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116分解析几何★★★★☆
已知抛物线 E:y2=8xE:y^2=8x，斜率为 kk（k>0k>0）的直线 ll 经过点 (−1,0)\left( -1,0 \right)，等边三角形 ABCABC 的顶点 AA 在 EE 上，顶点 BB，CC 均在 ll 上. 下列结论正确的有（ ）
A.
EE 的准线方程为 x=−2x=-2
B.
若 ll 与 EE 没有公共点，则 k>2k>\sqrt{2}
C.
若 ll 与 EE 的唯一公共点为 BB，则 EE 的焦点在直线 ABAB 上
D.
若 k=2k=2，则 △ABC\triangle ABC 面积的最小值为 315\frac{\sqrt{3}}{15}

2026 · 全国 · 二卷 · 第 11 题 · 多选题

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145分立体几何初步★★★★☆
已知球 OO 的体积为 43π4\sqrt{3}\pi，AA，BB，CC，DD 四点均在球 OO 的球面上，△ABC\triangle ABC 为等边三角形，DA=DB=DC=2DA=DB=DC=\sqrt{2}，则 △ABC\triangle ABC 的面积为______.

2026 · 全国 · 二卷 · 第 14 题 · 填空题

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1615分立体几何初步★★★★☆
如图，三棱锥 AA-BCDBCD 中，点 EE 在 BDBD 上，AE⊥CEAE\perp CE，AE⊥DEAE\perp DE，CD⊥ADCD\perp AD.
(1) 证明：CD⊥ABCD\perp AB； (2) 若 DE=2DE=2，BE=1BE=1，AE=2AE=\sqrt{2}，CD=23CD=2\sqrt{3}，求直线 ADAD 与平面 ABCABC 所成角的正弦值.

2026 · 全国 · 二卷 · 第 16 题 · 解答题

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1715分三角函数★★★★☆
在 △ABC\triangle ABC 中，已知 cos⁡B=34\cos B=\frac{3}{4}，cos⁡2(A+C)+sin⁡Asin⁡C=1\cos^2\left( A+C \right)+\sin A\sin C=1.
(1) 证明：△ABC\triangle ABC 为钝角三角形； (2) 若 △ABC\triangle ABC 的面积为 74\frac{\sqrt{7}}{4}，求 △ABC\triangle ABC 的周长.

2026 · 全国 · 二卷 · 第 17 题 · 解答题

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116分解析几何★★★★☆
双曲线 C:x2a2−y2b2=1C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a>0a>0，b>0b>0）的左，右焦点分别是 F1F_1，F2F_2，左，右顶点分别为 A1A_1，A2A_2. 以 F1F2F_1F_2 为直径的圆与 CC 的一条渐近线交于 MM，NN 两点，且 ∠NA1M=5π6\angle NA_1M=\frac{5\pi}{6}，则（ ）
A.
∠A1MA2=π6\angle A_1MA_2=\frac{\pi}{6}
B.
∣MA1∣=2∣MA2∣|MA_1|=2|MA_2|
C.
CC 的离心率为 13\sqrt{13}
D.
当 a=2a=\sqrt2 时，四边形 NA1MA2NA_1MA_2 的面积为 838\sqrt3

2025 · 全国 · 二卷 · 第 11 题 · 多选题

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145分立体几何初步★★★★☆
一个底面半径为 4cm4\text{cm}，高为 9cm9\text{cm} 的封闭圆柱形容器内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为______cm\text{cm}.

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1615分解析几何★★★★☆
已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0）的离心率为 22\frac{\sqrt2}{2}，长轴长为 4.
(1) 求 CC 的方程； (2) 过点 (0,−2)(0,-2) 的直线 ll 与 CC 交于 AA，BB 两点，OO 为坐标原点. 若 △OAB\triangle OAB 的面积为 2\sqrt2，求 ∣AB∣|AB|.

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16概率与统计★★★★☆
有 6 个6\text{ 个} 相同的球，分别标有数字 11，22，33，44，55，66，从中不放回地随机抽取 3 次3\text{ 次}，每次取 1 个1\text{ 个} 球. 记 mm 为前两次取出的球上数字的平均值，nn 为取出的三个球上数字的平均值，则 mm 与 nn 差的绝对值不超过 12\dfrac{1}{2} 的概率是______.

2024 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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19立体几何初步★★★★☆
如图，在以 AA，BB，CC，DD，EE，FF 为顶点的五面体中，四边形 ABCDABCD 与四边形 ADEFADEF 均为等腰梯形，BC∥ADBC\parallel AD，EF∥ADEF\parallel AD，AD=4AD=4，AB=BC=EF=2AB=BC=EF=2，ED=10ED=\sqrt{10}，FB=23FB=2\sqrt{3}，MM 为 ADAD 的中点.
(1) 证明：BM∥BM\parallel平面 CDECDE； (2) 求二面角 F−BM−EF-BM-E 的正弦值.

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20解析几何★★★★☆
设椭圆 C:x2a2+y2b2=1C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0）的右焦点为 FF，点 M(1,32)M\left( 1,\dfrac{3}{2} \right) 在 CC 上，且 MF⊥xMF\perp x 轴.
(1) 求 CC 的方程； (2) 过点 P(4,0)P(4,0) 的直线与 CC 交于 AA，BB 两点，NN 为线段 FPFP 的中点，直线 NBNB 交直线 MFMF 于点 QQ，证明：AQ⊥yAQ\perp y 轴.

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21导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=(1−ax)ln⁡(1+x)−xf(x)=(1-ax)\ln(1+x)-x.
(1) 当 a=−2a=-2 时，求 f(x)f(x) 的极值； (2) 当 x≥0x\ge 0 时，f(x)≥0f(x)\ge 0 恒成立，求 aa 的取值范围.

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22解析几何★★★★☆
在平面直角坐标系 xOyxOy 中，以坐标原点 OO 为极点，xx 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 CC 的极坐标方程为 ρ=ρcos⁡θ+1\rho=\rho\cos\theta+1.
(1) 写出 CC 的直角坐标方程； (2) 设直线 ll 的参数方程为
{x=t,y=t+a,\begin{cases} x=t,\\ y=t+a, \end{cases}
（tt 为参数），若 CC 与 ll 相交于 AA，BB 两点，且 ∣AB∣=2|AB|=2，求 aa 的值.

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23不等式★★★★☆
实数 aa，bb 满足 a+b≥3a+b\ge 3.
(1) 证明：2a2+2b2>a+b2a^2+2b^2>a+b； (2) 证明：∣a−2b2∣+∣b−2a2∣≥6|a-2b^2|+|b-2a^2|\ge 6.

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16导数及其应用★★★★☆
当 x>0x>0 时，曲线 y=x3−3xy=x^3-3x 与曲线 y=−(x−1)2+ay=-(x-1)^2+a 有两个交点，则 aa 的取值范围是______.

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19立体几何初步★★★★☆
如图，在以 AA，BB，CC，DD，EE，FF 为顶点的五面体中，四边形 ABCDABCD 与四边形 ADEFADEF 均为等腰梯形，EF∥ADEF\parallel AD，BC∥ADBC\parallel AD，AD=4AD=4，AB=BC=EF=2AB=BC=EF=2，ED=10ED=\sqrt{10}，FB=23FB=2\sqrt3，MM 为 ADAD 的中点.
(1) 证明：BM∥BM\parallel 平面 CDECDE； (2) 求 MM 到平面 FABFAB 的距离.

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20导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=a(x−1)−ln⁡x+1f(x)=a(x-1)-\ln x+1.
(1) 讨论 f(x)f(x) 的单调性； (2) 设 a≤2a\le2，证明：当 x>1x>1 时，f(x)<ex−1f(x)<\mathrm{e}^{x-1}.

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21解析几何★★★★☆
设椭圆 C:x2a2+y2b2=1C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0） 的右焦点为 FF，点 M(1,32)M\left(1,\dfrac32\right) 在 CC 上，且 MF⊥xMF\perp x 轴.
(1) 求 CC 的方程； (2) 过点 P(4,0)P(4,0) 的直线交 CC 于 AA，BB 两点，NN 为线段 FPFP 的中点，直线 NBNB 交直线 MFMF 于点 QQ，证明：AQ⊥yAQ\perp y 轴.

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23不等式★★★★☆
已知实数 aa，bb 满足 a+b≥3a+b\ge3.
(1) 证明：2a2+2b2>a+b2a^2+2b^2>a+b； (2) 证明：∣a−2b2∣+∣b−2a2∣≥6|a-2b^2|+|b-2a^2|\ge6.

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10三角函数★★★★☆
函数 y=f(x)y=f(x) 的图象由函数 y=cos⁡(2x+π6)y=\cos\left( 2x+\frac{\pi}{6} \right) 的图象向左平移 π6\frac{\pi}{6} 个单位长度得到，则 y=f(x)y=f(x) 的图象与直线 y=12x−12y=\frac12x-\frac12 的交点个数为（ ）
A.
1
B.
2
C.
3
D.
4

2023 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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11立体几何初步★★★★☆
已知四棱锥 P−ABCDP-ABCD 的底面是边长为 4 的正方形，PC=PD=3PC=PD=3，∠PCA=45∘\angle PCA=45^\circ，则 △PBC\triangle PBC 的面积为（ ）
A.
222\sqrt{2}
B.
323\sqrt{2}
C.
424\sqrt{2}
D.
626\sqrt{2}

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15立体几何初步★★★★☆
在正方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 中，EE，FF 分别为 ABAB，C1D1C_1D_1 的中点，以 EFEF 为直径的球的球面与该正方体的棱共有______个公共点.

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18立体几何初步★★★★☆
如图，在三棱柱 ABC−A1B1C1ABC-A_1B_1C_1 中，A1C⊥A_1C\perp 底面 ABCABC，∠ACB=90∘\angle ACB=90^\circ，AA1=2AA_1=2，A1A_1 到平面 BCC1B1BCC_1B_1 的距离为 1.
(1) 证明 A1C=ACA_1C=AC； (2) 已知 AA1AA_1 与 BB1BB_1 的距离为 2，求 AB1AB_1 与平面 BCC1B1BCC_1B_1 所成角的正弦值.

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20解析几何★★★★☆
已知直线 x−2y+1=0x-2y+1=0 与抛物线 C:y2=2pxC:y^2=2px（p>0p>0）交于 AA，BB 两点，且 ∣AB∣=415\lvert AB \rvert=4\sqrt{15}.
(1) 求 pp； (2) 设 FF 为 CC 的焦点，MM，NN 为 CC 上两点，FM→⋅FN→=0\overrightarrow{FM}\cdot\overrightarrow{FN}=0，求 △MFN\triangle MFN 面积的最小值.

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12三角函数★★★★☆
函数 y=f(x)y=f(x) 的图象由 y=cos⁡(2x+π6)y=\cos\left(2x+\dfrac{\pi}{6}\right) 的图象向左平移 π6\dfrac{\pi}{6} 个单位长度得到，则 y=f(x)y=f(x) 的图象与直线 y=12x−12y=\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{2} 的交点个数为（ ）
A.
11
B.
22
C.
33
D.
44

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16立体几何初步★★★★☆
在正方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 中，AB=4AB=4，OO 为 AC1AC_1 的中点，若该正方体的棱与球 OO 的球面有公共点，则球 OO 的半径的取值范围是______.

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