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145分立体几何初步★★★★☆
已知球 OO 的体积为 43π4\sqrt{3}\pi，AA，BB，CC，DD 四点均在球 OO 的球面上，△ABC\triangle ABC 为等边三角形，DA=DB=DC=2DA=DB=DC=\sqrt{2}，则 △ABC\triangle ABC 的面积为______.

2026 · 全国 · 二卷 · 第 14 题 · 填空题

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145分立体几何初步★★★★☆
一个底面半径为 4cm4\text{cm}，高为 9cm9\text{cm} 的封闭圆柱形容器内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为______cm\text{cm}.

2025 · 全国 · 二卷 · 第 14 题 · 填空题

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16概率与统计★★★★☆
有 6 个6\text{ 个} 相同的球，分别标有数字 11，22，33，44，55，66，从中不放回地随机抽取 3 次3\text{ 次}，每次取 1 个1\text{ 个} 球. 记 mm 为前两次取出的球上数字的平均值，nn 为取出的三个球上数字的平均值，则 mm 与 nn 差的绝对值不超过 12\dfrac{1}{2} 的概率是______.

2024 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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16导数及其应用★★★★☆
当 x>0x>0 时，曲线 y=x3−3xy=x^3-3x 与曲线 y=−(x−1)2+ay=-(x-1)^2+a 有两个交点，则 aa 的取值范围是______.

2024 · 全国 · 甲卷 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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15立体几何初步★★★★☆
在正方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 中，EE，FF 分别为 ABAB，C1D1C_1D_1 的中点，以 EFEF 为直径的球的球面与该正方体的棱共有______个公共点.

2023 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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16立体几何初步★★★★☆
在正方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 中，AB=4AB=4，OO 为 AC1AC_1 的中点，若该正方体的棱与球 OO 的球面有公共点，则球 OO 的半径的取值范围是______.

2023 · 全国 · 甲卷 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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16三角函数★★★★☆
已知 △ABC\triangle ABC，点 DD 在边 BCBC 上，∠ADB=120∘\angle ADB=120^\circ，AD=2AD=2，CD=2BDCD=2BD. 当 ACAB\frac{AC}{AB} 取得最小值时，BD=BD=______.

2022 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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16三角函数★★★★☆
已知 △ABC\triangle ABC 中，点 DD 在边 BCBC 上，∠ADB=120∘\angle ADB=120^\circ，AD=2AD=2，且 CD=2BDCD=2BD. 当 ACAB\dfrac{AC}{AB} 取得最小值时，BD=BD=______.

2022 · 全国 · 甲卷 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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16三角函数★★★★☆
已知函数 f(x)=2cos⁡(ωx+φ)f(x)=2\cos (\omega x+\varphi) 的部分图像如图所示，则满足条件 (f(x)−f(−7π4))(f(x)−f(4π3))>0\left( f(x)-f\left( -\frac{7\pi}{4} \right) \right)\allowbreak\left( f(x)-f\left( \frac{4\pi}{3} \right) \right)>0 的最小正整数 xx 为______.

2021 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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16解析几何★★★★☆
已知点 M(−1,1)M(-1,1) 和抛物线 C:y2=4xC:y^2=4x，过 CC 的焦点且斜率为 kk 的直线与 CC 交于 AA，BB 两点. 若 ∠AMB=90∘\angle AMB=90^\circ，则 k=‾k=\underline{\hspace{2em}}.

2018 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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15函数与初等函数★★★★☆
在平面直角坐标系中，当 P(x,y)P(x,y) 不是原点时，定义 PP 的“伴随点”为 P′(yx2+y2,−xx2+y2)P'\left(\dfrac{y}{x^2+y^2},-\dfrac{x}{x^2+y^2}\right)；当 PP 是原点时，定义 PP 的“伴随点”为它自身，平面曲线 CC 上所有点的“伴随点”所构成的曲线 C′C' 定义为曲线 CC 的“伴随曲线”. 现有下列命题：
① 若点 AA 的“伴随点”是点 A′A'，则点 A′A' 的“伴随点”是点 AA； ② 单位圆的“伴随曲线”是它自身； ③ 若曲线 CC 关于 xx 轴对称，则其“伴随曲线” C′C' 关于 yy 轴对称； ④ 一条直线的“伴随曲线”是一条直线.
其中的真命题是______. （写出所有真命题的序列）
\begin{solution} 对非原点 P=(x,y)P=(x,y)，记 r2=x2+y2r^2=x^2+y^2，则其伴随点为
P′=(yr2,−xr2)P'=\left(\frac y{r^2},-\frac x{r^2}\right)
再次取伴随点时，因
(yr2)2+(−xr2)2=1r2\left(\dfrac y{r^2}\right)^2+\left(-\dfrac x{r^2}\right)^2=\dfrac1{r^2}
有
(P′)′=(−x,−y)≠(x,y)(P')'=\left(-x,-y\right)\neq(x,y)
一般并不成立.例如 (1,0)(1,0) 的伴随点为 (0,−1)(0,-1)，而 (0,−1)(0,-1) 的伴随点为 (−1,0)(-1,0)，所以命题 \circled1\circled{1} 错误.
若 PP 在单位圆上，则 r2=1r^2=1，其伴随点为 (y,−x)(y,-x)，仍在单位圆上；该变换在单位圆上是旋转，且为双射，所以单位圆的伴随曲线仍是单位圆，命题 \circled2\circled{2} 正确.
若 CC 关于 xx 轴对称，则 (x,y)∈C(x,y)\in C 时 (x,−y)∈C(x,-y)\in C.这两个点的伴随点分别为 (yx2+y2,−xx2+y2)\left(\frac y{x^2+y^2},-\frac x{x^2+y^2}\right)，(−yx2+y2,−xx2+y2)\left(-\frac y{x^2+y^2},-\frac x{x^2+y^2}\right) 它们关于 yy 轴对称，所以命题 \circled3\circled{3} 正确.
命题 \circled4\circled{4} 错误.例如直线 y=1y=1 上的三个点 (0,1)(0,1)、(1,1)(1,1)、(2,1)(2,1) 的伴随点分别为 (1,0)(1,0)，(12,−12)\left(\dfrac12,-\dfrac12\right)，(15,−25)\left(\dfrac15,-\dfrac25\right). 前两点连线斜率为 11，后两点连线斜率为 −13-\dfrac13，三点不共线.因此所有真命题的序列为 \circled2\circled3\circled{2}\circled{3}. \end{solution}

2016 · 四川 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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15函数与初等函数★★★★☆
在平面直角坐标系中，当 P(x,y)P(x,y) 不是原点时，定义 PP 的“伴随点”为 P′ ⁣(yx2+y2,−xx2+y2)P'\!\left( \dfrac{y}{x^2+y^2},-\dfrac{x}{x^2+y^2} \right)；当 PP 是原点时，定义 PP 的“伴随点”为它自身. 平面曲线 CC 上所有点的“伴随点”所构成的曲线 C′C' 定义为曲线 CC 的“伴随曲线”，现有下列命题：
① 若点 AA 的“伴随点”是点 A′A'，则点 A′A' 的“伴随点”是点 AA； ② 单位圆上的“伴随点”仍在单位圆上； ③ 若两点关于 xx 轴对称，则他们的“伴随点”关于 yy 轴对称； ④ 若三点在同一条直线上，则他们的“伴随点”一定共线.
其中的真命题是______. （写出所有真命题的序列）

2016 · 四川 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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14立体几何初步★★★★☆
如图，四边形 ABCDABCD 和 ADPQADPQ 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点 MM 在线段 PQPQ 上，EE，FF 分别为 ABAB，BCBC 的中点. 设异面直线 EMEM 与 AFAF 所成的角为 θ\theta，则 cos⁡θ\cos \theta 的最大值为______.
\begin{solution} 设两个正方形的边长均为 s>0s>0，建立直角坐标系，使 A=(0,0,0)A=(0,0,0)，B=(s,0,0)B=(s,0,0)，D=(0,s,0)D=(0,s,0)，C=(s,s,0)C=(s,s,0)，Q=(0,0,s)Q=(0,0,s)，P=(0,s,s)P=(0,s,s). 则 E=(s2,0,0)E=\left(\frac s2,0,0\right)，F=(s,s2,0)F=\left(s,\frac s2,0\right). 设 M=(0,t,s)M=(0,t,s)，其中 0⩽t⩽s0\leqslant t\leqslant s.
取 EMEM 和 AFAF 的方向向量，得 EM→=(−s2,t,s)\overrightarrow{EM}=\left(-\frac s2,t,s\right)，AF→=(s,s2,0)\overrightarrow{AF}=\left(s,\frac s2,0\right). 因而
cos⁡θ=∣EM→⋅AF→∣∣EM→∣∣AF→∣=∣t−s∣554s2+t2\cos\theta=\frac{\left\lvert\overrightarrow{EM}\cdot\overrightarrow{AF}\right\rvert}{\lvert\overrightarrow{EM}\rvert\lvert\overrightarrow{AF}\rvert} =\frac{\left\lvert t-s\right\rvert}{\sqrt5\sqrt{\frac54s^2+t^2}}
令 u=tsu=\dfrac ts，则 0⩽u⩽10\leqslant u\leqslant1，从而
cos⁡2θ=(1−u)25(54+u2)⩽425\cos^2\theta=\frac{(1-u)^2}{5\left(\frac54+u^2\right)}\leqslant\frac4{25}
其中不等式等价于 u2−10u⩽0u^2-10u\leqslant0. 当 u=0u=0，即 t=0t=0 时等号成立，所以 cos⁡θ\cos\theta 的最大值为 25\dfrac25. \end{solution}

2015 · 四川 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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15函数与初等函数★★★★☆
已知函数 f(x)=2xf(x) = 2^x，g(x)=x2+axg(x) = x^2 + ax（其中 a∈Ra \in \mathbf{R}）. 对于不相等的实数 x1x_1，x2x_2，设 m=f(x1)−f(x2)x1−x2m = \frac{f(x_1) - f(x_2)}{x_1 - x_2}，n=g(x1)−g(x2)x1−x2n = \frac{g(x_1) - g(x_2)}{x_1 - x_2}，现有如下命题：
① 对于任意不相等的实数 x1x_{1}，x2x_{2}，都有 m>0m > 0； ② 对于任意的 aa 及任意不相等的实数 x1x_{1}，x2x_{2}，都有 n>0n > 0； ③ 对于任意的 aa，存在不相等的实数 x1x_{1}，x2x_{2}，使得 m=nm = n； ④ 对于任意的 aa，存在不相等的实数 x1x_{1}，x2x_{2}，使得 m=−nm = -n.
其中的真命题有______. （写出所有真命题的序号）
\begin{solution} 先化简
n=x12−x22+a(x1−x2)x1−x2=x1+x2+an=\frac{x_1^2-x_2^2+a(x_1-x_2)}{x_1-x_2}=x_1+x_2+a
因为 2x2^x 在 R\mathbf{R} 上严格递增，所以 x1≠x2x_1\ne x_2 时 m>0m>0，命题 1 为真. 命题 2 不真，例如取 a=0a=0，x1=−2x_1=-2，x2=−1x_2=-1，则 n=−3<0n=-3<0.
命题 3 也不真. 取 a=−10a=-10，记 s=x1+x2s=x_1+x_2，d=x1−x2≠0d=x_1-x_2\ne0，则
m=2s22d2−2−d2d>(ln⁡2)2s2m=2^{\frac{s}{2}}\frac{2^{\frac{d}{2}}-2^{-\frac{d}{2}}}{d}>(\ln2)2^{\frac{s}{2}}
若 s⩽10s\leqslant10，则 n=s−10⩽0<mn=s-10\leqslant0<m. 若 s>10s>10，函数 (ln⁡2)2s2−(s−10)(\ln2)2^{\frac{s}{2}}-(s-10) 的导数在 [10,+∞)[10,+\infty) 上为正，因此该函数递增且在 s=10s=10 时为正，所以仍有 m>s−10=nm>s-10=n，不可能 m=nm=n.
对于命题 4，固定取 x1=t+1x_1=t+1，x2=t−1x_2=t-1，则 m=34 2tm=\dfrac34\,2^t，n=2t+an=2t+a. 函数 h(t)=34 2t+2t+ah(t)=\dfrac34\,2^t+2t+a 连续，且当 t→−∞t\to-\infty 时 h(t)→−∞h(t)\to-\infty，当 t→+∞t\to+\infty 时 h(t)→+∞h(t)\to+\infty. 由介值定理，存在 tt 使 h(t)=0h(t)=0，即 m=−nm=-n，命题 4 为真. 所以真命题的序号为 \circled1\circled4\circled{1}\circled{4}. \end{solution}

2015 · 四川 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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15函数与初等函数★★★★☆
已知函数 f(x)=2xf(x) = 2^x，g(x)=x2+axg(x) = x^2 + ax（其中 a∈Ra \in \mathbf{R}）. 对于不相等的实数 x1x_1，x2x_2，设 m=f(x1)−f(x2)x1−x2m = \frac{f(x_1) - f(x_2)}{x_1 - x_2}，n=g(x1)−g(x2)x1−x2n = \frac{g(x_1) - g(x_2)}{x_1 - x_2}，现有如下命题：
① 对于任意不相等的实数 x1x_1，x2x_2，都有 m>0m > 0； ② 对于任意的 aa 及任意不相等的实数 x1x_1，x2x_2，都有 n>0n > 0； ③ 对于任意的 aa，存在不相等的实数 x1x_1，x2x_2，使得 m=nm = n； ④ 对于任意的 aa，存在不相等的实数 x1x_1，x2x_2，使得 m=−nm = -n.
其中的真命题有______（写出所有真命题的序号）.

2015 · 四川 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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14解析几何★★★★☆
设 m∈Rm \in \mathbf{R}，过定点 AA 的动直线 x+my=0x + my = 0 和过定点 BB 的动直线 mx−y−m+3=0mx - y - m + 3 = 0 交于点 P(x,y)P(x, y)，则 ∣PA∣⋅∣PB∣|PA| \cdot |PB| 的最大值是______.

2014 · 四川 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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15函数与初等函数★★★★☆
以 AA 表示值域为 R\mathbf{R} 的函数组成的集合，BB 表示具有如下性质的函数 φ(x)\varphi(x) 组成的集合：对于函数 φ(x)\varphi(x)，存在一个正数 MM，使得函数 φ(x)\varphi(x) 的值域包含于区间 [−M,M][-M, M]. 例如，当 φ1(x)=x3\varphi_1(x) = x^3，φ2(x)=sin⁡x\varphi_2(x) = \sin x 时，φ1(x)∈A\varphi_1(x) \in A，φ2(x)∈B\varphi_2(x) \in B. 现有如下命题：
① 设函数 f(x)f(x) 的定义域为 DD，则“f(x)∈Af(x) \in A”的充要条件是“∀b∈R\forall b \in \mathbf{R}，∃a∈D\exists a \in D，f(a)=bf(a)=b”； ② 函数 f(x)∈Bf(x) \in B 的充要条件是 f(x)f(x) 有最大值和最小值； ③ 若函数 f(x)f(x)，g(x)g(x) 的定义域相同，且 f(x)∈Af(x) \in A，g(x)∈Bg(x) \in B，则 f(x)+g(x)∉Bf(x) + g(x) \notin B； ④ 若函数 f(x)=aln⁡(x+2)+xx2+1f(x) = a\ln(x + 2) + \frac{x}{x^{2} + 1}（x>−2x > -2，a∈Ra \in \mathbf{R}）有最大值，则 f(x)∈Bf(x) \in B.
其中的真命题有______.（写出所有真命题的序号）

2014 · 四川 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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15函数与初等函数★★★★☆
以 AA 表示值域为 R\mathbf{R} 的函数组成的集合，BB 表示具有如下性质的函数 φ(x)\varphi(x) 组成的集合：对于函数 φ(x)\varphi(x)，存在一个正数 MM，使得函数 φ(x)\varphi(x) 的值域包含于区间 [−M,M][-M, M]. 例如，当 φ1(x)=x3\varphi_{1}(x) = x^{3}，φ2(x)=sin⁡x\varphi_{2}(x) = \sin x 时，φ1(x)∈A\varphi_{1}(x) \in A，φ2(x)∈B\varphi_{2}(x) \in B. 现有如下命题：
① 设函数 f(x)f(x) 的定义域为 DD，则“f(x)∈Af(x) \in A”的充要条件是“∀b∈R\forall b \in \mathbf{R}，∃a∈D\exists a \in D，f(a)=bf(a)=b”； ② 函数 f(x)∈Bf(x) \in B 的充要条件是 f(x)f(x) 有最大值和最小值； ③ 若函数 f(x)f(x)，g(x)g(x) 的定义域相同，且 f(x)∈Af(x) \in A，g(x)∈Bg(x) \in B，则 f(x)+g(x)∉Bf(x)+g(x) \notin B； ④ 若函数 f(x)=aln⁡(x+2)+xx2+1f(x) = a\ln(x + 2) + \frac{x}{x^{2} + 1}（x>−2x > -2，a∈Ra \in \mathbf{R}）有最大值，则 f(x)∈Bf(x) \in B.
其中的真命题有______.（写出所有真命题的序号） \begin{answer} \circled1\circled3\circled4\circled{1}\circled{3}\circled{4} \end{answer}
\begin{solution} 命题 1 直接是值域为 R\mathbf{R} 的定义，因此命题 1 为真.
命题 2 中，函数有最大值和最小值可以推出值域有界，但有界函数不一定取得最大值和最小值. 例如 f(x)=arctan⁡xf(x)=\arctan x 的值域为 (−π2,π2)\left(-\frac\pi2,\frac\pi2\right)，有界却没有最大值和最小值，因此命题 2 为假.
命题 3 中，设 g(x)g(x) 的值域包含于 [−M,M][-M,M]. 对任意正数 KK，由于 f(x)f(x) 的值域为 R\mathbf{R}，存在 xx 使 f(x)>K+Mf(x)>K+M，于是 f(x)+g(x)>Kf(x)+g(x)>K. 因而 f+gf+g 无上界，不能属于 BB，命题 3 为真.
命题 4 中，若 a>0a>0，则 aln⁡(x+2)→+∞a\ln(x+2)\to+\infty（x→+∞x\to+\infty），函数不可能有最大值；若 a<0a<0，则 aln⁡(x+2)→+∞a\ln(x+2)\to+\infty（x→−2+x\to-2^+），函数同样不可能有最大值. 因此函数有最大值时只能有 a=0a=0，此时 f(x)=xx2+1f(x)=\frac{x}{x^2+1}，且 ∣xx2+1∣⩽12\left|\frac{x}{x^2+1}\right|\leqslant\frac12，所以 f(x)∈Bf(x)\in B. 命题 4 为真.
所以真命题的序号为 11，33，44. \end{solution}

2014 · 四川 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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15平面向量★★★★☆
设 P1P_1，P2P_2，⋯\cdots，PnP_n 为平面 α\alpha 内的 nn 个点，在平面 α\alpha 内的所有点中，若点 PP 到 P1P_1，P2P_2，⋯\cdots，PnP_n 点的距离之和最小，则称点 PP 为 P1P_1，P2P_2，⋯\cdots，PnP_n 点的一个“中位点”. 例如，线段 ABAB 上的任意点都是端点 AA，BB 的中位点. 则有下列命题：
① 若三个点 AA，BB，CC 共线，CC 在线段 ABAB 上，则 CC 是 AA，BB，CC 的中位点； ② 直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点； ③ 若四个点 AA，BB，CC，DD 共线，则它们的中位点存在且唯一； ④ 梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点.
其中的真命题是______.（写出所有真命题的序号）

2013 · 四川 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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15解析几何★★★★☆
椭圆 x24+y23=1\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1 的左焦点为 FF，直线 x=mx = m 与椭圆相交于点 AA，BB. 当 △FAB\triangle FAB 的周长最大时，△FAB\triangle FAB 的面积是______.

2012 · 四川 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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15解析几何★★★★☆
椭圆 x2a2+y25=1\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{5} = 1（aa 为定值，且 a>5a > \sqrt{5}）的左焦点为 FF，直线 x=mx = m 与椭圆相交于点 AA，BB，△FAB\triangle FAB 的周长的最大值是 12，则该椭圆的离心率是______.

2012 · 四川 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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16不等式★★★★☆
设 aa，bb 为正实数. 现有下列命题：
① 若 a2−b2=1a^2 - b^2 = 1，则 a−b<1a - b < 1； ② 若 1b−1a=1\frac{1}{b} -\frac{1}{a} = 1，则 a−b<1a - b < 1； ③ 若 ∣a−b∣=1|\sqrt{a} - \sqrt{b}| = 1，则 ∣a−b∣<1|a - b| < 1； ④ 若 ∣a3−b3∣=1|a^3 - b^3| = 1，
则 ∣a−b∣<1|a - b| < 1. 其中的真命题有______（写出所有真命题的编号）.

2012 · 四川 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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16平面向量★★★★☆
设 VV 是已知平面 MM 上所有向量的集合. 对于映射 f:V→Vf: V \to V，a∈V\boldsymbol{a} \in V，记 a\boldsymbol{a} 的象为 f(a)f(\boldsymbol{a}). 若映射 f:V→Vf: V \to V 满足：对所有 a\boldsymbol{a}，b∈V\boldsymbol{b} \in V 及任意实数 λ\lambda，μ\mu 都有 f(λa+μb)=λf(a)+μf(b)f(\lambda\boldsymbol{a} + \mu\boldsymbol{b}) = \lambda f(\boldsymbol{a}) + \mu f(\boldsymbol{b})，则 ff 称为平面 MM 上的线性变换. 现有下列命题：
① 设 ff 是平面 MM 上的线性变换，则 f(a+b)=f(a)+f(b)f(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}) = f(\boldsymbol{a}) + f(\boldsymbol{b})； ② 若 e\boldsymbol{e} 是平面 MM 上的单位向量，对 a∈V\boldsymbol{a} \in V，设 f(a)=a+ef(\boldsymbol{a}) = \boldsymbol{a} + \boldsymbol{e}，则 ff 是平面 MM 上的线性变换； ③ 对 a∈V\boldsymbol{a} \in V，设 f(a)=−af(\boldsymbol{a}) = -\boldsymbol{a}，则 ff 是平面 MM 上的线性变换； ④ 设 ff 是平面 MM 上的线性变换，a∈V\boldsymbol{a} \in V，则对任意实数 kk 均有 f(ka)=kf(a)f(k\boldsymbol{a}) = kf(\boldsymbol{a}).
其中真命题是______.（写出所有真命题的序号）

2009 · 四川 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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