已知椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的离心率 $e=\frac12$. 左顶点为 $A$，下顶点为 $B$，$C$ 是线段 $OB$ 的中点，其中 $S_{\triangle ABC}=\frac{3\sqrt3}{2}$.

(1) 求椭圆方程； (2) 过点 $\left(0,-\frac32\right)$ 的动直线与椭圆有两个交点 $P$，$Q$. 在 $y$ 轴上是否存在点 $T$ 使得 $\overrightarrow{TP}\cdot \overrightarrow{TQ}\le 0$？若存在，求出这个 $T$ 点纵坐标的取值范围；若不存在，请说明理由.