已知四棱锥 $P-ABCD$ 的底面是边长为 4 的正方形，$PC=PD=3$，$\angle PCA=45^\circ$，则 $\triangle PBC$ 的面积为（ ）

已知正三角形 $ABC$ 的边长为 $2\sqrt3$，平面 $ABC$ 内的动点 $P$，$M$ 满足 $\left| \overrightarrow{AP} \right|=1$，$\overrightarrow{PM}=\overrightarrow{MC}$，则 $\left| \overrightarrow{BM} \right|^2$ 的最大值是（ ）

设 $m \in \mathbf{R}$，过定点 $A$ 的动直线 $x + my = 0$ 和过定点 $B$ 的动直线 $mx - y - m + 3 = 0$ 交于点 $P(x, y)$. 则 $|PA| + |PB|$ 的取值范围是（ ）

\begin{answer} B \end{answer}

\begin{solution} 两条动直线分别恒过 $A=(0,0)$ 和 $B=(1,3)$. 它们的法向量分别为 $(1,m)$ 和 $(m,-1)$，数量积为 $m-m=0$，所以两直线始终垂直，即 $\angle APB=90^{\circ}$. 因而 $P$ 在以 $AB$ 为直径的圆上，且 $|AB|=\sqrt{(1-0)^2+(3-0)^2}=\sqrt{10}$，$|PA|^2+|PB|^2=10$. 由基本不等式， 联立两条直线方程可得 当 $m=3$ 或 $m=-\frac13$ 时，分别有 $P=A$ 或 $P=B$，下界可以取得；当 $m=\frac12$ 或 $m=-2$ 时，分别有 $P=(-1,2)$ 或 $P=(2,1)$，均满足 $|PA|=|PB|=\sqrt5$，上界也可以取得. 故取值范围为 $[\sqrt{10},2\sqrt5]$，选 B. \end{solution}

设 $P_1$，$P_2$，$\cdots$，$P_n$ 为平面 $\alpha$ 内的 $n$ 个点，在平面 $\alpha$ 内的所有点中，若点 $P$ 到 $P_1$，$P_2$，$\cdots$，$P_n$ 点的距离之和最小，则称点 $P$ 为 $P_1$，$P_2$，$\cdots$，$P_n$ 点的一个“中位点”. 例如，线段 $AB$ 上的任意点都是端点 $A$，$B$ 的中位点. 则有下列命题：

① 若三个点 $A$，$B$，$C$ 共线，$C$ 在线段 $AB$ 上，则 $C$ 是 $A$，$B$，$C$ 的中位点； ② 直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点； ③ 若四个点 $A$，$B$，$C$，$D$ 共线，则它们的中位点存在且唯一； ④ 梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点.

其中的真命题是______.（写出所有真命题的序号）

设 $V$ 是已知平面 $M$ 上所有向量的集合. 对于映射 $f: V \to V$，$\boldsymbol{a} \in V$，记 $\boldsymbol{a}$ 的象为 $f(\boldsymbol{a})$. 若映射 $f: V \to V$ 满足：对所有 $\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b} \in V$ 及任意实数 $\lambda$，$\mu$ 都有 $f(\lambda\boldsymbol{a} + \mu\boldsymbol{b}) = \lambda f(\boldsymbol{a}) + \mu f(\boldsymbol{b})$，则 $f$ 称为平面 $M$ 上的线性变换. 现有下列命题：

① 设 $f$ 是平面 $M$ 上的线性变换，则 $f(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}) = f(\boldsymbol{a}) + f(\boldsymbol{b})$； ② 若 $\boldsymbol{e}$ 是平面 $M$ 上的单位向量，对 $\boldsymbol{a} \in V$，设 $f(\boldsymbol{a}) = \boldsymbol{a} + \boldsymbol{e}$，则 $f$ 是平面 $M$ 上的线性变换； ③ 对 $\boldsymbol{a} \in V$，设 $f(\boldsymbol{a}) = -\boldsymbol{a}$，则 $f$ 是平面 $M$ 上的线性变换； ④ 设 $f$ 是平面 $M$ 上的线性变换，$\boldsymbol{a} \in V$，则对任意实数 $k$ 均有 $f(k\boldsymbol{a}) = kf(\boldsymbol{a})$.

其中真命题是______.（写出所有真命题的序号）

已知 $F_{1}$，$F_{2}$ 分别是椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 的左，右焦点.

(1) 若 $P$ 是第一象限内该椭圆上的一点，且 $\overrightarrow{PF_{1}} \cdot \overrightarrow{PF_{2}} = -\frac{5}{4}$，求点 $P$ 的坐标； (2) 设过定点 $M(0,2)$ 的直线 $l$ 与椭圆交于不同的两点 $A$，$B$，且 $\angle AOB$ 为锐角（其中 $O$ 为坐标原点），求直线 $l$ 的斜率 $k$ 的取值范围.