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09高考真题5分解析几何★★★★☆
已知双曲线 x2a2−y2b2=1\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 (a>0,b>0a > 0, b > 0) 的左焦点为 FF， AA 是右顶点，PP 是双曲线上一点，满足 ∣FA∣=∣FP∣|FA| = |FP|，∠FAP=30∘\angle FAP = 30^\circ，则双曲线离心率为（ ）
A.
4
B.
8
C.
3\sqrt{3}
D.
43\frac{4}{3}

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14高考真题5分平面向量★★★★☆
已知 ∣a⃗∣=a⃗⋅b⃗=1|\vec{a}| = \vec{a} \cdot \vec{b} = 1，∣b⃗∣>1|\vec{b}| > 1，记 c⃗=λa⃗+μb⃗\vec{c} = \lambda\vec{a} + \mu\vec{b}。当 a⃗+b⃗−c⃗=0⃗\vec{a} + \vec{b} - \vec{c} = \vec{0} 时，λ+μ=\lambda + \mu = ______，当 ∣a⃗+b⃗−c⃗∣=1|\vec{a} + \vec{b} - \vec{c}| = 1 时，λ+μ\lambda + \mu 的取值范围为 ______。

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17高考真题15分立体几何初步★★★★☆
在长方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD - A_1B_1C_1D_1 中，AB=2AB = 2，AA1=3AA_1 = 3，AD=4AD = 4，A1E=3ED1A_1E = 3ED_1，2C1F=FC2C_1F = FC。
(1) 求证：BA1⊥面AEFBA_1 \perp \text{面} AEF；
(2) 求面 AEFAEF 与面 ABCABC 的夹角的余弦值；
(3) 求三棱锥 A−A1EFA - A_1EF 的体积。

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18高考真题17分解析几何★★★★☆
已知椭圆 A:x2a2+y2b2=1A: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 (a>b>0a > b > 0) 的离心率为 12\frac{1}{2}，椭圆被直线 x=bx = b 截得的线段长为 3\sqrt{3}。
(1) 求 AA 的标准方程；
(2) 斜率为 −3-\sqrt{3} 的直线与圆 x2+y2=b2x^2 + y^2 = b^2 相切，且该直线交椭圆于 P(x1,y1),Q(x2,y2)P(x_1, y_1), Q(x_2, y_2) (y1<y2y_1 < y_2)，AA 是椭圆的上顶点。记直线 AP,AQAP, AQ 的斜率分别为 k1,k2k_1, k_2，求 k1k2\frac{k_1}{k_2}。

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09高考真题5分解析几何★★★★☆
已知双曲线 x2a2−y2b2=1\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 (a>0,b>0a > 0, b > 0) 的左、右焦点分别为 F1F_1 和 F2F_2, 以 F2F_2 为焦点的抛物线 y2=2pxy^2 = 2px (p>0p > 0) 与双曲线在第一象限的交点为 PP。若 ∣PF1∣+∣PF2∣=3∣F1F2∣|PF_1| + |PF_2| = 3|F_1F_2|, 则双曲线的离心率为 （ ）
A.
22
B.
5\sqrt{5}
C.
2+12\frac{\sqrt{2} + 1}{2}
D.
5+12\frac{\sqrt{5} + 1}{2}

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15高考真题5分不等式★★★★☆
已知 a,b∈Ra, b \in \mathbb{R}, 且 (2a+b)x2+bx−a−1≤0(2a + b)x^2 + bx - a - 1 \le 0 对任意 x∈[−2,2]x \in [-2, 2] 成立, 则 2a+b2a + b 的最小值为______。

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17高考真题15分立体几何初步★★★★☆
已知正方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 的棱长为 44, E,FE, F 分别为 A1D1A_1D_1 和 B1C1B_1C_1 的中点, GG 在线段 CC1CC_1 上, 且 CG=3GC1CG = 3GC_1。
(1) 求证: GF⊥GF \perp 平面 EBFEBF;
(2) 求平面 EBFEBF 和平面 EBGEBG 夹角的余弦值;
(3) 求三棱锥 D−EBFD-EBF 的体积。

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18高考真题15分解析几何★★★★☆
已知椭圆 x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 (a>b>0a > b > 0) 的离心率为 12\frac{1}{2}, 左焦点为 FF, 右顶点为 AA, 点 PP 在直线 x=ax = a 上, 直线 FPFP 的斜率为 13\frac{1}{3}, △PFA\triangle PFA 的面积为 32\frac{3}{2}。
(1) 求椭圆的方程;
(2) 若过 PP 的直线与椭圆有唯一公共点 BB (BB 异于 AA), 求证: FPFP 平分 ∠AFB\angle AFB。

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19高考真题15分数列★★★★☆
已知等差数列 {an}\{a_n\} 和等比数列 {bn}\{b_n\} 满足 a1=b1=2a_1 = b_1 = 2, a2=b2+1a_2 = b_2 + 1, a3=b3a_3 = b_3。
(1) 求 {an}\{a_n\} 和 {bn}\{b_n\} 的通项公式;
(2) 给定 n∈N∗n \in \mathbb{N}^*, 记集合 I={0,1}I = \{0, 1\}, 集合 Tn={p1a1b1+p2a2b2+⋯+pnanbn∣p1,p2,⋯ ,pn∈I}T_n = \{p_1a_1b_1 + p_2a_2b_2 + \cdots + p_na_nb_n \mid p_1, p_2, \cdots, p_n \in I\}。
① 求证: 对任意的 t∈Tnt \in T_n, 有 t<an+1bn+1t < a_{n+1}b_{n+1};
② 求 TnT_n 中所有元素之和。

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09高考真题5分导数及其应用★★★★☆
已知 f(x)=x3+ax2+bx+cf(x) = x^3 + ax^2 + bx + c, 若 f(x)f(x) 有三个零点, 且 f(0)=f(2)=0f(0) = f(2) = 0, 则 a+b+c=a+b+c = （ ）
A.
66
B.
44
C.
22
D.
00

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15高考真题5分导数及其应用★★★★☆
函数 f(x)=ax3−3x+1f(x) = ax^3 - 3x + 1 在 x∈[−1,1]x \in [-1, 1] 上 f(x)≥0f(x) \ge 0 恒成立, 则 a=a =______。

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17高考真题15分立体几何初步★★★★☆
如图, 直三棱柱 ABC−A1B1C1ABC-A_1B_1C_1, AB=AC=AA1=2AB=AC=AA_1=2, ∠BAC=120∘\angle BAC=120^\circ。
(1) 证 A1C⊥BC1A_1C \perp BC_1;
(2) 求 A1BA_1B 与平面 BB1C1CBB_1C_1C 所成角正弦。

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18高考真题15分解析几何★★★★☆
椭圆 x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1, A(−a,0)A(-a,0), 右焦点 FF, PP 在 yy 轴上, △APF\triangle APF 为正三角形。
(1) 求离心率;
(2) 过 FF 的直线交椭圆于 M,NM,N, △AMN\triangle AMN 面积最大时求直线方程。

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19高考真题15分数列★★★★☆
等差数列 {an}\{a_n\} 前 nn 项和 SnS_n, a1=1a_1=1, 公差 d>0d>0, a2,a5,a14a_2,a_5,a_{14} 成等比。
(1) 求 {an}\{a_n\} 通项及 SnS_n;
(2) 证 ∑k=1n1Sk<32\sum_{k=1}^n \frac{1}{S_k} < \frac{3}{2}。

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