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1615分三角函数★★★★☆
已知在 △ABC\triangle ABC 中，AB=3AB=3，BC=23BC=2\sqrt{3}，cos⁡B=33\cos B=\dfrac{\sqrt{3}}{3}.
(1) 求 cos⁡A\cos A； (2) 设 DD，EE 两点满足：DD 在 BABA 的延长线上，DE//BCDE // BC，AE⊥ACAE\perp AC. 若 DE=6DE=\sqrt{6}，求 CECE．

2026 · 全国 · 一卷 · 第 16 题 · 解答题

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17平面向量★★★★☆
已知平面向量 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b}，c\boldsymbol{c}（c≠0\boldsymbol{c}\ne\boldsymbol{0}） 满足 ∣a∣=1|\boldsymbol{a}|=1，∣b∣=2|\boldsymbol{b}|=2，a⋅b=0\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=0 且 (a−b)⋅c=0(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})\cdot\boldsymbol{c}=0. 记向量 d\boldsymbol{d} 在 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 方向上的投影分别为 xx，yy， d−a\boldsymbol{d}-\boldsymbol{a} 在 c\boldsymbol{c} 方向上的投影为 zz，则 x2+y2+z2x^2+y^2+z^2 的最小值为 ‾\underline{\hspace{2em}}.

2021 · 浙江 · 第 17 题 · 填空题

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17平面向量★★★★☆
设 e1\boldsymbol{e}_1，e2\boldsymbol{e}_2 为单位向量，满足 ∣2e1−e2∣≤2|2\boldsymbol{e}_1-\boldsymbol{e}_2|\le\sqrt2，a=e1+e2\boldsymbol{a}=\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2，b=3e1+e2\boldsymbol{b}=3\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2，设 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 的夹角为 θ\theta，则 cos⁡2θ\cos^2\theta 的最小值为______.

2020 · 浙江 · 第 17 题 · 填空题

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17平面向量★★★★☆
已知正方形 ABCDABCD 的边长为 11. 当每个 λi\lambda_i（i=1i=1，22，33，44，55，66）都取 ±1\pm1 时，∣λ1AB→+λ2BC→+λ3CD→+λ4DA→+λ5AC→+λ6BD→∣\left|\lambda_1\overrightarrow{AB}+\allowbreak\lambda_2\overrightarrow{BC}+\allowbreak\lambda_3\overrightarrow{CD}+\allowbreak\lambda_4\overrightarrow{DA}+\allowbreak\lambda_5\overrightarrow{AC}+\allowbreak\lambda_6\overrightarrow{BD}\right| 的最小值是______；最大值是______.

2019 · 浙江 · 第 17 题 · 填空题

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09平面向量★★★★☆
已知 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b}，e\boldsymbol{e} 是平面向量，e\boldsymbol{e} 是单位向量. 若非零向量 a\boldsymbol{a} 与 e\boldsymbol{e} 的夹角为 π3\dfrac{\pi}{3}，向量 b\boldsymbol{b} 满足 ∥b∥2−4e⋅b+3=0\lVert\boldsymbol{b}\rVert^2-4\boldsymbol{e}\cdot\boldsymbol{b}+3=0，则 ∥a−b∥\lVert\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}\rVert 的最小值是（ ）
A.
3−1\sqrt3-1
B.
3+1\sqrt3+1
C.
22
D.
2−32-\sqrt3

2018 · 浙江 · 第 9 题 · 选择题

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17解析几何★★★★☆
已知点 P(0,1)P(0,1)，椭圆 x24+y2=m\dfrac{x^2}{4}+y^2=m（m>1m>1）上两点 AA，BB 满足 AP→=2PB→\overrightarrow{AP}=2\overrightarrow{PB}，则当 m=m=______ 时，点 BB 横坐标的绝对值最大.

2018 · 浙江 · 第 17 题 · 填空题

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10平面向量★★★★☆
如图，已知平面四边形 ABCDABCD，AB⊥BCAB\perp BC，AB=BC=AD=2AB=BC=AD=2，CD=3CD=3，ACAC 与 BDBD 交于点 OO，记 I1=OA→⋅OB→I_1=\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}，I2=OB→⋅OC→I_2=\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OC}，I3=OC→⋅OD→I_3=\overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{OD}，则（ ）
A.
I1<I2<I3I_1<I_2<I_3
B.
I1<I3<I2I_1<I_3<I_2
C.
I3<I1<I2I_3<I_1<I_2
D.
I2<I1<I3I_2<I_1<I_3

2017 · 浙江 · 第 10 题 · 选择题

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08数列★★★★☆
如图，点列 {An}\{A_n\}，{Bn}\{B_n\} 分别在某锐角的两边上，且 ∣AnAn+1∣=∣An+1An+2∣|A_nA_{n+1}|=|A_{n+1}A_{n+2}|，An≠An+2A_n\ne A_{n+2}，n∈N∗n\in\mathbf{N}^*，∣BnBn+1∣=∣Bn+1Bn+2∣|B_nB_{n+1}|=|B_{n+1}B_{n+2}|，Bn≠Bn+2B_n\ne B_{n+2}，n∈N∗n\in\mathbf{N}^*（P≠QP\ne Q 表示点 PP 与点 QQ 不重合）. 若 dn=∣AnBn∣d_n=|A_nB_n|，SnS_n 为 △AnBnBn+1\triangle A_nB_nB_{n+1} 的面积，则（ ）
A.
{Sn}\{S_n\} 是等差数列
B.
{Sn2}\{S_n^2\} 是等差数列
C.
{dn}\{d_n\} 是等差数列
D.
{dn2}\{d_n^2\} 是等差数列

2016 · 浙江 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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15平面向量★★★★☆
已知平面向量 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b}，∣a∣=1|\boldsymbol{a}|=1，∣b∣=2|\boldsymbol{b}|=2，a⋅b=1\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=1，若 e\boldsymbol{e} 为平面单位向量，则 ∣a⋅e∣+∣b⋅e∣|\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{e}|+|\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{e}| 的最大值是______.

2016 · 浙江 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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08平面向量★★★★☆
记
max⁡{x,y}={x,x⩾y,y,x<y,\max\{x, y\} = \begin{cases} x, & x \geqslant y,\\ y, & x < y, \end{cases}
min⁡{x,y}={y,x⩾y,x,x<y,\min\{x, y\} = \begin{cases} y, & x \geqslant y,\\ x, & x < y, \end{cases}
设 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 为平面向量，则（ ）
A.
min⁡{∣a+b∣,∣a−b∣}⩽min⁡{∣a∣,∣b∣}\min \left\{\left|\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}\right|, \left|\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}\right|\right\} \leqslant \min \left\{\left|\boldsymbol{a}\right|, \left|\boldsymbol{b}\right|\right\}
B.
min⁡{∣a+b∣,∣a−b∣}⩾min⁡{∣a∣,∣b∣}\min \left\{\left|\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}\right|, \left|\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}\right|\right\} \geqslant \min \left\{\left|\boldsymbol{a}\right|, \left|\boldsymbol{b}\right|\right\}
C.
max⁡{∣a+b∣2,∣a−b∣2}⩽∣a∣2+∣b∣2\max \left\{\left|\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}\right|^2, \left|\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}\right|^2\right\} \leqslant \left|\boldsymbol{a}\right|^2 + \left|\boldsymbol{b}\right|^2
D.
max⁡{∣a+b∣2,∣a−b∣2}⩾∣a∣2+∣b∣2\max \left\{\left|\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}\right|^2, \left|\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}\right|^2\right\} \geqslant \left|\boldsymbol{a}\right|^2 + \left|\boldsymbol{b}\right|^2

2014 · 浙江 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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09平面向量★★★★☆
设 θ\theta 为两个非零向量 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 的夹角. 已知对任意实数 tt，∣b+ta∣|\boldsymbol{b} + t\boldsymbol{a}| 的最小值为 11. 则（ ）
A.
若 θ\theta 确定，则 ∣a∣|\boldsymbol{a}| 唯一确定
B.
若 θ\theta 确定，则 ∣b∣|\boldsymbol{b}| 唯一确定
C.
若 ∣a∣|\boldsymbol{a}| 确定，则 θ\theta 唯一确定
D.
若 ∣b∣|\boldsymbol{b}| 确定，则 θ\theta 唯一确定

2014 · 浙江 · 文 · 第 9 题 · 选择题

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17平面向量★★★★☆
设 e1\boldsymbol{e}_1，e2\boldsymbol{e}_2 为单位向量，非零向量 b=xe1+ye2\boldsymbol{b} = x\boldsymbol{e}_1 + y\boldsymbol{e}_2，xx，y∈Ry \in \mathbf{R}. 若 e1\boldsymbol{e}_1，e2\boldsymbol{e}_2 的夹角为 π6\frac{\pi}{6}，则 ∣x∣∣b∣\frac{|x|}{|\boldsymbol{b}|} 的最大值等于______.

2013 · 浙江 · 文 · 第 17 题 · 填空题

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16平面向量★★★★☆
已知平面向量 α\alpha，β\beta（α≠0\alpha \neq 0，α≠β\alpha \neq \beta）满足 ∣β∣=1|\beta| = 1，且 α\alpha 与 β−α\beta - \alpha 的夹角为 120∘120^{\circ}，则 ∣α∣|\alpha| 的取值范围是______. \begin{answer} (0,233]\left(0,\frac{2\sqrt{3}}{3}\right] \end{answer}
\begin{solution} 设 r=∣α∣>0r=|\alpha|>0，s=∣β−α∣>0s=|\beta-\alpha|>0. 由向量的夹角条件，
α⋅(β−α)=rscos⁡120∘=−rs2\alpha\cdot(\beta-\alpha)=rs\cos120^{\circ}=-\frac{rs}{2}
又 β=α+(β−α)\beta=\alpha+(\beta-\alpha)，且 ∣β∣=1|\beta|=1，所以
1=∣β∣2=r2+s2+2α⋅(β−α)=r2+s2−rs1=|\beta|^2=r^2+s^2+2\alpha\cdot(\beta-\alpha)=r^2+s^2-rs
这是关于 ss 的方程
s2−rs+r2−1=0s^2-rs+r^2-1=0
要有实数 ss，必须
r2−4(r2−1)=4−3r2⩾0r^2-4(r^2-1)=4-3r^2\geqslant0
即 0<r⩽2330<r\leqslant\frac{2\sqrt3}{3}. 反之，在此范围内取
s=r+4−3r22>0s=\frac{r+\sqrt{4-3r^2}}{2}>0
即可构成夹角为 120∘120^{\circ} 且 ∣β∣=1|\beta|=1 的两个向量，因此所有这些 rr 都能取到. 故填
(0,233]\left(0,\frac{2\sqrt3}{3}\right]
\end{solution}

2010 · 浙江 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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17平面向量★★★★☆
在平行四边形 ABCDABCD 中，OO 是 ACAC 与 BDBD 的交点，PP，QQ，MM，NN 分别是线段 OAOA，OBOB，OCOC，ODOD 的中点. 在 AA，PP，MM，CC 中任取一点记为 EE，在 BB，QQ，NN，DD 中任取一点记为 FF. 设 GG 为满足向量 OG→=OE→+OF→\overrightarrow{OG} = \overrightarrow{OE} + \overrightarrow{OF} 的点，则在上述的点 GG 组成的集合中的点，落在平行四边形 ABCDABCD 外（不含边界）的概率为______.
\begin{answer} 34\frac{3}{4} \end{answer}
\begin{solution} 以 OO 为原点，设 OA→=a\overrightarrow{OA}=\boldsymbol{a}， OB→=b\overrightarrow{OB}=\boldsymbol{b}. 由于平行四边形的对角线互相平分， OC→=−a\overrightarrow{OC}=-\boldsymbol{a}，OD→=−b\overrightarrow{OD}=-\boldsymbol{b}. 所以 EE 对应的系数只能是 11，12\frac12，−12-\frac12，−1-1，即 OE→=sa\overrightarrow{OE}=s\boldsymbol{a}，其中 s∈{1,12,−12,−1}s\in\left\{1,\frac12,-\frac12,-1\right\}. 同理 OF→=tb\overrightarrow{OF}=t\boldsymbol{b}，其中 t∈{1,12,−12,−1}t\in\left\{1,\frac12,-\frac12,-1\right\}. 因而
OG→=sa+tb\overrightarrow{OG}=s\boldsymbol{a}+t\boldsymbol{b}
在基底 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 下，平行四边形 ABCDABCD 的四个顶点为 (1,0)(1,0)，(0,1)(0,1)，(−1,0)(-1,0)，(0,−1)(0,-1)，其内部及边界为 ∣s∣+∣t∣⩽1|s|+|t|\leqslant1. 当且仅当 ∣s∣=∣t∣=12|s|=|t|=\frac12 时，∣s∣+∣t∣=1|s|+|t|=1，对应 2×2=42\times2=4 个选择，所得点在边界上，不计入外部. 其余 16−4=1216-4=12 个选择满足 ∣s∣+∣t∣>1|s|+|t|>1，所得点在平行四边形外部.
因此所求概率为
1216=34\frac{12}{16}=\frac34
\end{solution}

2010 · 浙江 · 文 · 第 17 题 · 填空题

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07平面向量★★★★☆
设向量 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 满足：∣a∣=3|\boldsymbol{a}|=3，∣b∣=4|\boldsymbol{b}|=4，a⋅b=0\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=0. 以 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b}，a−b\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b} 的模为边长构成三角形，则它的边与半径为 11 的圆的公共点个数最多为（ ）
A.
33
B.
44
C.
55
D.
66

2009 · 浙江 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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16立体几何初步★★★★☆
已知点 OO 在二面角 α−AB−β\alpha-AB-\beta 的棱上，点 PP 在 α\alpha 内，且 ∠POB=45∘\angle POB = 45^{\circ}. 若对于 β\beta 内异于 OO 的任意一点 QQ，都有 ∠POQ⩾45∘\angle POQ \geqslant 45^{\circ}，则二面角 α−AB−β\alpha-AB-\beta 的大小是______. \begin{answer} 90∘90^{\circ} \end{answer}
\begin{solution} 设 θ\theta 为二面角的大小，取沿 OBOB 的单位向量为 e1\boldsymbol{e}_1，取平面 α\alpha 内垂直于 ABAB 且指向 PP 的单位向量为 e2\boldsymbol{e}_2，再取平面 β\beta 内垂直于 ABAB 的单位向量为 e3\boldsymbol{e}_3. 则 e1⊥e2\boldsymbol{e}_1\perp\boldsymbol{e}_2，e1⊥e3\boldsymbol{e}_1\perp\boldsymbol{e}_3，e2⋅e3=cos⁡θ\boldsymbol{e}_2\cdot\boldsymbol{e}_3=\cos\theta. 由 ∠POB=45∘\angle POB=45^{\circ}，设 OP=rOP=r，则
OP→=r2e1+r2e2\overrightarrow{OP}=\frac r{\sqrt2}\boldsymbol{e}_1+\frac r{\sqrt2}\boldsymbol{e}_2
平面 β\beta 内任意向量都可以写成 se1+te3s\boldsymbol{e}_1+t\boldsymbol{e}_3. 因此，OP→\overrightarrow{OP} 在平面 β\beta 上的投影长度为
∣proj⁡βOP→∣=(r2)2+(r2cos⁡θ)2=r1+cos⁡2θ2\left\lvert\operatorname{proj}_{\beta}\overrightarrow{OP}\right\rvert =\sqrt{\left(\frac r{\sqrt2}\right)^2+\left(\frac r{\sqrt2}\cos\theta\right)^2} =r\sqrt{\frac{1+\cos^2\theta}{2}}
所以 OP→\overrightarrow{OP} 与平面 β\beta 内非零向量的夹角的最小值 φ\varphi 满足
cos⁡φ=1+cos⁡2θ2\cos\varphi=\sqrt{\frac{1+\cos^2\theta}{2}}
题设对任意 Q∈βQ\in\beta 且 Q≠OQ\ne O 都有 ∠POQ⩾45∘\angle POQ\geqslant45^{\circ}，故 φ⩾45∘\varphi\geqslant45^{\circ}，从而
1+cos⁡2θ2⩽12\sqrt{\frac{1+\cos^2\theta}{2}}\leqslant\frac1{\sqrt2}
于是 cos⁡2θ=0\cos^2\theta=0，所以 θ=90∘\theta=90^{\circ}. \end{solution}

2007 · 浙江 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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19解析几何★★★★☆
如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点 F1F_{1}，F2F_{2} 在 xx 轴上，长轴 A1A2A_{1}A_{2} 的长为 4，左准线 ll 与 xx 轴的交点为 MM，∣MA1∣:∣A1F1∣=2:1|MA_{1}|: |A_{1}F_{1}| = 2: 1.
(1) 求椭圆的方程； (2) 若点 PP 为 ll 上的动点，求 ∠F1PF2\angle F_1PF_2 的最大值.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 设椭圆的半长轴为 aa，半焦距为 cc，半短轴为 bb，则 2a=42a=4，a2=b2+c2a^2=b^2+c^2，所以 a=2a=2. 左准线方程为 x=−a2c=−4cx=-\frac{a^2}{c}=-\frac{4}{c}，故 M(−4c,0)M\left(-\frac{4}{c},0\right)，A1(−2,0)A_{1}(-2,0)，F1(−c,0)F_{1}(-c,0). 由题意，0<c<20<c<2，且 ∣MA1∣∣A1F1∣=4c−22−c=2\frac{|MA_{1}|}{|A_{1}F_{1}|}=\frac{\frac{4}{c}-2}{2-c}=2. 化简得 2(2−c)c(2−c)=2\frac{2(2-c)}{c(2-c)}=2，所以 c=1c=1. 于是 b2=a2−c2=4−1=3b^2=a^2-c^2=4-1=3，椭圆的方程为 x24+y23=1\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1.
\item 由第（1）问，F1(−1,0)F_{1}(-1,0)，F2(1,0)F_{2}(1,0)，且直线 ll 的方程为 x=−4x=-4. 设动点 P(−4,t)P\left(-4,t\right)，令 u=∣t∣u=|t|. 此时 PF1→=(3,−t)\overrightarrow{PF_{1}}=(3,-t)，PF2→=(5,−t)\overrightarrow{PF_{2}}=(5,-t)，两向量的数量积为 t2+15>0t^2+15>0，故 θ=∠F1PF2\theta=\angle F_{1}PF_{2} 为锐角，并且
tan⁡θ=∣3(−t)−(−t)5∣3⋅5+(−t)(−t)=2uu2+15\tan\theta=\frac{\left|3(-t)-(-t)5\right|}{3\cdot5+(-t)(-t)}=\frac{2u}{u^2+15}
由基本不等式 u2+15⩾215 uu^2+15\geqslant2\sqrt{15}\,u，得 tan⁡θ=2uu2+15⩽115\tan\theta=\frac{2u}{u^2+15}\leqslant\frac{1}{\sqrt{15}}. 当且仅当 u=15u=\sqrt{15}，即 P(−4,15)P\left(-4,\sqrt{15}\right) 或 P(−4,−15)P\left(-4,-\sqrt{15}\right) 时等号成立. 因为 θ\theta 为锐角，所以其最大值为 arctan⁡115\arctan\frac{1}{\sqrt{15}}. \end{enumerate} \end{solution}

2005 · 浙江 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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