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16立体几何初步★★★★☆
已知空间直角坐标系中有一正方体，其三组棱分别与 xx 轴，yy 轴，zz 轴重合，顶点 AA 与坐标原点重合，点 CC 是正方体底面中与 AA 相对的对角顶点，点 C1C_1 在点 CC 的正上方. 将正方体绕直线 AC1AC_1 旋转一周，点 CC 的运动轨迹会经过（ ）个空间卦限.
A.
11
B.
33
C.
44
D.
77

2026 · 上海 · 第 16 题 · 选择题

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16函数与初等函数★★★★☆
设 λ∈R\lambda\in\mathbf{R}，数列 {an}\{a_n\}，{bn}\{b_n\}，{cn}\{c_n\} 的通项分别为 an=10n−9a_n=10n-9，bn=2nb_n=2^n，cn=λan+(1−λ)bnc_n=\lambda a_n+(1-\lambda)b_n. 若对任意 λ∈[0,1]\lambda\in[0,1]，ana_n，bnb_n，cnc_n 均能作为三角形的三边长，则满足条件的正整数 nn 有（ ）
A.
1个
B.
3个
C.
4个
D.
无穷多个

2025 · 上海 · 第 16 题 · 选择题

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16函数与初等函数★★★★☆
已知函数 f(x)f(x) 的定义域为 R\mathbf{R}，定义集合 M={x0∣x0∈R, ∀x∈(−∞,x0), f(x)<f(x0)}M=\{x_0\mid x_0\in \mathbf{R},\ \forall x\in(-\infty,x_0),\ f(x)<f(x_0)\}. 在使得 M=[−1,1]M=[-1,1] 的所有 f(x)f(x) 中，下列成立的是（ ）
A.
存在 y=f(x)y=f(x) 是偶函数
B.
存在 y=f(x)y=f(x) 在 x=2x=2 处取最大值
C.
存在 y=f(x)y=f(x) 是严格增函数
D.
存在 y=f(x)y=f(x) 在 x=−1x=-1 处取到极小值

2024 · 上海 · 第 16 题 · 选择题

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16解析几何★★★★☆
对于曲线 CC，若存在点 MM，使得对任意的点 P∈CP\in C，都存在 Q∈CQ\in C，且 ∣PM∣⋅∣QM∣=1\left|PM\right|\cdot\left|QM\right|=1，则称曲线 CC 为“自相关曲线”. 有以下结论：
① 任何椭圆都是“自相关曲线”； ② 存在双曲线是“自相关曲线”. 关于上述两个结论，说法正确的是（ ）.
A.
① 成立，② 成立
B.
① 成立，② 不成立
C.
① 不成立，② 成立
D.
① 不成立，② 不成立

2023 · 上海 · 第 16 题 · 选择题

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15立体几何初步★★★★☆
如图，在正方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 中，PP，QQ，RR，SS 分别为棱 ABAB，BCBC，BB1BB_1，CDCD 的中点，连接 A1SA_1S，B1DB_1D. 对于空间任意两点 MM，NN，若线段 MNMN 上不存在也在线段 A1SA_1S，B1DB_1D 上的点，则称 MM，NN 两点“可视”，则下列选项中与点 D1D_1“可视”的点为（ ）
A.
点 PP
B.
点 BB
C.
点 RR
D.
点 QQ

2022 · 上海 · 第 15 题 · 选择题

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16解析几何★★★★☆
设 Ω={(x,y)∣(x−k)2+(y−k2)2=4∣k∣, k∈Z}\Omega=\{(x,y)\mid (x-k)^2+(y-k^2)^2=4|k|,\ k\in\mathbf{Z}\}，有结论：
① 存在直线 ll，使得 Ω\Omega 中不存在点在 ll 上，但存在点在 ll 两侧； ② 存在直线 ll，使得 Ω\Omega 中存在无数个点在 ll 上.
关于以上两个结论，正确的判断是（ ）
A.
\circled1\circled{1}成立，\circled2\circled{2}成立
B.
\circled1\circled{1}成立，\circled2\circled{2}不成立
C.
\circled1\circled{1}不成立，\circled2\circled{2}成立
D.
\circled1\circled{1}不成立，\circled2\circled{2}不成立

2022 · 上海 · 第 16 题 · 选择题

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15三角函数★★★★☆
已知 f(x)=3sin⁡x+2f(x)=3\sin x+2，对任意的 x1∈[0,π2]x_1\in\left[ 0,\frac{\pi}{2} \right]，都存在 x2∈[0,π2]x_2\in\left[ 0,\frac{\pi}{2} \right]，使得 f(x1)=2f(x2+θ)+2f(x_1)=2f(x_2+\theta)+2 成立，则下列选项中，θ\theta 可能的值是（ ）
A.
3π5\dfrac{3\pi}{5}
B.
4π5\dfrac{4\pi}{5}
C.
6π5\dfrac{6\pi}{5}
D.
7π5\dfrac{7\pi}{5}

2021 · 上海 · 第 15 题 · 选择题

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16不等式★★★★☆
已知两两不相等的 x1x_1，y1y_1，x2x_2，y2y_2，x3x_3，y3y_3，同时满足 ①x1<y1x_1<y_1，x2<y2x_2<y_2，x3<y3x_3<y_3；②x1+y1=x2+y2=x3+y3x_1+y_1=x_2+y_2=x_3+y_3；③x1y1+x3y3=2x2y2x_1y_1+x_3y_3=2x_2y_2，以下哪个选项恒成立（ ）
A.
2x2<x1+x32x_2<x_1+x_3
B.
2x2>x1+x32x_2>x_1+x_3
C.
x22<x1x3x_2^2<x_1x_3
D.
x22>x1x3x_2^2>x_1x_3

2021 · 上海 · 第 16 题 · 选择题

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16三角函数★★★★☆
已知 tan⁡α⋅tan⁡β=tan⁡(α+β)\tan\alpha\cdot\tan\beta=\tan(\alpha+\beta).
① 存在角 α\alpha 在第一象限，角 β\beta 在第三象限； ② 存在角 α\alpha 在第二象限，角 β\beta 在第四象限.
那么（ ）
A.
\circled1\circled2\circled{1}\circled{2}均正确
B.
\circled1\circled2\circled{1}\circled{2}均错误
C.
\circled1\circled{1}正确，\circled2\circled{2}错误
D.
\circled1\circled{1}错误，\circled2\circled{2}正确

2019 · 上海 · 第 16 题 · 选择题

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15立体几何初步★★★★☆
《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马. 设 AA1AA_1 是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点，以 AA1AA_1 为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（ ）
A.
44
B.
88
C.
1212
D.
1616

2018 · 上海 · 第 15 题 · 选择题

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16函数与初等函数★★★★☆
设 DD 是含数 11 的有限实数集，f(x)f(x) 是定义在 DD 上的函数. 若 f(x)f(x) 的图像绕原点逆时针旋转 π6\frac\pi6 后与原图像重合，则在以下各项中，f(1)f(1) 的可能取值只能是（ ）
A.
3\sqrt3
B.
32\frac{\sqrt3}{2}
C.
33\frac{\sqrt3}{3}
D.
00

2018 · 上海 · 第 16 题 · 选择题

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18函数与初等函数★★★★☆
设 f(x)f(x)，g(x)g(x)，h(x)h(x) 是定义域为 R\mathbf{R} 的三个函数. 对于命题：
① 若 f(x)+g(x)f(x)+g(x)，f(x)+h(x)f(x)+h(x)，g(x)+h(x)g(x)+h(x) 均为增函数，则 f(x)f(x)，g(x)g(x)，h(x)h(x) 中至少有一个为增函数； ② 若 f(x)+g(x)f(x)+g(x)，f(x)+h(x)f(x)+h(x)，g(x)+h(x)g(x)+h(x) 均是以 TT 为周期的函数，则 f(x)f(x)，g(x)g(x)，h(x)h(x) 均是以 TT 为周期的函数.
下列判断正确的是（ ）
A.
\circled1\circled{1} 和 \circled2\circled{2} 均为真命题
B.
\circled1\circled{1} 和 \circled2\circled{2} 均为假命题
C.
\circled1\circled{1} 为真命题，\circled2\circled{2} 为假命题
D.
\circled1\circled{1} 为假命题，\circled2\circled{2} 为真命题

2016 · 上海 · 理 · 第 18 题 · 选择题

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17三角函数★★★★☆
设 a∈Ra\in\mathbf{R}，b∈[0,2π)b\in[0,2\pi). 若对任意实数 xx 都有 sin⁡ ⁣(3x−π3)=sin⁡(ax+b)\sin\!\left(3x-\dfrac{\pi}{3}\right)=\sin(ax+b)，则满足条件的有序实数对 (a,b)(a,b) 的对数为（ ）
A.
11
B.
22
C.
33
D.
44

2016 · 上海 · 文 · 第 17 题 · 选择题

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18函数与初等函数★★★★☆
设 f(x)f(x)，g(x)g(x)，h(x)h(x) 是定义域为 R\mathbf{R} 的三个函数. 对于命题：
① 若 f(x)+g(x)f(x)+g(x)，f(x)+h(x)f(x)+h(x)，g(x)+h(x)g(x)+h(x) 均为增函数，则 f(x)f(x)，g(x)g(x)，h(x)h(x) 中至少有一个为增函数； ② 若 f(x)+g(x)f(x)+g(x)，f(x)+h(x)f(x)+h(x)，g(x)+h(x)g(x)+h(x) 均是以 TT 为周期的函数，则 f(x)f(x)，g(x)g(x)，h(x)h(x) 均是以 TT 为周期的函数.
则下列判断正确的是（ ）
A.
\circled1\circled{1} 和 \circled2\circled{2} 均为真命题
B.
\circled1\circled{1} 和 \circled2\circled{2} 均为假命题
C.
\circled1\circled{1} 为真命题，\circled2\circled{2} 为假命题
D.
\circled1\circled{1} 为假命题，\circled2\circled{2} 为真命题

2016 · 上海 · 文 · 第 18 题 · 选择题

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18解析几何★★★★☆
设 Pn(xn,yn)P_{n}(x_{n}, y_{n}) 是直线 2x−y=nn+12x - y = \frac{n}{n + 1}（n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}）与圆 x2+y2=2x^{2} + y^{2} = 2 在第一象限的交点，则极限 lim⁡n→∞yn−1xn−1=\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{y_{n} - 1}{x_{n} - 1} =（ ）
A.
−1-1
B.
−12-\frac{1}{2}
C.
1
D.
2

2015 · 上海 · 理 · 第 18 题 · 选择题

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18解析几何★★★★☆
设 Pn(xn,yn)P_{n}(x_{n}, y_{n}) 是直线 2x−y=nn+12x - y = \frac{n}{n + 1} （n∈N∗n \in \mathbf{N}^*）与圆 x2+y2=2x^{2} + y^{2} = 2 在第一象限的交点，则极限 lim⁡n→∞yn−1xn−1=\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{y_{n} - 1}{x_{n} - 1} =（ ）
A.
−1-1
B.
−12-\frac{1}{2}
C.
11
D.
22

2015 · 上海 · 文 · 第 18 题 · 选择题

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18解析几何★★★★☆
记椭圆 x24+ny24n+1=1\frac{x^2}{4} + \frac{ny^2}{4n + 1} = 1 围成的区域（含边界）为 Ωn\Omega_n （n=1n = 1，22，⋯\cdots），当点 (x,y)\left(x, y\right) 分别在 Ω1\Omega_1，Ω2\Omega_2，⋯\cdots 上时，x+yx + y 的最大值分别是 M1M_1，M2M_2，⋯\cdots，则 lim⁡n→∞Mn=\displaystyle\lim_{n \to \infty} M_n =（\quad）
\begin{answer} D \end{answer}
\begin{solution} 区域 Ωn\Omega_n 满足
x24+ny24n+1⩽1\frac{x^2}{4}+\frac{ny^2}{4n+1}\leqslant1
令 u=x2u=\frac{x}{2}，v=n4n+1yv=\sqrt{\frac{n}{4n+1}}y，则 u2+v2⩽1u^2+v^2\leqslant1，且
x+y=2u+4n+1nvx+y=2u+\sqrt{\frac{4n+1}{n}}v
由柯西不等式，
x+y⩽4+4n+1nu2+v2⩽8+1nx+y\leqslant\sqrt{4+\frac{4n+1}{n}}\sqrt{u^2+v^2} \leqslant\sqrt{8+\frac1n}
取 (u,v)(u,v) 与 (2,4n+1n)\left(2,\sqrt{\frac{4n+1}{n}}\right) 同方向且在单位圆上时可取到等号，因此
Mn=8+1nM_n=\sqrt{8+\frac1n}
所以
lim⁡n→∞Mn=8=22\lim_{n\to\infty}M_n=\sqrt8=2\sqrt2
因此选 D. \end{solution}
A.
00
B.
14\frac{1}{4}
C.
22
D.
222\sqrt{2}

2013 · 上海 · 文 · 第 18 题 · 选择题

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17概率与统计★★★★☆
设 10⩽x1<x2<x3<x4⩽10410 \leqslant x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4} \leqslant 10^{4}，x5=105x_{5} = 10^{5}. 随机变量 ξ1\xi_{1} 取值 x1x_{1}，x2x_{2}，x3x_{3}，x4x_{4}，x5x_{5} 的概率均为 0.2. 随机变量 ξ2\xi_{2} 取值 x1+x22\frac{x_{1} + x_{2}}{2}，x2+x32\frac{x_{2} + x_{3}}{2}，x3+x42\frac{x_{3} + x_{4}}{2}，x4+x52\frac{x_{4} + x_{5}}{2}，x5+x12\frac{x_{5} + x_{1}}{2} 的概率也均为 0.2. 若记 D(ξ1)D(\xi_{1})，D(ξ2)D(\xi_{2}) 分别为 ξ1\xi_{1}，ξ2\xi_{2} 的方差，则（ ）
A.
D(ξ1)>D(ξ2)D(\xi_{1}) > D(\xi_{2})
B.
D(ξ1)=D(ξ2)D(\xi_{1}) = D(\xi_{2})
C.
D(ξ1)<D(ξ2)D(\xi_{1}) < D(\xi_{2})
D.
D(ξ1)D(\xi_{1}) 与 D(ξ2)D(\xi_{2}) 的大小关系与 x1x_{1}，x2x_{2}，x3x_{3}，x4x_{4} 的取值有关

2012 · 上海 · 理 · 第 17 题 · 选择题

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18数列★★★★☆
设 an=1nsin⁡nπ25a_{n} = \frac{1}{n}\sin \frac{n\pi}{25}，Sn=a1+a2+⋯+anS_{n} = a_{1} + a_{2} + \cdots + a_{n}. 在 S1S_{1}，S2S_{2}，⋯\cdots，S100S_{100} 中，正数的个数是（ ）
A.
25
B.
50
C.
75
D.
100

2012 · 上海 · 理 · 第 18 题 · 选择题

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18三角函数★★★★☆
若 Sn=sin⁡π7+sin⁡2π7+⋯+sin⁡nπ7S_{n} = \sin \frac{\pi}{7} + \sin \frac{2\pi}{7} + \cdots + \sin \frac{n\pi}{7} （n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}），则在 S1S_{1}，S2S_{2}，⋯\cdots，S100S_{100} 中，正数的个数是（ ）
A.
16
B.
72
C.
86
D.
100

2012 · 上海 · 文 · 第 18 题 · 选择题

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18数列★★★★☆
设 {an}\{a_n\} 是各项为正数的无穷数列，AiA_i 是边长为 aia_i，ai+1a_{i+1} 的矩形面积 （i=1i = 1，22，⋯\cdots），则 {An}\{A_n\} 为等比数列的充要条件为（ ）
A.
{an}\{a_n\} 是等比数列
B.
{a1,a3,⋯ ,a2n−1,⋯ }\{a_1, a_3, \cdots, a_{2n-1}, \cdots\} 或 {a2,a4,⋯ ,a2n,⋯ }\{a_2, a_4, \cdots, a_{2n}, \cdots\} 是等比数列
C.
{a1,a3,⋯ ,a2n−1,⋯ }\{a_1, a_3, \cdots, a_{2n-1}, \cdots\} 和 {a2,a4,⋯ ,a2n,⋯ }\{a_2, a_4, \cdots, a_{2n}, \cdots\} 均是等比数列
D.
{a1,a3,⋯ ,a2n−1,⋯ }\{a_1, a_3, \cdots, a_{2n-1}, \cdots\} 和 {a2,a4,⋯ ,a2n,⋯ }\{a_2, a_4, \cdots, a_{2n}, \cdots\} 均是等比数列，且公比相同

2011 · 上海 · 理 · 第 18 题 · 选择题

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17概率与统计★★★★☆
在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生规模群体感染的标志为“连续 1010 天，每天新增疑似病例不超过 77 人”. 根据过去 1010 天甲，乙，丙，丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是（ ）
A.
甲地：总体均值为 33，中位数为 44
B.
乙地：总体均值为 11，总体方差大于 00
C.
丙地：中位数为 22，众数为 33
D.
丁地：总体均值为 22，总体方差为 33

2009 · 上海 · 理 · 第 17 题 · 选择题

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18解析几何★★★★☆
过圆 C:(x−1)2+(y−1)2=1C: (x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 1 的圆心作直线分别交 xx，yy 正半轴于点 AA，BB，△AOB\triangle AOB 被圆分成四部分（如图），若这四部分图形面积满足 SI+SIV=SII+SIIIS_{\mathrm I} + S_{\mathrm{IV}} = S_{\mathrm{II}} + S_{\mathrm{III}}，则直线 ABAB 有（ ）
A.
00 条
B.
11 条
C.
22 条
D.
33 条

2009 · 上海 · 理 · 第 18 题 · 选择题

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15解析几何★★★★☆
如图，在平面直角坐标系中，Ω\Omega 是一个与 xx 轴的正半轴，yy 轴的正半轴分别相切于点 CC，DD 的定圆所围成区域（含边界），AA，BB，CC，DD 是该圆的四等分点. 若点 P(x,y)P(x, y)，点 P′(x′,y′)P'(x', y') 满足 x⩽x′x \leqslant x' 且 y⩾y′y \geqslant y'，则称 PP 优于 P′P'. 如果 Ω\Omega 中的点 QQ 满足：不存在 Ω\Omega 中的其它点优于 QQ，那么所有这样的点 QQ 组成的集合是劣弧（\quad）
A.
\myarcAB\myarc{AB}
B.
\myarcBC\myarc{BC}
C.
\myarcCD\myarc{CD}
D.
\myarcDA\myarc{DA}

2008 · 上海 · 理 · 第 15 题 · 选择题

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15函数与初等函数★★★★☆
如图，在平面直角坐标系中，Ω\Omega 是一个与 xx 轴的正半轴，yy 轴的正半轴分别相切于点 CC，DD 的定圆所围成区域（含边界），AA，BB，CC，DD 是该圆的四等分点. 若点 P(x,y)P(x, y)，点 P′(x′,y′)P'(x', y') 满足 x⩽x′x \leqslant x' 且 y⩾y′y \geqslant y'，则称 PP 优于 P′P'. 如果 Ω\Omega 中的点 QQ 满足：不存在 Ω\Omega 中的其它点优于 QQ，那么所有这样的点 QQ 组成的集合是劣弧（ ）
A.
弧 ABAB
B.
弧 BCBC
C.
弧 CDCD
D.
弧 DADA

2008 · 上海 · 文 · 第 15 题 · 选择题

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