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19不等式★★★★☆
已知 a∈Ra\in \mathbf{R}，函数 f(x)=x2+ax+3f(x)=x^2+ax+3，g(x)=4x+1x2g(x)=4x+\frac{1}{x^2}.
(1) 解不等式 f(x)+1x2>g(x)f(x)+\frac{1}{x^2}>g(x)； (2) a≠0a\neq 0. l1l_1 是 f(x)f(x) 在点 (0,3)\left( 0,3 \right) 处的切线，l2l_2 是过点 (0,3)\left( 0,3 \right) 且垂直于 l1l_1 的直线. g(x)g(x) 与 l1l_1，l2l_2 在第一象限内均无公共点，求 aa 的取值范围.

2026 · 上海 · 第 19 题 · 解答题

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19导数及其应用★★★★☆
已知 f(x)=x2−(m+2)x+mln⁡xf(x)=x^2-(m+2)x+m\ln x，m∈Rm\in\mathbf{R}.
(1) 若 f(1)=0f(1)=0，求不等式 f(x)≤x2−1f(x)\le x^2-1 的解集； (2) 若 f(x)f(x) 在 (0,+∞)(0,+\infty) 上存在极大值，求 mm 的取值范围.

2025 · 上海 · 第 19 题 · 解答题

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20解析几何★★★★☆
已知椭圆 Γ:x2a2+y25=1\Gamma:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{5}=1（a>5a>\sqrt5），M(0,m)M(0,m)（m>0m>0），AA 为 Γ\Gamma 的右顶点.
(1) 若 Γ\Gamma 的焦点为 (2,0)(2,0)，求离心率 ee； (2) 若 a=4a=4，且 Γ\Gamma 上存在一点 PP 满足 PA→=2MP→\overrightarrow{PA}=2\overrightarrow{MP}，求 mm； (3) 若线段 AMAM 的中垂线 ll 的斜率为2， ll 与 Γ\Gamma 交于 CC，DD，且 ∠CMD\angle CMD 为钝角，求 aa 的取值范围.

2025 · 上海 · 第 20 题 · 解答题

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19函数与初等函数★★★★☆
设函数 f(x)=x2+(3a+1)x+cx+af(x)=\frac{x^2+(3a+1)x+c}{x+a}，aa，c∈Rc\in\mathbf{R}
(1) 当 a=0a=0 时，是否存在实数 cc，使得 y=f(x)y=f(x) 为奇函数，请说明理由； (2) 若函数 y=f(x)y=f(x) 的图像过点 (1,3)(1,3)，且其与 xx 轴的负半轴有两个不同的交点，求 cc 的值及 aa 的取值范围.

2023 · 上海 · 第 19 题 · 解答题

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20解析几何★★★★☆
已知抛物线 Γ:y2=4x\Gamma:y^2=4x，第一象限内点 AA 在 Γ\Gamma 上，AA 的纵坐标是 aa.
(1) 若 AA 到准线的距离为 33，求 aa； (2) 若 a=4a=4，BB 在 xx 轴上，且线段 ABAB 的中点在 Γ\Gamma 上，求点 BB 的坐标及坐标原点 OO 到直线 ABAB 的距离； (3) 直线 l:x=−3l:x=-3，令 PP 是第一象限 Γ\Gamma 上异于 A 的一点，直线 APAP 交 ll 于 QQ，HH 是 PP 在 ll 上的投影，若点 A 满足“对于任意 PP 都有 ∣HQ∣>4\left|HQ\right|>4”，求 aa 的取值范围.

2023 · 上海 · 第 20 题 · 解答题

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18指数函数与对数函数★★★★☆
设 aa 为常数，f(x)=log⁡3(a+x)+log⁡3(6−x)f(x)=\log_3(a+x)+\log_3(6-x).
(1) 若将函数 y=f(x)y=f(x) 的图像向下平移 mm（m>0m>0）个单位后，其图像经过 (3,0)(3,0)，(5,0)(5,0) 两点，求实数 aa 和 mm 的值； (2) 若 a>−3a>-3 且 a≠0a\ne0，解不等式 f(x)≤f(6−x)f(x)\le f(6-x).

2022 · 上海 · 第 18 题 · 解答题

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19解析几何★★★★☆
如图，AD=BC=6AD=BC=6，AB=20AB=20，∠DAB=∠ABC=120∘\angle DAB=\angle ABC=120^\circ，OO 为 ABAB 中点，曲线 CDCD 上任意一点到点 OO 的距离均相等，PP，MM，QQ 为曲线 CDCD 上的点，且 MO⊥ABMO\perp AB，点 PP 与点 QQ 关于直线 OMOM 对称.
(1) 若点 PP 与点 CC 重合，求 ∠POB\angle POB 的大小； (2) 点 PP 在何位置时，五边形 CPMQDCPMQD 的面积 SS 取到最大值，并求出该最大值.

2022 · 上海 · 第 19 题 · 解答题

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19三角函数★★★★☆
如图，某段海岸线可近似看作一条曲线，该曲线由线段 ABAB 和四分之一圆弧 BC^\widehat{BC} 构成，DD 为一海岛，BB 在 DD 的正北方向，且 BB，DD 相距 39.2 千米39.2\text{ 千米}，AA 在 DD 的北偏西 58∘58^\circ 方向，CC 在 DD 的北偏东 22∘22^\circ 方向，CC 在 BB 的南偏东 68∘68^\circ 方向.
(1) 若沿弧 BC^\widehat{BC} 建观光道，计算该观光道的长度；（精确到 0.001 千米0.001\text{ 千米}） (2) 现规划在该海岸线上选取一点 EE，修建从 EE 直通 DD 的公路桥，已知 AA，BB 相距 40 千米40\text{ 千米}，求公路桥 DEDE 的最短长度.（精确到 0.001 千米0.001\text{ 千米}）

2019 · 上海 · 第 19 题 · 解答题

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20解析几何★★★★☆
已知椭圆 x28+y24=1\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1，F1F_1，F2F_2 分别为左，右焦点，直线 ll 过 F2F_2 交椭圆于 AA，BB 两点.
(1) 若 ABAB 垂直于 xx 轴时，求 ∣AB∣|AB|； (2) 当 ∠F1AB=90∘\angle F_1AB=90^\circ 时，AA 在 xx 轴上方时，求 AA，BB 的坐标； (3) 若直线 AF1AF_1 交 yy 轴于 MM，直线 BF1BF_1 交 yy 轴于 NN，是否存在直线 ll，使 S△F1AB=S△F1MNS_{\triangle F_1AB}=S_{\triangle F_1MN}，若存在，求出直线 ll 的方程；若不存在，请说明理由.

2019 · 上海 · 第 20 题 · 解答题

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21解析几何★★★★☆
双曲线 x2−y2b2=1x^2-\dfrac{y^2}{b^2}=1（b>0b>0）的左、右焦点分别为 F1F_1，F2F_2，直线 ll 过 F2F_2 且与双曲线交于 AA，BB 两点.
(1) 若 ll 的倾斜角为 π2\dfrac{\pi}{2}，△F1AB\triangle F_1AB 是等边三角形，求双曲线的渐近线方程； (2) 设 b=3b=\sqrt3，若 ll 的斜率存在，且 (F1A→+F1B→)⋅AB→=0(\overrightarrow{F_1A}+\overrightarrow{F_1B})\cdot\overrightarrow{AB}=0，求 ll 的斜率.

2016 · 上海 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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22指数函数与对数函数★★★★☆
已知 a∈Ra\in\mathbf{R}，函数 f(x)=log⁡2 ⁣(1x+a)f(x)=\log_2\!\left(\dfrac1x+a\right).
(1) 当 a=5a=5 时，解不等式 f(x)>0f(x)>0； (2) 若关于 xx 的方程 f(x)−log⁡2[(a−4)x+2a−5]=0f(x)-\log_2[(a-4)x+2a-5]=0 的解集中恰有一个元素，求 aa 的取值范围； (3) 设 a>0a>0，若对任意 t∈[12,1]t\in\left[\dfrac12,1\right]，函数 f(x)f(x) 在区间 [t,t+1][t,t+1] 上的最大值和最小值的差不超过 11，求 aa 的取值范围.

2016 · 上海 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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21解析几何★★★★☆
双曲线 x2−y2b2=1x^2-\dfrac{y^2}{b^2}=1（b>0b>0）的左，右焦点分别为 F1F_1，F2F_2，直线 ll 过 F2F_2 且与双曲线交于 AA，BB 两点.
(1) 若 ll 的倾斜角为 π2\dfrac{\pi}{2}，△F1AB\triangle F_1AB 是等边三角形，求双曲线的渐近线方程； (2) 设 b=3b=\sqrt3，若 ll 的斜率存在，且 ∣AB∣=4|AB|=4，求 ll 的斜率.

2016 · 上海 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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22数列★★★★☆
对于无穷数列 {an}\{a_n\} 与 {bn}\{b_n\}，记 A={x∣x=an, n∈N∗}A=\{x\mid x=a_n,\ n\in\mathbf{N}^*\}，B={x∣x=bn, n∈N∗}B=\{x\mid x=b_n,\ n\in\mathbf{N}^*\}. 若同时满足条件：
① {an}\{a_n\}，{bn}\{b_n\} 均单调递增； ② A∩B=∅A\cap B=\varnothing 且 A∪B=N∗A\cup B=\mathbf{N}^*，则称 {an}\{a_n\} 与 {bn}\{b_n\} 是无穷互补数列.
(1) 若 an=2n−1a_n=2n-1，bn=4n−2b_n=4n-2，判断 {an}\{a_n\} 与 {bn}\{b_n\} 是否为无穷互补数列，并说明理由； (2) 若 an=2na_n=2^n 且 {an}\{a_n\} 与 {bn}\{b_n\} 是无穷互补数列，求数列 {bn}\{b_n\} 的前 1616 项的和； (3) 若 {an}\{a_n\} 与 {bn}\{b_n\} 是无穷互补数列，{an}\{a_n\} 为等差数列且 a16=36a_{16}=36，求 {an}\{a_n\} 与 {bn}\{b_n\} 的通项公式.

2016 · 上海 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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23指数函数与对数函数★★★★☆
已知 a∈Ra\in\mathbf{R}，函数 f(x)=log⁡2 ⁣(1x+a)f(x)=\log_2\!\left(\dfrac1x+a\right).
(1) 当 a=1a=1 时，解不等式 f(x)>1f(x)>1； (2) 若关于 xx 的方程 f(x)+log⁡2(x2)=0f(x)+\log_2(x^2)=0 的解集中恰有一个元素，求 aa 的值； (3) 设 a>0a>0，若对任意 t∈[12,1]t\in\left[\dfrac12,1\right]，函数 f(x)f(x) 在区间 [t,t+1][t,t+1] 上的最大值与最小值的差不超过 11，求 aa 的取值范围.

2016 · 上海 · 文 · 第 23 题 · 解答题

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20函数与初等函数★★★★☆
如图，AA，BB，CC 三地有直道相通，AB=5 千米AB = 5\text{ 千米}，AC=3 千米AC = 3\text{ 千米}，BC=4 千米BC = 4\text{ 千米}. 现甲，乙两警员同时从 AA 地出发匀速前往 BB 地，过 t 小时t\text{ 小时}，他们之间的距离为 f(t)f(t) （单位：千米）. 甲的路线是 ABAB，速度为 5 千米/小时5\text{ 千米/小时}，乙的路线是 ACBACB，速度为 8 千米/小时8\text{ 千米/小时}. 乙到达 BB 地后在原地等待. 设 t=t1t = t_1 时，乙到达 CC 地.
(1) 求 t1t_{1} 与 f(t1)f(t_{1}) 的值； (2) 已知警员的对讲机的有效通话距离是 3 千米3\text{ 千米}. 当 t1⩽t⩽1t_{1} \leqslant t \leqslant 1 时，求 f(t)f(t) 的表达式，并判断 f(t)f(t) 在 [t1,1][t_{1}, 1] 上的最大值是否超过 33. 说明理由.

2015 · 上海 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21解析几何★★★★☆
已知椭圆 x2+2y2=1x^{2} + 2y^{2} = 1，过原点的两条直线 l1l_{1} 和 l2l_{2} 分别与椭圆交于点 AA，BB 和 CC，DD. 记得到的平行四边形 ACBDACBD 的面积为 SS.
(1) 设 A(x1,y1)A(x_{1}, y_{1})，C(x2,y2)C(x_{2}, y_{2}). 用 AA，CC 的坐标表示点 CC 到直线 l1l_{1} 的距离，并证明 S=2∣x1y2−x2y1∣S = 2|x_{1}y_{2} - x_{2}y_{1}|. (2) 设 l1l_{1} 与 l2l_{2} 的斜率之积为 −12-\frac{1}{2}，求面积 SS 的值.

2015 · 上海 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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22解析几何★★★★☆
已知椭圆 x2+2y2=1x^{2} + 2y^{2} = 1，过原点的两条直线 l1l_{1} 和 l2l_{2} 分别与椭圆交于点 AA，BB 和 CC，DD. 记 △AOC\triangle AOC 的面积为 SS.
(1) 设 A(x1,y1)A(x_{1}, y_{1})，C(x2,y2)C(x_{2}, y_{2}). 用 AA，CC 的坐标表示点 CC 到直线 l1l_{1} 的距离，并证明 S=12∣x1y2−x2y1∣S = \frac{1}{2} |x_{1}y_{2} - x_{2}y_{1}|； (2) 设 l1:y=kxl_{1}: y = kx，C(33,33)C\left(\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}\right)，S=13S = \frac{1}{3}. 求 kk 的值. (3) 设 l1l_{1} 与 l2l_{2} 的斜率之积为 mm，求 mm 的值，使得无论 l1l_{1} 与 l2l_{2} 如何变动，面积 SS 保持不变.

2015 · 上海 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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21三角函数★★★★☆
如图，某公司要在 AA，BB 两地连线上的定点 CC 处建造广告牌 CDCD，其中 DD 为顶端，ACAC 长 35 米35\text{ 米}，CBCB 长 80 米80\text{ 米}. 设点 AA，BB 在同一水平面上，从 AA 和 BB 看 DD 的仰角分别为 α\alpha 和 β\beta.
(1) 设计中 CDCD 是铅垂方向. 若要求 α⩾2β\alpha \geqslant 2\beta，问 CDCD 的长至多为多少（结果精确到 0.01 米）？ (2) 施工完成后，CDCD 与铅垂方向有偏差. 现在实测得 α=38.12∘\alpha = 38.12^{\circ}，β=18.45∘\beta = 18.45^{\circ}，求 CDCD 的长（结果精确到 0.01 米）.

2014 · 上海 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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21三角函数★★★★☆
如图，某公司要在 AA，BB 两地连线上的定点 CC 处建造广告牌 CDCD，其中 DD 为顶端，ACAC 长 35 米35\text{ 米}，CBCB 长 80 米80\text{ 米}. 设点 AA，BB 在同一水平面上，从 AA 和 BB 看 DD 的仰角分别为 α\alpha 和 β\beta.
(1) 设计中 CDCD 是铅垂方向. 若要求 α⩾2β\alpha \geqslant 2\beta，问 CDCD 的长至多为多少（结果精确到 0.01 米0.01\text{ 米}）？ (2) 施工完成后，CDCD 与铅垂方向有偏差. 现在实测得 α=38.12∘\alpha = 38.12^{\circ}，β=18.45∘\beta = 18.45^{\circ}，求 CDCD 的长（结果精确到 0.01 米0.01\text{ 米}）.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 设 CD=h 米CD=h\text{ 米}. 因为 CDCD 铅垂，所以在两个直角三角形中有 tan⁡α=h35\tan\alpha=\dfrac h{35}、tan⁡β=h80\tan\beta=\dfrac h{80}. 由 α⩾2β\alpha\geqslant2\beta 且 α<π2\alpha<\dfrac\pi2，可知 2β<π22\beta<\dfrac\pi2，故 h<80h<80，正切函数在相关区间上单调递增. 因此 h35⩾tan⁡2β=2tan⁡β1−tan⁡2β=2h801−h2802\dfrac h{35}\geqslant\tan2\beta=\dfrac{2\tan\beta}{1-\tan^2\beta}=\dfrac{2\frac{h}{80}}{1-\frac{h^2}{80^2}}. 由于 h>0h>0 且 h<80h<80，可约去 hh，并得到 135⩾2801−h2802=140(1−h26400)\dfrac1{35}\geqslant\dfrac{\frac{2}{80}}{1-\frac{h^2}{80^2}}=\dfrac1{40\left(1-\frac{h^2}{6400}\right)}. 分母为正，交叉相乘得 40(1−h26400)⩾3540\left(1-\frac{h^2}{6400}\right)\geqslant35，即 h2⩽800h^2\leqslant800. 所以 h⩽202≈28.2843h\leqslant20\sqrt2\approx28.2843，故 CDCD 至多为 28.28 米28.28\text{ 米}. \item 由 AB=AC+CB=115 米AB=AC+CB=115\text{ 米}，在三角形 ADBADB 中有 ∠DAB=38.12∘\angle DAB=38.12^{\circ}、∠ABD=18.45∘\angle ABD=18.45^{\circ}. 由正弦定理， BDsin⁡38.12∘=115sin⁡(38.12∘+18.45∘)\dfrac{BD}{\sin38.12^{\circ}}=\dfrac{115}{\sin\left(38.12^{\circ}+18.45^{\circ}\right)}，所以 BD=115sin⁡38.12∘sin⁡56.57∘≈85.0637 米BD=\dfrac{115\sin38.12^{\circ}}{\sin56.57^{\circ}}\approx85.0637\text{ 米}. 在三角形 BCDBCD 中，BC=80 米BC=80\text{ 米}，且 ∠CBD=18.45∘\angle CBD=18.45^{\circ}. 由余弦定理， CD2=BC2+BD2−2⋅BC⋅BDcos⁡18.45∘CD^2=BC^2+BD^2-2\cdot BC\cdot BD\cos18.45^{\circ}，从而 CD≈802+85.06372−2⋅80⋅85.0637cos⁡18.45∘≈26.9296 米CD\approx\sqrt{80^2+85.0637^2-2\cdot80\cdot85.0637\cos18.45^{\circ}}\approx26.9296\text{ 米}. 精确到 0.01 米0.01\text{ 米} 得 CD=26.93 米CD=26.93\text{ 米}. \end{enumerate} \end{solution}

2014 · 上海 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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22解析几何★★★★☆
在平面直角坐标系 xOyxOy 中，对于直线 l:ax+by+c=0l: ax + by + c = 0 和点 P1(x1,y1)P_{1}(x_{1}, y_{1})，P2(x2,y2)P_{2}(x_{2}, y_{2})，记 η=(ax1+by1+c)(ax2+by2+c)\eta = (ax_{1} + by_{1} + c)(ax_{2} + by_{2} + c). 若 η<0\eta < 0，则称点 P1P_{1}，P2P_{2} 被直线 ll 分隔. 若曲线 CC 与直线 ll 没有公共点，且曲线 CC 上存在点 P1P_{1}，P2P_{2} 被直线 ll 分隔，则称直线 ll 为曲线 CC 的一条分隔线.
(1) 求证：点 A(1,2)A(1,2)，B(−1,0)B(-1,0) 被直线 x+y−1=0x + y - 1 = 0 分隔； (2) 若直线 y=kxy = kx 是曲线 x2−4y2=1x^2 - 4y^2 = 1 的分隔线，求实数 kk 的取值范围； (3) 动点 MM 到点 Q(0,2)Q(0,2) 的距离与到 yy 轴的距离之积为 11，设点 MM 的轨迹为 EE. 求 EE 的方程，并证明 yy 轴为曲线 EE 的分隔线.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 对直线 x+y−1=0x+y-1=0，分别计算得 1+2−1=21+2-1=2、−1+0−1=−2-1+0-1=-2，两者乘积为 −4<0-4<0，所以点 AA、BB 被该直线分隔. \item 将直线 y=kxy=kx 代入曲线方程，得 (1−4k2)x2=1(1-4k^2)x^2=1. 直线与曲线没有公共点的充要条件是 1−4k2⩽01-4k^2\leqslant0，即 ∣k∣⩾12|k|\geqslant\dfrac12. 当 ∣k∣⩾12|k|\geqslant\dfrac12 时，曲线上两点 (1,0)(1,0)、(−1,0)(-1,0) 对直线 y−kx=0y-kx=0 的代数式值分别为 −k-k、kk，其乘积为 −k2<0-k^2<0，所以确实存在被直线分隔的两点. 因此 k∈(−∞,−12]∪[12,+∞)k\in\left(-\infty,-\dfrac12\right]\cup\left[\dfrac12,+\infty\right). \item 设 M=(x,y)M=(x,y). 到点 Q(0,2)Q(0,2) 的距离为 x2+(y−2)2\sqrt{x^2+(y-2)^2}，到 yy 轴的距离为 ∣x∣|x|. 由题意得 ∣x∣x2+(y−2)2=1|x|\sqrt{x^2+(y-2)^2}=1. 两边均非负，平方后得到轨迹方程 (x2+(y−2)2)x2=1\bigl(x^2+(y-2)^2\bigr)x^2=1. yy 轴的方程为 x=0x=0，代入上述方程得 0=10=1，所以 yy 轴与曲线 EE 没有公共点. 又 (1,2)(1,2)、(−1,2)(-1,2) 均满足曲线方程，而它们代入直线 x=0x=0 的代数式所得值为 11、−1-1，乘积小于零，因此这两点被 yy 轴分隔，故 yy 轴是曲线 EE 的分隔线. \end{enumerate} \end{solution}

2014 · 上海 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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21三角函数★★★★☆
已知函数 f(x)=2sin⁡ωxf(x)=2\sin\omega x. 其中常数 ω>0\omega>0.
(1) 若 y=f(x)y=f(x) 在 [−π4,2π3]\left[-\frac{\pi}{4},\frac{2\pi}{3}\right] 上单调递增，求 ω\omega 的取值范围； (2) 令 ω=2\omega=2，将函数 y=f(x)y=f(x) 的图象向左平移 π6\frac{\pi}{6} 个单位，再向上平移 11 个单位，得到函数 y=g(x)y=g(x) 的图象. 区间 [a,b][a,b] （aa，b∈Rb\in\mathbf{R} 且 a<ba<b）满足：y=g(x)y=g(x) 在 [a,b][a,b] 上至少含有 3030 个零点. 在所有满足上述条件的 [a,b][a,b] 中，求 b−ab-a 的最小值.

2013 · 上海 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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22解析几何★★★★☆
如图，已知双曲线 C1:x22−y2=1C_1:\frac{x^2}{2}-y^2=1，曲线 C2:∣y∣=∣x∣+1C_2:|y|=|x|+1. PP 是平面内一点，若存在过点 PP 的直线与 C1C_1，C2C_2 都有公共点，则称 PP 为 “C1−C2C_1-C_2 型点”.
(1) 在正确证明 C1C_1 的左焦点是“C1−C2C_1-C_2 型点”时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）； (2) 设直线 y=kxy=kx 与 C2C_2 有公共点. 求证 ∣k∣>1|k|>1，进而证明原点不是“C1−C2C_1-C_2 型点”； (3) 求证：圆 x2+y2=12x^2+y^2=\frac{1}{2} 内的点都不是 “C1−C2C_1-C_2 型点”.

2013 · 上海 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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21三角函数★★★★☆
已知函数 f(x)=2sin⁡ωxf(x) = 2\sin \omega x. 其中常数 ω>0\omega > 0.
(1) 令 ω=1\omega = 1，判断函数 F(x)=f(x)+f(x+π2)F(x) = f(x) + f\left(x + \frac{\pi}{2}\right) 的奇偶性并说明理由； (2) 令 ω=2\omega = 2，将函数 y=f(x)y = f(x) 的图象向左平移 π6\frac{\pi}{6} 个单位，再向上平移 11 个单位，得到函数 y=g(x)y = g(x) 的图象. 对任意的 a∈Ra \in \mathbf{R}，求 y=g(x)y = g(x) 在区间 [a,a+10π][a, a + 10\pi] 上零点个数的所有可能值.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 当 ω=1\omega=1 时，f(x)=2sin⁡xf(x)=2\sin x，所以
F(x)=2sin⁡x+2sin⁡(x+π2)=2sin⁡x+2cos⁡xF(x)=2\sin x+2\sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right)=2\sin x+2\cos x
于是 F(−x)=2cos⁡x−2sin⁡xF(-x)=2\cos x-2\sin x. 又 F(0)=2≠−2=−F(0)F(0)=2\neq-2=-F(0)，故 F(x)F(x) 不是奇函数；并且 F(π2)=2F\left(\frac{\pi}{2}\right)=2，F(−π2)=−2F\left(-\frac{\pi}{2}\right)=-2，故 F(x)F(x) 不是偶函数. 因此 F(x)F(x) 既不是奇函数，也不是偶函数. \item 当 ω=2\omega=2 时，f(x)=2sin⁡2xf(x)=2\sin2x. 图象向左平移 π6\frac{\pi}{6} 后，横坐标 xx 处的函数值为 f(x+π6)f\left(x+\frac{\pi}{6}\right)，再向上平移 11 个单位，故
g(x)=2sin⁡(2x+π3)+1g(x)=2\sin\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)+1
令 g(x)=0g(x)=0，得
sin⁡(2x+π3)=−12\sin\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{1}{2}
因此 2x+π3=−π6+2kπ或2x+π3=7π6+2kπ2x+\frac{\pi}{3}=-\frac{\pi}{6}+2k\pi\quad\text{或}\quad2x+\frac{\pi}{3}=\frac{7\pi}{6}+2k\pi，k∈Zk\in\mathbf{Z} 即零点为 x=−π4+kπ或x=5π12+kπx=-\frac{\pi}{4}+k\pi\quad\text{或}\quad x=\frac{5\pi}{12}+k\pi，k∈Zk\in\mathbf{Z}. 函数 g(x)g(x) 的周期为 π\pi，每个周期内有两个零点. 区间 [a,a+10π][a,a+10\pi] 的长度是 1010 个周期，因此当 aa 不是零点时，区间内有 2020 个零点；当 aa 是零点时，a+10πa+10\pi 也是零点，两个端点同时计入，区间内有 2121 个零点. 故所有可能值为 2020，2121. \end{enumerate} \end{solution}

2013 · 上海 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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22数列★★★★☆
已知函数 f(x)=2−∣x∣f(x) = 2 - |x|，无穷数列 {an}\{a_n\} 满足 an+1=f(an)a_{n+1} = f(a_n)，n∈N∗n \in \mathbf{N}^*.
(1) 若 a1=0a_1 = 0，求 a2a_2，a3a_3，a4a_4； (2) 若 a1>0a_1 > 0，且 a1a_1，a2a_2，a3a_3 成等比数列，求 a1a_1 的值； (3) 是否存在 a1a_1，使得 a1a_1，a2a_2，a3a_3，⋯\cdots，ana_n，⋯\cdots 成等差数列？若存在，求出所有这样的 a1a_1；若不存在，说明理由.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 当 a1=0a_1=0 时，a2=2−∣0∣=2a_2=2-|0|=2，a3=2−∣2∣=0a_3=2-|2|=0，a4=2−∣0∣=2a_4=2-|0|=2. \item 设 a1=t>0a_1=t>0.
当 0<t⩽20<t\leqslant2 时，a2=2−t⩾0a_2=2-t\geqslant0，从而 a3=2−(2−t)=ta_3=2-(2-t)=t. 由 a1a_1，a2a_2，a3a_3 成等比数列，得 (2−t)2=t2(2-t)^2=t^2， 所以 4−4t=04-4t=0，即 t=1t=1.
当 t>2t>2 时，a2=2−t<0a_2=2-t<0，从而 a3=2−∣2−t∣=4−ta_3=2-|2-t|=4-t. 于是 (2−t)2=t(4−t)(2-t)^2=t(4-t)， 即 2t2−8t+4=02t^2-8t+4=0，解得 t=2±2t=2\pm\sqrt{2}. 结合 t>2t>2，得 t=2+2t=2+\sqrt{2}. 因此 a1=1a_1=1 或 a1=2+2a_1=2+\sqrt{2}. \item 假设数列成等差数列，公差为 dd，则 an=a1+(n−1)da_n=a_1+(n-1)d. 由于对任意 nn 都有 an+1=2−∣an∣⩽2a_{n+1}=2-|a_n|\leqslant2，若 d>0d>0，则等差表达式使 an+1a_{n+1} 在 nn 足够大时大于 22，矛盾. 若 d<0d<0，则 ana_n 在 nn 足够大时为负数，此时递推式变为 an+1=2+ana_{n+1}=2+a_n，所以 d=2d=2，又与 d<0d<0 矛盾. 因此只能有 d=0d=0.
此时所有 ana_n 都等于 a1a_1，由递推式得 a1=2−∣a1∣a_1=2-|a_1|. 当 a1⩾0a_1\geqslant0 时，a1=2−a1a_1=2-a_1，得 a1=1a_1=1；当 a1<0a_1<0 时，a1=2+a1a_1=2+a_1，矛盾. 因此存在且唯一的取值为 a1=1a_1=1. \end{enumerate} \end{solution}

2013 · 上海 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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22解析几何★★★★☆
在平面直角坐标系 xOyxOy 中，已知双曲线 C1:2x2−y2=1C_1: 2x^2 - y^2 = 1.
(1) 过 C1C_{1} 的左顶点引 C1C_{1} 的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及 xx 轴围成的三角形的面积； (2) 设斜率为 1 的直线 ll 交 C1C_{1} 于 PP，QQ 两点. 若 ll 与圆 x2+y2=1x^{2} + y^{2} = 1 相切. 求证： OP⊥OQOP \perp OQ； (3) 设椭圆 C2:4x2+y2=1C_{2}: 4x^{2} + y^{2} = 1. 若 MM，NN 分别是 C1C_{1}，C2C_{2} 上的动点，且 OM⊥ONOM \perp ON，求证：OO 到直线 MNMN 的距离是定值.

2012 · 上海 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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