡2xf(x) = \sin 2x 的图象向右平移 φ\varphi （0<φ<π20 < \varphi < \frac{\pi}{2}）个单位后得到函数 g(x)g(x) 的图象，若对满足 ∣f(x1)−g(x2)∣=2|f(x_1) - g(x_2)| = 2 的 x1x_1，x2x_2，有 ∣x1−x2∣min⁡=π3|x_1 - x_2|_{\min} = \frac{\pi}{3}，则 φ=\varphi =（ ）
A.
5π12\frac{5\pi}{12}
B.
π3\frac{\pi}{3}
C.
π4\frac{\pi}{4}
D.
π6\frac{\pi}{6}

2015 · 湖南 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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12三角函数★★★★☆
设函数 f(x)=3sin⁡πxmf(x)=\sqrt{3}\sin\frac{\pi x}{m}，若存在 f(x)f(x) 的极值点 x0x_0 满足 x02+∣f(x0)∣2<m2x_0^2+\left|f(x_0)\right|^2<m^2，则 mm 的取值范围是（ ）
A.
(−∞,−6)∪(6,+∞)\left(-\infty,-6\right)\cup\left(6,+\infty\right)
B.
(−∞,−4)∪(4,+∞)\left(-\infty,-4\right)\cup\left(4,+\infty\right)
C.
(−∞,−2)∪(2,+∞)\left(-\infty,-2\right)\cup\left(2,+\infty\right)
D.
(−∞,−1)∪(1,+∞)\left(-\infty,-1\right)\cup\left(1,+\infty\right)

2014 · 全国 · 新课程二卷 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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10函数与初等函数★★★★☆
设函数 f1(x)=x2f_{1}(x) = x^{2}，f2(x)=2(x−x2)f_{2}(x) = 2(x - x^{2})，f3(x)=13∣sin⁡2πx∣f_{3}(x) = \frac{1}{3} |\sin 2\pi x|，ai=i99a_{i} = \frac{i}{99}，i=0i = 0，11，22，⋯\cdots，9999. 记 Ik=∣fk(a1)−fk(a0)∣+∣fk(a2)−fk(a1)∣+⋯+∣fk(a99)−fk(a98)∣I_{k} = |f_{k}(a_{1}) - f_{k}(a_{0})| + |f_{k}(a_{2}) - f_{k}(a_{1})| + \cdots + |f_{k}(a_{99}) - f_{k}(a_{98})|，k=1k = 1，22，33，则（ ）
A.
I1<I2<I3I_{1} < I_{2} < I_{3}
B.
I2<I1<I3I_{2} < I_{1} < I_{3}
C.
I1<I3<I2I_{1} < I_{3} < I_{2}
D.
I3<I2<I1I_{3} < I_{2} < I_{1}

2014 · 浙江 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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10平面向量★★★★☆
在平面直角坐标系 xOyxOy 中，已知向量 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b}，∣a∣=∣b∣=1|\boldsymbol{a}| = |\boldsymbol{b}| = 1，a⋅b=0\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = 0，点 QQ 满足 OQ→=2(a+b)\overrightarrow{OQ} = \sqrt{2}(\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}). 曲线 C={P∣OP→=acos⁡θ+bsin⁡θ,0⩽θ<2π}C = \left\{P \mid \overrightarrow{OP} = \boldsymbol{a} \cos \theta + \boldsymbol{b} \sin \theta, 0 \leqslant \theta < 2\pi\right\}，区域 Ω={P∣0<r⩽∣PQ→∣⩽R,r<R}\Omega = \left\{P \mid 0 < r \leqslant \left|\overrightarrow{PQ}\right| \leqslant R, r < R\right\}. 若 C∩ΩC \cap \Omega 为两段分离的曲线，则（ ）
\begin{solution} 取 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 为平面内两条互相垂直的单位向量作为坐标基底，则点 PP 的坐标可表示为 (cos⁡θ,sin⁡θ)(\cos\theta,\sin\theta)，点 QQ 的坐标为 (2,2)(\sqrt{2},\sqrt{2}). 因而 ∣PQ→∣2=(cos⁡θ−2)2+(sin⁡θ−2)2=5−22(cos⁡θ+sin⁡θ)=5−4cos⁡(θ−π4)\lvert\overrightarrow{PQ}\rvert^{2}=(\cos\theta-\sqrt{2})^{2}+(\sin\theta-\sqrt{2})^{2}=5-2\sqrt{2}(\cos\theta+\sin\theta)=5-4\cos\left(\theta-\dfrac{\pi}{4}\right).
所以 ∣PQ→∣\lvert\overrightarrow{PQ}\rvert 的最小值为 11，最大值为 33，且在圆 CC 上分别只有一个最小点和一个最大点. 若 r⩽1r\leqslant1，内边界不会截去最小点附近的弧段；若 R⩾3R\geqslant3，外边界不会截去最大点附近的弧段，这两种情形都不能得到两段分离的曲线. 只有 1<r<R<31<r<R<3 时，内、外两个边界分别截去最小点和最大点附近的弧段，剩余部分恰为两段分离的曲线，故选 A. \end{solution}
A.
1<r<R<31 < r < R < 3
B.
1<r<3⩽R1 < r < 3 \leqslant R
C.
r⩽1<R<3r \leqslant 1 < R < 3
D.
1<r<3<R1 < r < 3 < R

2014 · 安徽 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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09解析几何★★★★☆
已知 F1F_{1}，F2F_{2} 是椭圆和双曲线的公共焦点，PP 是它们的一个公共点，且 ∠F1PF2=π3\angle F_{1}PF_{2} = \frac{\pi}{3}，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ ）
A.
433\frac{4\sqrt{3}}{3}
B.
233\frac{2\sqrt{3}}{3}
C.
33
D.
22

2014 · 湖北 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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