已知 $O$ 为坐标原点，过抛物线 $C:y^2=2px$（$p>0$）焦点 $F$ 的直线与 $C$ 交于 $A$，$B$ 两点，其中 $A$ 在第一象限，点 $M(p,0)$. 若 $|AF|=|AM|$，则（ ）

在平面上，$\overrightarrow{AB_1} \perp \overrightarrow{AB_2}$，$|\overrightarrow{OB_1}| = |\overrightarrow{OB_2}| = 1$，$\overrightarrow{AP} = \overrightarrow{AB_1} + \overrightarrow{AB_2}$. 若 $|\overrightarrow{OP}| < \frac{1}{2}$，则 $|\overrightarrow{OA}|$ 的取值范围是（ ）

\begin{answer} D \end{answer}

\begin{solution} 设 $\boldsymbol{a}=\overrightarrow{OA}$，$\boldsymbol{b}_1=\overrightarrow{OB_1}$，$\boldsymbol{b}_2=\overrightarrow{OB_2}$，$\boldsymbol{p}=\overrightarrow{OP}$. 由向量条件 得 又因为 $|\boldsymbol{b}_1|=|\boldsymbol{b}_2|=1$，且 $\overrightarrow{AB_1}\perp\overrightarrow{AB_2}$，所以 代入 $\boldsymbol{a}=\boldsymbol{b}_1+\boldsymbol{b}_2-\boldsymbol{p}$，得到 记 $q=|\boldsymbol{p}|=|\overrightarrow{OP}|$，$d=\boldsymbol{b}_1\cdot\boldsymbol{b}_2$，则 因此 由 $0\leqslant q<\frac12$，可得 当 $q=0$ 时取到右端点；当 $q$ 趋近于 $\frac12$ 时左端点不取到，故选 D. 为说明区间内的值均可取到，对任意 $q\in[0,\frac12)$，取 $\boldsymbol{b}_1=(1,0)$，$\boldsymbol{b}_2=(0,1)$，$\boldsymbol{p}=\frac{q^2}{2}(1,1)+\sqrt{q^2-\frac{q^4}{2}}\frac{(1,-1)}{\sqrt2}$. 则 $|\boldsymbol{p}|=q$，且 $\boldsymbol{p}\cdot(\boldsymbol{b}_1+\boldsymbol{b}_2)=q^2$. 令 $\boldsymbol{a}=\boldsymbol{b}_1+\boldsymbol{b}_2-\boldsymbol{p}$，便有 $(\boldsymbol{p}-\boldsymbol{b}_2)\cdot(\boldsymbol{p}-\boldsymbol{b}_1)=0$，从而满足题设的垂直条件. 因此上述范围恰好可取到，故选 D. \end{solution}

如图，在四边形 $ABCD$ 中，$\left|\overrightarrow{AB}\right| + \left|\overrightarrow{BD}\right| + \left|\overrightarrow{DC}\right| = 4$，$\left|\overrightarrow{AB}\right| \cdot \left|\overrightarrow{BD}\right| + \left|\overrightarrow{BD}\right| \cdot \left|\overrightarrow{DC}\right| = 4$，$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{BD} \cdot \overrightarrow{DC} = 0$，则 $\left(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC}\right) \cdot \overrightarrow{AC}$ 的值为（ ）

已知中心在原点的双曲线 $C$ 的右焦点为 $(2,0)$，右顶点为 $(\sqrt{3},0)$.

(1) 求双曲线 $C$ 的方程； (2) 若直线 $l: y = kx + \sqrt{2}$ 与双曲线 $C$ 恒有两个不同的交点 $A$ 和 $B$，且 $\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} > 2$（其中 $O$ 为原点）. 求 $k$ 的取值范围.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 设双曲线的标准方程为 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，则右焦点横坐标为 $c=2$，右顶点横坐标为 $a=\sqrt3$. 由 $c^2=a^2+b^2$ 得 $b^2=4-3=1$，所以双曲线方程为 $\frac{x^2}{3}-y^2=1$. \item 将 $y=kx+\sqrt2$ 代入双曲线方程，得 $\left(\frac13-k^2\right)x^2-2\sqrt2kx-3=0$. 要有两个不同的交点，首先判别式 $\Delta=(-2\sqrt2k)^2-4\left(\frac13-k^2\right)(-3)=4(1-k^2)>0$，故 $|k|<1$；同时二次项系数不能为零，否则只有一个有限交点，所以 $k\ne\pm\frac{\sqrt3}{3}$. 设两交点横坐标为 $x_1$，$x_2$，由韦达定理得 $x_1+x_2=\frac{2\sqrt2k}{\frac13-k^2}$，$x_1x_2=-\frac3{\frac13-k^2}$. 由于 $y_i=kx_i+\sqrt2$，有 $\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=x_1x_2+y_1y_2=(1+k^2)x_1x_2+\sqrt2k(x_1+x_2)+2$. 代入上式化简，得到 $\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}-2=\frac{k^2-3}{\frac13-k^2}$. 在 $|k|<1$ 时分子恒为负，因此该式大于零当且仅当 $\frac13-k^2<0$，即 $|k|>\frac{\sqrt3}{3}$. 故 $k\in\left(-1,-\frac{\sqrt3}{3}\right)\cup\left(\frac{\sqrt3}{3},1\right)$. \end{enumerate} \end{solution}