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12解析几何★★★★☆
在 △ABC\triangle ABC 中，AB=3AB=3，AC=5AC=5，BC=14BC=\sqrt{14}. 已知点 AA，BB，CC 分别为椭圆 44 个顶点和 22 个焦点中的三点，则该椭圆的离心率为______.

2026 · 上海 · 第 12 题 · 填空题

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11三角函数★★★★☆
小申同学观察发现，生活中有时候影子可以完全投射在斜面上. 某斜面上有两根长为 11 米且垂直于水平面放置的杆子，与斜面的接触点分别为 AA，BB，它们在阳光的照射下呈现出影子，阳光可视为平行光，其中 AA 处杆子的影子在水平面上，长度为 0.40.4 米，BB 处杆子的影子完全在斜面上，长度为 0.450.45 米. 则斜面的坡角 θ=\theta=______（结果精确到 0.01∘0.01^\circ）.

2025 · 上海 · 第 11 题 · 填空题

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12平面向量★★★★☆
已知函数 f(x)f(x) 满足：当 x>0x>0 时 f(x)=1f(x)=1，当 x=0x=0 时 f(x)=0f(x)=0，当 x<0x<0 时 f(x)=−1f(x)=-1. a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b}，c\boldsymbol{c} 分别为平面内三个不同的单位向量. 若 f(a⋅b)+f(b⋅c)+f(c⋅a)=0f(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b})+f(\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{c})+f(\boldsymbol{c}\cdot\boldsymbol{a})=0，则 ∣a+b+c∣|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}| 的可取值范围是______.

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10计数原理与组合数学★★★★☆
已知某集合中的元素是不重复的数字组成的三位正整数，若该集合中任意两个数的积均为偶数，则该集合的元素个数的最大值为______.

2024 · 上海 · 第 10 题 · 填空题

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11三角函数★★★★☆
海上有灯塔 OO，AA，BB 和船只 TT，AA 在 OO 的正东方向，BB 在 OO 的正北方向，OA=OBOA=OB，OO，AA，TT，BB 按逆时针排列. 若 ∠ATO=37∘\angle ATO=37^\circ，∠BTO=16.5∘\angle BTO=16.5^\circ，则 ∠BOT=\angle BOT=______（精确到 0.1∘0.1^\circ）.

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11导数及其应用★★★★☆
某公园欲建设一段斜坡，斜坡面是一平面，坡面与水平地面所成角为 θ\theta，坡顶距离水平地面的垂直高度为 44 米，游客从坡底沿着斜坡面向上直行，每走 11 米消耗的体力为 1.025−cos⁡θ1.025-\cos\theta，当 θ=‾\theta=\underline{\hspace{2em}} 时，游客走斜坡所消耗的总体力最小.

2023 · 上海 · 第 11 题 · 填空题

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12函数与初等函数★★★★☆
设函数 y=f(x)y=f(x)，定义域为 [0,+∞)[0,+\infty)，值域为 AA，且对定义域中任意实数 xx 都成立 f(x)=f(1x+1)f(x)=f\left(\frac1{x+1}\right). 若 {y∣y=f(x),x∈[0,a]}=A\{y\mid y=f(x),x\in[0,a]\}=A，则实数 aa 的取值范围是______.

2022 · 上海 · 第 12 题 · 填空题

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12数列★★★★☆
已知 ai∈N∗a_i\in \mathbf{N}^*（i=1i=1，22，…\dots，99），对任意的 k∈N∗k\in \mathbf{N}^*（2≤k≤82\le k\le 8），ak=ak−1+1a_k=a_{k-1}+1 或 ak=ak+1−1a_k=a_{k+1}-1 中有且仅有一个成立，a1=6a_1=6，a9=9a_9=9，则 a1+⋯+a9a_1+\cdots+a_9 的最小值为______.

2021 · 上海 · 第 12 题 · 填空题

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10解析几何★★★★☆
已知椭圆 C:x24+y23=1C:\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1 的右焦点为 FF，直线 ll 经过椭圆右焦点 FF，交椭圆 CC 于 PP，QQ 两点（点 PP 在第二象限），若点 QQ 关于 xx 轴对称点为 Q′Q'，且满足 PQ⊥FQ′PQ\perp FQ'，求直线 ll 的方程是______.

2020 · 上海 · 第 10 题 · 填空题

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11函数与初等函数★★★★☆
设 a∈Ra\in\mathbf{R}，若存在定义域为 R\mathbf{R} 的函数 f(x)f(x) 同时满足下列两个条件：
(1) 对任意的 x0∈Rx_0\in\mathbf{R}，f(x0)f(x_0) 的值为 x0x_0 或 x02x_0^2； (2) 关于 xx 的方程 f(x)=af(x)=a 无实数解，
则 aa 的取值范围是______.

2020 · 上海 · 第 11 题 · 填空题

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12平面向量★★★★☆
已知 a1\boldsymbol{a}_1，a2\boldsymbol{a}_2，b1\boldsymbol{b}_1，b2\boldsymbol{b}_2，…\ldots，bk\boldsymbol{b}_k（k∈N∗k\in\mathbf{N}^*）是平面内两两互不相等的向量，满足 ∣a1−a2∣=1|\boldsymbol{a}_1-\boldsymbol{a}_2|=1，且 ∣ai−bj∣∈{1,2}|\boldsymbol{a}_i-\boldsymbol{b}_j|\in\{1,2\}（其中 i=1i=1，22，j=1j=1，22，…\ldots，kk），则 kk 的最大值是______.

2020 · 上海 · 第 12 题 · 填空题

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11解析几何★★★★☆
已知数列 {an}\{a_n\} 满足 an<an+1a_n<a_{n+1}（n∈N∗n\in\mathbf{N}^*），若点 Pn(n,an)P_n(n,a_n) 在双曲线 x26−y22=1\frac{x^2}{6}-\frac{y^2}{2}=1 上，则 lim⁡n→∞∣PnPn+1∣=\displaystyle\lim_{n\to\infty}|P_nP_{n+1}|=______.

2019 · 上海 · 第 11 题 · 填空题

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12函数与初等函数★★★★☆
常数 a>0a>0，将函数 y=2xy=\frac2x（x>0x>0）的图象先向右平移 11 个单位，再向下平移 aa 个单位，然后将所得的图象在 xx 轴下方的部分沿 xx 轴向上翻折，其余部分保持不变，得到函数 f(x)=∣2x−1−a∣f(x)=\left|\frac2{x-1}-a\right|（x>1x>1）的图象 LL，当 a=a0a=a_0 时，LL 与 xx 轴交点为 AA，在 LL 上任意一点 PP（PP 异于 AA），总存在一点 QQ 使得 AP⊥AQAP\perp AQ 且 ∣AP∣=∣AQ∣|AP|=|AQ|，则 a0=a_0=______.

2019 · 上海 · 第 12 题 · 填空题

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11函数与初等函数★★★★☆
已知常数 a>0a>0，函数 f(x)=2x2x+axf(x)=\frac{2^x}{2^x+ax} 的图像经过点 P(p,65)P\left(p,\frac65\right)，Q(q,−15)Q\left(q,-\frac15\right). 若 2p+q=36pq2^{p+q}=36pq，则 a=a=______.

2018 · 上海 · 第 11 题 · 填空题

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10数列★★★★☆
已知数列 {an}\{a_n\} 和 {bn}\{b_n\}，其中 an=n2a_n=n^2，n∈N∗n\in\mathbf{N}^*，{bn}\{b_n\} 的项是互不相等的正整数. 若对于任意 n∈N∗n\in\mathbf{N}^*，{bn}\{b_n\} 的第 ana_n 项都等于 {an}\{a_n\} 的第 bnb_n 项，则 lg⁡(b1b4b9b16)lg⁡(b1b2b3b4)=‾\dfrac{\lg(b_1b_4b_9b_{16})}{\lg(b_1b_2b_3b_4)}=\underline{\hspace{2em}}.

2017 · 上海 · 第 10 题 · 填空题

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11三角函数★★★★☆
设 α1\alpha_1，α2∈R\alpha_2\in\mathbf{R}，且 12+sin⁡α1+12+sin⁡(2α2)=2\dfrac1{2+\sin\alpha_1}+\dfrac1{2+\sin(2\alpha_2)}=2，则 ∣10π−α1−α2∣\lvert10\pi-\alpha_1-\alpha_2\rvert 的最小值等于______.

2017 · 上海 · 第 11 题 · 填空题

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12解析几何★★★★☆
如图，用 3535 个单位正方形拼成一个矩形，点 P1P_1，P2P_2，P3P_3，P4P_4 以及四个标记为“▲”的点在正方形的顶点处，设集合 Ω={P1,P2,P3,P4}\Omega=\{P_1,P_2,P_3,P_4\}，点 P∈ΩP\in\Omega，过 PP 作直线 lPl_P，使得不在 lPl_P 上的“▲”的点分布在 lPl_P 的两侧. 用 D1(lP)D_1(l_P) 和 D2(lP)D_2(l_P) 分别表示 lPl_P 一侧和另一侧的“▲”的点到 lPl_P 的距离之和. 若过 PP 的直线 lPl_P 中有且只有一条满足 D1(lP)=D2(lP)D_1(l_P)=D_2(l_P)，则 Ω\Omega 中所有这样的 PP 为______.

2017 · 上海 · 第 12 题 · 填空题

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11数列★★★★☆
无穷数列 {an}\{a_n\} 由 kk 个不同的数组成，SnS_n 为 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和. 若对任意的 n∈N∗n\in\mathbf{N}^*，Sn∈{2,3}S_n\in\{2,3\}，则 kk 的最大值为______.

2016 · 上海 · 理 · 第 11 题 · 填空题

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13三角函数★★★★☆
设 aa，b∈Rb\in\mathbf{R}，c∈[0,2π)c\in[0,2\pi)，若对任意实数 xx 都有 2sin⁡ ⁣(3x−π3)=asin⁡(bx+c)2\sin\!\left(3x-\dfrac{\pi}{3}\right)=a\sin(bx+c)，则满足条件的有序实数组 (a,b,c)(a,b,c) 的组数为______.

2016 · 上海 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14数列★★★★☆
无穷数列 {an}\{a_n\} 由 kk 个不同的数组成，SnS_n 为 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和. 若对任意的 n∈N∗n\in\mathbf{N}^*，Sn∈{2,3}S_n\in\{2,3\}，则 kk 的最大值为______.

2016 · 上海 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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13三角函数★★★★☆
已知函数 f(x)=sin⁡xf(x) = \sin x. 若存在 x1x_1，x2x_2，⋯\cdots，xmx_m 满足 0⩽x1<x2<⋯<xm⩽6π0 \leqslant x_1 < x_2 < \cdots < x_m \leqslant 6\pi，且 ∣f(x1)−f(x2)∣+∣f(x2)−f(x3)∣+⋯+∣f(xm−1)−f(xm)∣=12|f(x_1) - f(x_2)| + |f(x_2) - f(x_3)| + \cdots + |f(x_{m-1}) - f(x_m)| = 12（m⩾2m \geqslant 2，m∈N∗m \in \mathbf{N}^*），则 mm 的最小值为______.

2015 · 上海 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14平面向量★★★★☆
在锐角三角形 ABCABC 中，tan⁡A=12\tan A = \frac{1}{2}，DD 为边 BCBC 上的点，△ABD\triangle ABD 与 △ACD\triangle ACD 的面积分别为 2 和 4. 过 DD 作 DE⊥ABDE \perp AB 于 EE，DF⊥ACDF \perp AC 于 FF，则 DE→⋅DF→=\overrightarrow{DE} \cdot \overrightarrow{DF} =______.

2015 · 上海 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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13平面向量★★★★☆
已知平面向量 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b}，c\boldsymbol{c} 满足 a⊥b\boldsymbol{a} \perp \boldsymbol{b}，且 {∣a∣,∣b∣,∣c∣}={1,2,3}\{|\boldsymbol{a}|, |\boldsymbol{b}|, |\boldsymbol{c}|\} = \{1, 2, 3\}，则 ∣a+b+c∣|\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b} + \boldsymbol{c}| 的最大值是______.

2015 · 上海 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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14三角函数★★★★☆
已知函数 f(x)=sin⁡xf(x) = \sin x. 若存在 x1x_1，x2x_2，…\dots，xmx_m 满足 0⩽x1<x2<⋯<xm⩽6π0 \leqslant x_1 < x_2 < \dots < x_m \leqslant 6\pi，且 ∣f(x1)−f(x2)∣+∣f(x2)−f(x3)∣+⋯+∣f(xm−1)−f(xm)∣=12|f(x_1) - f(x_2)| + |f(x_2) - f(x_3)| + \dots + |f(x_{m-1}) - f(x_m)| = 12（m⩾2m \geqslant 2，m∈N∗m \in \mathbf{N}^*），则 mm 的最小值为______.

2015 · 上海 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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12三角函数★★★★☆
设常数 aa 使方程 sin⁡x+3cos⁡x=a\sin x + \sqrt{3}\cos x = a 在区间 [0,2π][0, 2\pi] 上恰有三个解 x1x_1，x2x_2，x3x_3，则 x1+x2+x3=‾x_1 + x_2 + x_3 =\underline{\hspace{2em}}.

2014 · 上海 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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