已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_n<a_{n+1}$（$n\in\mathbf{N}^*$），若点 $P_n(n,a_n)$ 在双曲线 $\frac{x^2}{6}-\frac{y^2}{2}=1$ 上，则 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}|P_nP_{n+1}|=$______.

常数 $a>0$，将函数 $y=\frac2x$（$x>0$）的图象先向右平移 $1$ 个单位，再向下平移 $a$ 个单位，然后将所得的图象在 $x$ 轴下方的部分沿 $x$ 轴向上翻折，其余部分保持不变，得到函数 $f(x)=\left|\frac2{x-1}-a\right|$（$x>1$）的图象 $L$，当 $a=a_0$ 时，$L$ 与 $x$ 轴交点为 $A$，在 $L$ 上任意一点 $P$（$P$ 异于 $A$），总存在一点 $Q$ 使得 $AP\perp AQ$ 且 $|AP|=|AQ|$，则 $a_0=$______.

已知 $\tan\alpha\cdot\tan\beta=\tan(\alpha+\beta)$.

① 存在角 $\alpha$ 在第一象限，角 $\beta$ 在第三象限； ② 存在角 $\alpha$ 在第二象限，角 $\beta$ 在第四象限.

那么（ ）

如图，某段海岸线可近似看作一条曲线，该曲线由线段 $AB$ 和四分之一圆弧 $\widehat{BC}$ 构成，$D$ 为一海岛，$B$ 在 $D$ 的正北方向，且 $B$，$D$ 相距 $39.2\text{ 千米}$，$A$ 在 $D$ 的北偏西 $58^\circ$ 方向，$C$ 在 $D$ 的北偏东 $22^\circ$ 方向，$C$ 在 $B$ 的南偏东 $68^\circ$ 方向.

(1) 若沿弧 $\widehat{BC}$ 建观光道，计算该观光道的长度；（精确到 $0.001\text{ 千米}$） (2) 现规划在该海岸线上选取一点 $E$，修建从 $E$ 直通 $D$ 的公路桥，已知 $A$，$B$ 相距 $40\text{ 千米}$，求公路桥 $DE$ 的最短长度.（精确到 $0.001\text{ 千米}$）

已知椭圆 $\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1$，$F_1$，$F_2$ 分别为左，右焦点，直线 $l$ 过 $F_2$ 交椭圆于 $A$，$B$ 两点.

(1) 若 $AB$ 垂直于 $x$ 轴时，求 $|AB|$； (2) 当 $\angle F_1AB=90^\circ$ 时，$A$ 在 $x$ 轴上方时，求 $A$，$B$ 的坐标； (3) 若直线 $AF_1$ 交 $y$ 轴于 $M$，直线 $BF_1$ 交 $y$ 轴于 $N$，是否存在直线 $l$，使 $S_{\triangle F_1AB}=S_{\triangle F_1MN}$，若存在，求出直线 $l$ 的方程；若不存在，请说明理由.