如图，$A$，$B$ 是海面上位于东西方向相距 $5(3 + \sqrt{3})$ 海里的两个观测点. 现位于 $A$ 点北偏东 $45^\circ$，$B$ 点北偏西 $60^\circ$ 的 $D$ 点有一艘轮船发出求救信号，位于 $B$ 点南偏西 $60^\circ$ 且与 $B$ 点相距 $20\sqrt{3}$ 海里的 $C$ 点的救援船立即前往营救，其航行速度为 $30$ 海里/小时，该救援船到达 $D$ 点需要多长时间？

已知抛物线 $C: y = 2x^{2}$，直线 $y = kx + 2$ 交 $C$ 于 $A$，$B$ 两点. $M$ 是线段 $AB$ 的中点，过 $M$ 作 $x$ 轴的垂线交 $C$ 于点 $N$.

(1) 证明：抛物线 $C$ 在点 $N$ 处的切线与 $AB$ 平行； (2) 是否存在实数 $k$ 使 $\overrightarrow{NA} \cdot \overrightarrow{NB} = 0$. 若存在，求 $k$ 的值；若不存在，说明理由.