已知 $M = \{(x, y) \mid y = x + t(x^2 - x), 1 \leqslant x \leqslant 2, 0 \leqslant t \leqslant 1\}$ 是平面直角坐标系中的点集。设 $d$ 是 $M$ 中两点间的距离的最大值, $S$ 是 $M$ 表示的图形的面积, 则 $(\quad)$

设 $\{a_n\}$ 与 $\{b_n\}$ 是两个不同的无穷数列, 且都不是常数列。记集合 $M = \{k \mid a_k = b_k; k \in \mathbb{N}^*\}$, 给出下列四个结论: ① 若 $\{a_n\}$ 与 $\{b_n\}$ 均为等差数列, 则 $M$ 中最多有 $1$ 个元素; ② 若 $\{a_n\}$ 与 $\{b_n\}$ 均为等比数列, 则 $M$ 中最多有 $2$ 个元素; ③ 若 $\{a_n\}$ 为等差数列, $\{b_n\}$ 为等比数列, 则 $M$ 中最多有 $3$ 个元素; ④ 若 $\{a_n\}$ 为递增数列, $\{b_n\}$ 为递减数列, 则 $M$ 中最多有 $1$ 个元素。 其中正确结论的序号是 ______。

已知椭圆 $E: \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ ($a > b > 0$), 焦点和短轴端点构成边长为 $2$ 的正方形。

(1) 求椭圆 $E$ 的方程及离心率; (2) 过 $(0, t)$ ($t > \sqrt{2}$) 的直线与椭圆交于 $A, B$, 直线 $AC$ ($C(0,1)$) 与椭圆交于 $D$。若 $BD$ 斜率为 $0$, 求 $t$。

设 $f(x) = x + k \ln(1 + x)$ ($k \neq 0$), $l$ 是曲线在 $(t, f(t))$ 处的切线。

(1) $k = -1$ 时, 求单调区间; (2) 证明: $l$ 不经过点 $(0, 0)$; (3) $k = 1$ 时, $2S_{\triangle ACO} = 15S_{\triangle ABO}$ 是否成立? 有几个点 $A$?