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14平面向量★★★★☆
已知 ∣a∣=a⋅b=1|\boldsymbol{a}|=\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b}=1，∣b∣>1|\boldsymbol{b}|>1，记 c=λa+μb\boldsymbol{c}=\lambda \boldsymbol{a}+\mu \boldsymbol{b}. 当 a+b−c=0\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c}=0 时，λ+μ=‾\lambda+\mu=\underline{\hspace{2em}}；当 ∣a+b−c∣=1|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c}|=1 时，λ+μ\lambda+\mu 的取值范围为______.

2026 · 天津 · 第 14 题 · 填空题

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18解析几何★★★★☆
已知椭圆 x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0）的离心率 e=12e=\frac12. 左顶点为 AA，下顶点为 BB，CC 是线段 OBOB 的中点，其中 S△ABC=332S_{\triangle ABC}=\frac{3\sqrt3}{2}.
(1) 求椭圆方程； (2) 过点 (0,−32)\left(0,-\frac32\right) 的动直线与椭圆有两个交点 PP，QQ. 在 yy 轴上是否存在点 TT 使得 TP→⋅TQ→≤0\overrightarrow{TP}\cdot \overrightarrow{TQ}\le 0？若存在，求出这个 TT 点纵坐标的取值范围；若不存在，请说明理由.

2024 · 天津 · 第 18 题 · 解答题

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14平面向量★★★★☆
在 △ABC\triangle ABC 中，∠A=60∘\angle A=60^\circ，BC=1BC=1，点 DD 为 ABAB 的中点，点 EE 为 CDCD 的中点. 若设 AB→=a\overrightarrow{AB}=\boldsymbol{a}，AC→=b\overrightarrow{AC}=\boldsymbol{b}，则 AE→\overrightarrow{AE} 可用 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 表示为______；若 BF→=13BC→\overrightarrow{BF}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BC}，则 AE→⋅AF→\overrightarrow{AE}\cdot \overrightarrow{AF} 的最大值为______.

2023 · 天津 · 第 14 题 · 填空题

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14平面向量★★★★☆
在 △ABC\triangle ABC 中，点 DD 为 ACAC 的中点，点 EE 满足 CB→=2BE→\overrightarrow{CB}=2\overrightarrow{BE}. 记 CA→=a\overrightarrow{CA}=\boldsymbol{a}，CB→=b\overrightarrow{CB}=\boldsymbol{b}，用 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 表示 DE→=\overrightarrow{DE}=______；若 AB→⊥DE→\overrightarrow{AB}\perp\overrightarrow{DE}，则 ∠ACB\angle ACB 的最大值为______.

2022 · 天津 · 第 14 题 · 填空题

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14平面向量★★★★☆
在等腰梯形 ABCDABCD 中，已知 AB∥DCAB \parallel DC，AB=2AB = 2，BC=1BC = 1，∠ABC=60∘\angle ABC = 60^\circ. 动点 EE 和 FF 分别在线段 BCBC 和 DCDC 上，且 BE→=λBC→\overrightarrow{BE} = \lambda \overrightarrow{BC}，DF→=19λDC→\overrightarrow{DF} = \frac{1}{9\lambda}\overrightarrow{DC}，则 AE→⋅AF→\overrightarrow{AE} \cdot \overrightarrow{AF} 的最小值为______.

2015 · 天津 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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08平面向量★★★★☆
已知菱形 ABCDABCD 的边长为 22，∠BAD=120∘\angle BAD = 120^{\circ}，点 EE，FF 分别在边 BCBC，DCDC 上，BE→=λBC→\overrightarrow{BE} = \lambda\overrightarrow{BC}，DF→=μDC→\overrightarrow{DF} = \mu\overrightarrow{DC}，若 AE→⋅AF→=1\overrightarrow{AE} \cdot \overrightarrow{AF} = 1，CE→⋅CF→=−23\overrightarrow{CE} \cdot \overrightarrow{CF} = -\frac{2}{3}，则 λ+μ=\lambda + \mu =（ ）
A.
12\frac{1}{2}
B.
23\frac{2}{3}
C.
56\frac{5}{6}
D.
712\frac{7}{12}

2014 · 天津 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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14平面向量★★★★☆
已知直角梯形 ABCDABCD 中，AD∥BCAD \parallel BC，∠ADC=90∘\angle ADC = 90^{\circ}，AD=2AD = 2，BC=1BC = 1，PP 是腰 DCDC 上的动点，则 ∣PA→+3PB→∣\left|\overrightarrow{PA} + 3\overrightarrow{PB}\right| 的最小值为______. \begin{answer} 55 \end{answer}
\begin{solution} 建立直角坐标系，令 D=(0,0)D=(0,0)，C=(0,h)C=(0,h)，A=(2,0)A=(2,0)，B=(1,h)B=(1,h) 其中 h>0h>0. 设
Q=A+3B4=(54,3h4)Q=\frac{A+3B}{4} =\left(\frac54,\frac{3h}{4}\right)
对任意 P∈DCP\in DC，
PA→+3PB→=(A−P)+3(B−P)=4(Q−P)\overrightarrow{PA}+3\overrightarrow{PB} =(A-P)+3(B-P) =4(Q-P)
点 QQ 到直线 DCDC 的垂足为 (0,3h4)(0,3\frac{h}{4})，属于线段 DCDC，所以 PQPQ 的最小值为 54\frac{5}{4}. 因而
min⁡∣PA→+3PB→∣=4min⁡PQ=4⋅54=5\min\left|\overrightarrow{PA}+3\overrightarrow{PB}\right| =4\min PQ=4\cdot\frac54=5
\end{solution}

2011 · 天津 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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15平面向量★★★★☆
在四边形 ABCDABCD 中，AB→=DC→=(1,1)\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} = (1,1)，1∣BA→∣BA→+1∣BC→∣BC→=3∣BD→∣BD→\frac{1}{|\overrightarrow{BA}|} \overrightarrow{BA} + \frac{1}{|\overrightarrow{BC}|} \overrightarrow{BC} = \frac{\sqrt{3}}{|\overrightarrow{BD}|} \overrightarrow{BD}，则四边形 ABCDABCD 的面积为______.

2009 · 天津 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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10平面向量★★★★☆
设两个向量 a=(λ+2,λ2−cos⁡2α)\boldsymbol{a} = (\lambda + 2, \lambda^2 - \cos^2 \alpha) 和 b=(m,m2+sin⁡α)\boldsymbol{b} = \left(m, \dfrac{m}{2} + \sin \alpha\right)，其中 λ\lambda，mm，α\alpha 为实数. 若 a=2b\boldsymbol{a} = 2\boldsymbol{b}，则 λm\dfrac{\lambda}{m} 的取值范围是（ ）
A.
[−6,1][-6, 1]
B.
[4,8][4, 8]
C.
(−∞,1](-\infty, 1]
D.
[−1,6][-1, 6]

2007 · 天津 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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22解析几何★★★★☆
如图，以椭圆 x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0）的中心 OO 为圆心，分别以 aa 和 bb 为半径作大圆和小圆. 过椭圆右焦点 F(c,0)F(c,0)（c>bc>b）作垂直于 xx 轴的直线交大圆于第一象限内的点 AA. 连结 OAOA 交小圆于点 BB. 设直线 BFBF 是小圆的切线.
(1) 证明 c2=abc^2=ab，并求直线 BFBF 与 yy 轴的交点 MM 的坐标； (2) 设直线 BFBF 交椭圆于 PP，QQ 两点，证明：OP→⋅OQ→=12b2\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OQ}=\frac{1}{2}b^2.

2006 · 天津 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★☆
某人在一山坡 PP 处观看对面山顶上的一座铁塔，如图所示，塔高 BC=80 米BC=80\text{ 米}，塔所在的山高 OB=220 米OB=220\text{ 米}，OA=200 米OA=200\text{ 米}. 图中所示的山坡可视为直线 ll 且点 PP 在直线 ll 上，ll 与水平地面的夹角为 α\alpha，tan⁡α=12\tan\alpha=\dfrac12. 试问此人距水平地面多高时，观看塔的视角 ∠BPC\angle BPC 最大？（不计此人的身高）

2005 · 天津 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21解析几何★★★★☆
抛物线 CC 的方程为 y=ax2y=ax^2（a<0a<0），过抛物线 CC 上一点 P(x0,y0)P(x_0,y_0)（x0≠0x_0\ne0）作斜率为 k1k_1，k2k_2 的两条直线分别交抛物线 CC 于 A(x1,y1)A(x_1,y_1)，B(x2,y2)B(x_2,y_2) 两点（PP，AA，BB 三点互不相同）， 且满足 k2+λk1=0k_2+\lambda k_1=0（λ≠0\lambda\ne0，λ≠−1\lambda\ne-1）.
(1) 求抛物线 CC 的焦点坐标和准线方程； (2) 设直线 ABAB 上一点 MM，满足 BM→=λMA→\overrightarrow{BM}=\lambda\overrightarrow{MA}， 证明线段 PMPM 的中点在 yy 轴上； (3) 当 λ=1\lambda=1 时，若点 PP 的坐标为 (1,−1)(1,-1)，求 ∠PAB\angle PAB 为钝角时点 AA 的纵坐标 y1y_1 的取值范围.

2005 · 天津 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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21三角函数★★★★☆
某人在一山坡 PP 处观看对面山顶上的一座铁塔，如图所示，塔高 BC=80 mBC = 80\mathrm{~m}，塔所在的山高 OB=220 mOB = 220\mathrm{~m}，OA=200 mOA = 200\mathrm{~m}. 图中所示的山坡可视为直线 ll 且点 PP 在直线 ll 上，ll 与水平地面的夹角为 α\alpha，tan⁡α=12\tan \alpha = \frac{1}{2}. 试问此人距水平地面多高时，观看塔的视角 ∠BPC\angle BPC 最大？ （不计此人的身高）

2005 · 天津 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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23解析几何★★★★☆
抛物线 CC 的方程为 y=ax2y = ax^{2}（a<0a < 0），过抛物线 CC 上一点 P(x0,y0)P(x_{0}, y_{0})（x0≠0x_{0} \neq 0）作斜率为 k1k_{1}，k2k_{2} 的两条直线分别交抛物线 CC 于 A(x1,y1)A(x_{1}, y_{1})，B(x2,y2)B(x_{2}, y_{2}) 两点（PP，AA，BB 三点互不相同），且满足 k2+λk1=0k_{2} + \lambda k_{1} = 0（λ≠0\lambda \neq 0，λ≠−1\lambda \neq -1）.
(1) 求抛物线 CC 的焦点坐标和准线方程； (2) 设直线 ABAB 上一点 MM，满足 BM→=λMA→\overrightarrow{BM} = \lambda \overrightarrow{MA}，证明线段 PMPM 的中点在 yy 轴上； (3) 当 λ=1\lambda = 1 时，若点 PP 的坐标为 (1,−1)(1, -1)，求 ∠PAB\angle PAB 为钝角时点 AA 的纵坐标 y1y_{1} 的取值范围.

2005 · 天津 · 文 · 第 23 题 · 解答题

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