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14平面向量★★★★☆
已知 ∣a∣=a⋅b=1|\boldsymbol{a}|=\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b}=1，∣b∣>1|\boldsymbol{b}|>1，记 c=λa+μb\boldsymbol{c}=\lambda \boldsymbol{a}+\mu \boldsymbol{b}. 当 a+b−c=0\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c}=0 时，λ+μ=‾\lambda+\mu=\underline{\hspace{2em}}；当 ∣a+b−c∣=1|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c}|=1 时，λ+μ\lambda+\mu 的取值范围为______.

2026 · 天津 · 第 14 题 · 填空题

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15解析几何★★★★☆
在平面内，OO 为坐标原点，抛物线 y2=2xy^2=2x 上有 AA，BB，CC，DD 四个点，AA，BB，CC，DD 的纵坐标分别为 yAy_A，yBy_B，yCy_C，yDy_D，直线 ABAB 与直线 CDCD 交 xx 轴于点 PP，直线 ACAC 交 xx 轴于点 MM，直线 BDBD 交 xx 轴于点 NN，以下说法正确的有______.
① 若 PP 与抛物线焦点重合，则 yAyB=−2y_Ay_B=-2； ② yAyB=yCyDy_Ay_B=y_Cy_D； ③ ∣OM∣∣ON∣=2∣OP∣2|OM||ON|=2|OP|^2； ④ ∣yA−yC∣∣OP∣=∣yB−yD∣∣OM∣\left| y_A-y_C \right||OP|=\left| y_B-y_D \right||OM|； ⑤ S△ACPS△BDP=(∣OM∣∣ON∣)2\frac{S_{\triangle ACP}}{S_{\triangle BDP}}=\left( \frac{|OM|}{|ON|} \right)^2

2026 · 天津 · 第 15 题 · 填空题

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15不等式★★★★☆
若 aa，b∈Rb\in\mathbf{R}，对任意 x∈[−2,2]x\in[-2,2]，都有 (2a+b)x2+bx−a−1≤0(2a+b)x^2+bx-a-1\le0，则 2a+b2a+b 的最小值为 ‾\underline{\hspace{2em}}.

2025 · 天津 · 第 15 题 · 填空题

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14平面向量★★★★☆
在 △ABC\triangle ABC 中，∠A=60∘\angle A=60^\circ，BC=1BC=1，点 DD 为 ABAB 的中点，点 EE 为 CDCD 的中点. 若设 AB→=a\overrightarrow{AB}=\boldsymbol{a}，AC→=b\overrightarrow{AC}=\boldsymbol{b}，则 AE→\overrightarrow{AE} 可用 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 表示为______；若 BF→=13BC→\overrightarrow{BF}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BC}，则 AE→⋅AF→\overrightarrow{AE}\cdot \overrightarrow{AF} 的最大值为______.

2023 · 天津 · 第 14 题 · 填空题

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15函数与初等函数★★★★☆
若函数 f(x)=ax2−2x−∣x2−ax+1∣f(x)=ax^2-2x-\left| x^2-ax+1 \right| 有且仅有两个零点，则 aa 的取值范围为______.

2023 · 天津 · 第 15 题 · 填空题

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14平面向量★★★★☆
在 △ABC\triangle ABC 中，点 DD 为 ACAC 的中点，点 EE 满足 CB→=2BE→\overrightarrow{CB}=2\overrightarrow{BE}. 记 CA→=a\overrightarrow{CA}=\boldsymbol{a}，CB→=b\overrightarrow{CB}=\boldsymbol{b}，用 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 表示 DE→=\overrightarrow{DE}=______；若 AB→⊥DE→\overrightarrow{AB}\perp\overrightarrow{DE}，则 ∠ACB\angle ACB 的最大值为______.

2022 · 天津 · 第 14 题 · 填空题

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15函数与初等函数★★★★☆
设 a∈Ra\in\mathbf{R}，对任意实数 xx，记 f(x)f(x) 表示 ∣x∣−2|x|-2，x2−ax+3a−5x^2-ax+3a-5 中的较小者. 若函数 f(x)f(x) 至少有 3 个零点，则 aa 的取值范围为______.

2022 · 天津 · 第 15 题 · 填空题

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14函数与初等函数★★★★☆
已知 a>0a>0，函数
f(x)={x2+2ax+a,x≤0,−x2+2ax−2a,x>0f(x)=\begin{cases} x^2+2ax+a, & x\le0,\\ -x^2+2ax-2a, & x>0 \end{cases}
若关于 xx 的方程 f(x)=axf(x)=ax 恰有 2 个互异的实数解，则 aa 的取值范围是______.

2018 · 天津 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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14函数与初等函数★★★★☆
已知 a∈Ra\in\mathbf{R}，函数
f(x)={x2+2x+a−2,x≤0,−x2+2x−2a,x>0.f(x)=\begin{cases} x^2+2x+a-2, & x\le0,\\ -x^2+2x-2a, & x>0. \end{cases}
若对任意 x∈[−3,+∞)x\in[-3,+\infty)，f(x)≤∣x∣f(x)\le|x| 恒成立，则 aa 的取值范围是______.

2018 · 天津 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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12不等式★★★★☆
若 aa，b∈Rb\in\mathbf{R}，ab>0ab>0，则 a4+4b4+1ab\dfrac{a^4+4b^4+1}{ab} 的最小值为______.

2017 · 天津 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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13不等式★★★★☆
若 aa，b∈Rb\in\mathbf{R}，ab>0ab>0，则 a4+4b4+1ab\dfrac{a^4+4b^4+1}{ab} 的最小值为______.

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14解析几何★★★★☆
设抛物线
{x=2pt2,y=2pt,\begin{cases} x=2pt^2,\\ y=2pt, \end{cases}
（tt 为参数，p>0p>0） 的焦点为 FF，准线为 ll. 过抛物线上一点 AA 作 ll 的垂线，垂足为 BB. 设 C(72p,0)C\left(\dfrac72p,0\right)，AFAF 与 BCBC 相交于点 EE. 若 ∣CF∣=2∣AF∣\lvert CF\rvert=2\lvert AF\rvert，且 △ACE\triangle ACE 的面积为 323\sqrt2，则 pp 的值为______.

2016 · 天津 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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14平面向量★★★★☆
在等腰梯形 ABCDABCD 中，已知 AB∥DCAB \parallel DC，AB=2AB = 2，BC=1BC = 1，∠ABC=60∘\angle ABC = 60^\circ. 动点 EE 和 FF 分别在线段 BCBC 和 DCDC 上，且 BE→=λBC→\overrightarrow{BE} = \lambda \overrightarrow{BC}，DF→=19λDC→\overrightarrow{DF} = \frac{1}{9\lambda}\overrightarrow{DC}，则 AE→⋅AF→\overrightarrow{AE} \cdot \overrightarrow{AF} 的最小值为______.

2015 · 天津 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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14三角函数★★★★☆
已知函数 f(x)=sin⁡ωx+cos⁡ωxf(x) = \sin \omega x + \cos \omega x（ω>0\omega > 0），x∈Rx \in \mathbf{R}. 若函数 f(x)f(x) 在区间 (−ω,ω)(- \omega, \omega) 内单调递增，且函数 y=f(x)y = f(x) 的图象关于直线 x=ωx = \omega 对称，则 ω\omega 的值为______.

2015 · 天津 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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14函数与初等函数★★★★☆
已知函数 f(x)=∣x2+3x∣f(x) = |x^2 + 3x|，x∈Rx \in \mathbf{R}. 若方程 f(x)−a∣x−1∣=0f(x) - a|x - 1| = 0 恰有 4 个互异的实数根，则实数 aa 的取值范围为______.

2014 · 天津 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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14函数与初等函数★★★★☆
已知函数
f(x)={∣x2+5x+4∣,x⩽0,2∣x−2∣,x>0f(x) = \begin{cases} |x^2 + 5x + 4|, & x \leqslant 0,\\ 2|x - 2|, & x > 0 \end{cases}
若函数 y=f(x)−a∣x∣y = f(x) - a|x| 恰有 44 个零点，则实数 aa 的取值范围为______.

2014 · 天津 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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14导数及其应用★★★★☆
设 a+b=2a + b = 2，b>0b > 0，则当 a=‾a =\underline{\hspace{2em}} 时，12∣a∣+∣a∣b\frac{1}{2|a|} + \frac{|a|}{b} 取得最小值.

2013 · 天津 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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14不等式★★★★☆
设 a+b=2a + b = 2，b>0b > 0，则 12∣a∣+∣a∣b\frac{1}{2|a|} + \frac{|a|}{b} 的最小值为______.

2013 · 天津 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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14函数与初等函数★★★★☆
已知函数 y=∣x2−1∣x−1y = \frac{|x^2 - 1|}{x - 1} 的图象与函数 y=kx−2y = kx - 2 的图象恰有两个交点，则实数 kk 的取值范围是______.

2012 · 天津 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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14函数与初等函数★★★★☆
已知函数 y=∣x2−1∣x−1y = \frac{|x^2 - 1|}{x - 1} 的图象与函数 y=kxy = kx 的图象恰有两个交点，则实数 kk 的取值范围是______.

2012 · 天津 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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14平面向量★★★★☆
已知直角梯形 ABCDABCD 中，AD∥BCAD \parallel BC，∠ADC=90∘\angle ADC = 90^{\circ}，AD=2AD = 2，BC=1BC = 1，PP 是腰 DCDC 上的动点，则 ∣PA→+3PB→∣\left|\overrightarrow{PA} + 3\overrightarrow{PB}\right| 的最小值为______. \begin{answer} 55 \end{answer}
\begin{solution} 建立直角坐标系，令 D=(0,0)D=(0,0)，C=(0,h)C=(0,h)，A=(2,0)A=(2,0)，B=(1,h)B=(1,h) 其中 h>0h>0. 设
Q=A+3B4=(54,3h4)Q=\frac{A+3B}{4} =\left(\frac54,\frac{3h}{4}\right)
对任意 P∈DCP\in DC，
PA→+3PB→=(A−P)+3(B−P)=4(Q−P)\overrightarrow{PA}+3\overrightarrow{PB} =(A-P)+3(B-P) =4(Q-P)
点 QQ 到直线 DCDC 的垂足为 (0,3h4)(0,3\frac{h}{4})，属于线段 DCDC，所以 PQPQ 的最小值为 54\frac{5}{4}. 因而
min⁡∣PA→+3PB→∣=4min⁡PQ=4⋅54=5\min\left|\overrightarrow{PA}+3\overrightarrow{PB}\right| =4\min PQ=4\cdot\frac54=5
\end{solution}

2011 · 天津 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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16不等式★★★★☆
设函数 f(x)=x2−1f(x) = x^2 - 1，对任意 x∈[32,+∞)x \in \left[\frac{3}{2}, +\infty\right)，f(xm)−4m2f(x)⩽f(x−1)+4f(m)f\left(\frac{x}{m}\right) - 4m^2f(x) \leqslant f(x - 1) + 4f(m) 恒成立，则实数 mm 的取值范围是______. \begin{answer} (−∞,−32]∪[32,+∞)\left(-\infty,-\frac{\sqrt{3}}{2}\right]\cup\left[\frac{\sqrt{3}}{2},+\infty\right) \end{answer} \begin{solution} 因题中含有 f(xm)f(\frac{x}{m})，必须有 m≠0m\ne0. 将 f(x)=x2−1f(x)=x^2-1 代入不等式并移项，得 Qm(x):=(1m2−4m2−1)x2+2x+3≤0Q_m(x):=\left(\frac1{m^2}-4m^2-1\right)x^2+2x+3\le0，x≥32x\ge\frac32. 记 Am=1m2−4m2−1A_m=\dfrac1{m^2}-4m^2-1. 若 Am≥0A_m\ge0，则 Qm(x)Q_m(x) 在充分大的 xx 处为正，不可能恒成立. 设 Am<0A_m<0. 若二次函数顶点 −1Am≥32-\frac{1}{A_m}\ge\frac{3}{2}，则其在定义区间内的最大值为
Qm(−1Am)=3−1Am>0Q_m\left(-\frac1{A_m}\right)=3-\frac1{A_m}>0
仍不可能恒成立. 所以顶点必须在区间左侧. 此时对 x≥32x\ge\frac{3}{2} 有 Qm′(x)=2Amx+2<0Q_m'(x)=2A_mx+2<0，故 QmQ_m 在该区间上递减，只需令端点处的最大值不大于零： Qm(32)=94Am+6≤0Q_m\left(\frac32\right)=\frac94A_m+6\le0，Am≤−83A_m\le-\frac83. 于是
1m2−4m2+53≤0\frac1{m^2}-4m^2+\frac53\le0
令 t=m2>0t=m^2>0，乘以正数 3t3t 得
12t2−5t−3≥012t^2-5t-3\ge0
该二次式的根为 −13-\dfrac13，34\dfrac34，故 t≥34t\ge\dfrac34，即
∣m∣≥32|m|\ge\frac{\sqrt3}{2}
所以 mm 的取值范围为
(−∞,−32]∪[32,+∞)\left(-\infty,-\frac{\sqrt3}{2}\right]\cup\left[\frac{\sqrt3}{2},+\infty\right)
\end{solution}

2010 · 天津 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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15数列★★★★☆
设 {an}\{a_n\} 是等比数列，公比 q=2q = \sqrt{2}. SnS_n 为 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和. 记 Tn=17Sn−S2nan+1T_n = \frac{17S_n - S_{2n}}{a_{n+1}}， n∈N∗\ n \in \mathbf{N}^{*}. 设 Tn0T_{n_0} 为数列 {Tn}\{T_n\} 的最大项，则 n0=‾n_0 =\underline{\hspace{2em}}.

2010 · 天津 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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16不等式★★★★☆
设函数 f(x)=x−1xf(x) = x - \frac{1}{x}，对任意 x∈[1,+∞)x \in [1,+\infty)，f(mx)+mf(x)<0f(mx) + mf(x) < 0 恒成立，则实数 mm 的取值范围是______.

2010 · 天津 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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15平面向量★★★★☆
在四边形 ABCDABCD 中，AB→=DC→=(1,1)\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} = (1,1)，1∣BA→∣BA→+1∣BC→∣BC→=3∣BD→∣BD→\frac{1}{|\overrightarrow{BA}|} \overrightarrow{BA} + \frac{1}{|\overrightarrow{BC}|} \overrightarrow{BC} = \frac{\sqrt{3}}{|\overrightarrow{BD}|} \overrightarrow{BD}，则四边形 ABCDABCD 的面积为______.

2009 · 天津 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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