已知椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ ($a > b > 0$) 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$, 长轴长为 $4$。

(1) 求 $C$ 的方程;

(2) 过点 $(0, -2)$ 的直线 $l$ 与 $C$ 交于 $A, B$ 两点, $O$ 为坐标原点。若 $\triangle OAB$ 的面积为 $\sqrt{2}$, 求 $|AB|$。