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12平面向量★★★★☆
已知函数 f(x)f(x) 满足：当 x>0x>0 时 f(x)=1f(x)=1，当 x=0x=0 时 f(x)=0f(x)=0，当 x<0x<0 时 f(x)=−1f(x)=-1. a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b}，c\boldsymbol{c} 分别为平面内三个不同的单位向量. 若 f(a⋅b)+f(b⋅c)+f(c⋅a)=0f(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b})+f(\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{c})+f(\boldsymbol{c}\cdot\boldsymbol{a})=0，则 ∣a+b+c∣|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}| 的可取值范围是______.

2025 · 上海 · 第 12 题 · 填空题

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12平面向量★★★★☆
已知 a1\boldsymbol{a}_1，a2\boldsymbol{a}_2，b1\boldsymbol{b}_1，b2\boldsymbol{b}_2，…\ldots，bk\boldsymbol{b}_k（k∈N∗k\in\mathbf{N}^*）是平面内两两互不相等的向量，满足 ∣a1−a2∣=1|\boldsymbol{a}_1-\boldsymbol{a}_2|=1，且 ∣ai−bj∣∈{1,2}|\boldsymbol{a}_i-\boldsymbol{b}_j|\in\{1,2\}（其中 i=1i=1，22，j=1j=1，22，…\ldots，kk），则 kk 的最大值是______.

2020 · 上海 · 第 12 题 · 填空题

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14平面向量★★★★☆
在锐角三角形 ABCABC 中，tan⁡A=12\tan A = \frac{1}{2}，DD 为边 BCBC 上的点，△ABD\triangle ABD 与 △ACD\triangle ACD 的面积分别为 2 和 4. 过 DD 作 DE⊥ABDE \perp AB 于 EE，DF⊥ACDF \perp AC 于 FF，则 DE→⋅DF→=\overrightarrow{DE} \cdot \overrightarrow{DF} =______.

2015 · 上海 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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13平面向量★★★★☆
已知平面向量 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b}，c\boldsymbol{c} 满足 a⊥b\boldsymbol{a} \perp \boldsymbol{b}，且 {∣a∣,∣b∣,∣c∣}={1,2,3}\{|\boldsymbol{a}|, |\boldsymbol{b}|, |\boldsymbol{c}|\} = \{1, 2, 3\}，则 ∣a+b+c∣|\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b} + \boldsymbol{c}| 的最大值是______.

2015 · 上海 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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14解析几何★★★★☆
已知曲线 C:x=−4−y2C: x = -\sqrt{4 - y^2}，直线 l:x=6l: x = 6. 若对于点 A(m,0)A(m,0)，存在 CC 上的点 PP 和 ll 上的 QQ 使得 AP→+AQ→=0→\overrightarrow{AP} + \overrightarrow{AQ} = \overrightarrow{0}，则 mm 的取值范围为______.
\begin{answer} [2,3][2,3] \end{answer}
\begin{solution} 设 P=(x,y)P=(x,y)，则由曲线方程知 −2⩽x⩽0-2\leqslant x\leqslant0，且 QQ 在直线 x=6x=6 上. 向量等式等价于 P+Q=2A=(2m,0)P+Q=2A=(2m,0)，所以 Q=(6,−y)Q=(6,-y)，并且 2m=x+62m=x+6. 因此 m=x+62m=\dfrac{x+6}{2}，随 x∈[−2,0]x\in[-2,0] 取遍 [2,3][2,3]. 反过来，左半圆上每个 x∈[−2,0]x\in[-2,0] 都有相应的 yy，故区间内每个 mm 都能实现，所求范围为 [2,3][2,3]. \end{solution}

2014 · 上海 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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20解析几何★★★★☆
已知双曲线 C:x22−y2=1C: \frac{x^2}{2} - y^2 = 1.
(1) 求双曲线 CC 的渐近线方程； (2) 已知点 MM 的坐标为 (0,1)(0,1). 设 PP 是双曲线 CC 上的点，QQ 是点 PP 关于原点的对称点. 记 λ=MP→⋅MQ→\lambda = \overrightarrow{MP} \cdot \overrightarrow{MQ}，求 λ\lambda 的取值范围； (3) 已知点 DD，EE，MM 的坐标分别为 (−2,−1)(-2, -1)，(2,−1)(2, -1)，(0,1)(0, 1)，PP 为双曲线 CC 上在第一象限内的点. 记 ll 为经过原点与点 PP 的直线，ss 为 △DEM\triangle DEM 截直线 ll 所得线段的长. 试将 ss 表示为直线 ll 的斜率 kk 的函数.

2008 · 上海 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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20解析几何★★★★☆
在平面直角坐标系 xOyxOy 中，直线 ll 与抛物线 y2=2xy^{2} = 2x 相交于 AA，BB 两点.
(1) 求证：“如果直线 ll 过点 T(3,0)T(3,0)，那么 OA→⋅OB→=3\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = 3” 是真命题； (2) 写出第一问中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由.

2006 · 上海 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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22数列★★★★☆
在直角坐标平面中，已知点 P1(1,2)P_{1}(1,2)，P2(2,22)P_{2}(2,2^{2})，P3(3,23)P_{3}(3,2^{3})，⋯\cdots，Pn(n,2n)P_{n}(n,2^{n})，其中 nn 是正整数，对平面上任一点 A0A_{0}，记 A1A_{1} 为 A0A_{0} 关于点 P1P_{1} 的对称点，A2A_{2} 为 A1A_{1} 关于点 P2P_{2} 的对称点，⋯\cdots，AnA_{n} 为 An−1A_{n-1} 关于点 PnP_{n} 的对称点.
(1) 求向量 A0A2→\overrightarrow{A_{0}A_{2}} 的坐标； (2) 当点 A0A_{0} 在曲线 CC 上移动时，点 A2A_{2} 的轨迹是函数 y=f(x)y = f(x) 的图象，其中 f(x)f(x) 是以 3 为周期的周期函数，且当 x∈(0,3]x \in (0,3] 时，f(x)=lg⁡xf(x) = \lg x. 求以曲线 CC 为图象的函数在 (1,4](1,4] 上的解析式； (3) 对任意偶数 nn，用 nn 表示向量 A0An→\overrightarrow{A_{0}A_{n}} 的坐标.

2005 · 上海 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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