已知函数 $f(x)$ 满足：当 $x>0$ 时 $f(x)=1$，当 $x=0$ 时 $f(x)=0$，当 $x<0$ 时 $f(x)=-1$. $\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$，$\boldsymbol{c}$ 分别为平面内三个不同的单位向量. 若 $f(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b})+f(\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{c})+f(\boldsymbol{c}\cdot\boldsymbol{a})=0$，则 $|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}|$ 的可取值范围是______.

在平面中，$\boldsymbol{e}_1$ 和 $\boldsymbol{e}_2$ 是互相垂直的单位向量，向量 $\boldsymbol{a}$ 满足 $|\boldsymbol{a}-4\boldsymbol{e}_1|=2$，向量 $\boldsymbol{b}$ 满足 $|\boldsymbol{b}-6\boldsymbol{e}_2|=1$，求 $\boldsymbol{b}$ 在 $\boldsymbol{a}$ 方向上的数量投影的最大值______.