已知函数 $f(x)=|\lg x|-kx-2$. 给出下列四个结论：

① 当 $k=0$ 时，$f(x)$ 恰有 $2$ 个零点； ② 存在负数 $k$，使得 $f(x)$ 恰有 $1$ 个零点； ③ 存在负数 $k$，使得 $f(x)$ 恰有 $3$ 个零点； ④ 存在正数 $k$，使得 $f(x)$ 恰有 $3$ 个零点.

其中所有正确结论的序号是______.

如图，在正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中，$E$ 为 $A_1D_1$ 的中点，$B_1C_1$ 与平面 $CDE$ 交于点 $F$.

(1) 求证：$F$ 为 $B_1C_1$ 中点； (2) 若 $M$ 是棱 $A_1B_1$ 上一点，且二面角 $M-FC-E$ 的余弦值为 $\dfrac{\sqrt5}{3}$，求 $\dfrac{A_1M}{A_1B_1}$ 的值.

已知椭圆 $E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的一个顶点为 $A(0,-2)$，以椭圆 $E$ 的四个顶点为顶点的四边形面积为 $4\sqrt5$.

(1) 求椭圆 $E$ 的方程； (2) 过点 $P(0,-3)$ 斜率为 $k$ 的直线 $l$ 与椭圆 $E$ 交于不同的两点 $B$，$C$，直线 $AB$，$AC$ 分别与直线 $y=-3$ 交于 $M$，$N$. 当 $|PM|+|PN|\le15$ 时，求 $k$ 的取值范围.