已知 $f(x)$ 是定义在 $\mathbb{R}$ 上的奇函数, 且当 $x > 0$ 时, $f(x) = (x^2 - 3)e^x + 2$, 则 （ ）

已知椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ ($a > b > 0$) 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$, 长轴长为 $4$。

(1) 求 $C$ 的方程;

(2) 过点 $(0, -2)$ 的直线 $l$ 与 $C$ 交于 $A, B$ 两点, $O$ 为坐标原点。若 $\triangle OAB$ 的面积为 $\sqrt{2}$, 求 $|AB|$。

如图, 在四边形 $ABCD$ 中, $AB \parallel CD$, $\angle DAB = 90^\circ$, $F$ 为 $CD$ 的中点, 点 $E$ 在 $AB$ 上, $EF \parallel AD$, $AB = 3AD$, $CD = 2AD$。将四边形 $EFDA$ 沿 $EF$ 翻折至四边形 $EFD'A'$, 使得面 $EFD'A'$ 与面 $EFCB$ 所成的二面角为 $60^\circ$。

(1) 证明: $A'B \parallel$ 平面 $CD'F$;

(2) 求面 $BCD'$ 与面 $EFD'A'$ 所成的二面角的正弦值。