已知椭圆 $A: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ ($a > b > 0$) 的离心率为 $\frac{1}{2}$，椭圆被直线 $x = b$ 截得的线段长为 $\sqrt{3}$。

(1) 求 $A$ 的标准方程；

(2) 斜率为 $-\sqrt{3}$ 的直线与圆 $x^2 + y^2 = b^2$ 相切，且该直线交椭圆于 $P(x_1, y_1), Q(x_2, y_2)$ ($y_1 < y_2$)，$A$ 是椭圆的上顶点。记直线 $AP, AQ$ 的斜率分别为 $k_1, k_2$，求 $\frac{k_1}{k_2}$。