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共找到 29 题
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09解析几何★★★★☆
已知双曲线 x2a2−y2b2=1\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a>0a>0，b>0b>0）的左焦点为 FF，AA 是右顶点，PP 是双曲线上一点，满足 ∣FA∣=∣FP∣|FA|=|FP|，∠FAP=30∘\angle FAP=30^\circ，则双曲线离心率为（ ）
A.
44
B.
83\frac{8}{3}
C.
85\frac{8}{5}
D.
43\frac{4}{3}

2026 · 天津 · 第 9 题 · 选择题

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08三角函数★★★★☆
f(x)=sin⁡(ωx+φ)f(x)=\sin(\omega x+\varphi)（ω>0\omega>0，−π<φ<π-\pi<\varphi<\pi），在 [−5π12,π12]\left[-\frac{5\pi}{12},\frac{\pi}{12}\right] 上单调递增，且 x=π12x=\frac{\pi}{12} 是它的一条对称轴，(π3,0)(\frac{\pi}{3},0) 是它的一个对称中心.
当 x∈[0,π2]x\in[0,\frac{\pi}{2}] 时，f(x)f(x) 的最小值为（ ）
A.
−32-\frac{\sqrt3}{2}
B.
−12-\frac12
C.
1
D.
0

2025 · 天津 · 第 8 题 · 选择题

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09解析几何★★★★☆
双曲线 x2a2−y2b2=1\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a>0a>0，b>0b>0）的左，右焦点分别为 F1F_1，F2F_2，以右焦点 F2F_2 为焦点的抛物线 y2=2pxy^2=2px（p>0p>0）与双曲线在第一象限交于 PP，若 ∣PF1∣+∣PF2∣=3∣F1F2∣|PF_1|+|PF_2|=3|F_1F_2|，则双曲线离心率 e=e=（ ）
A.
2
B.
5
C.
2+12\frac{\sqrt2+1}{2}
D.
5+12\frac{\sqrt5+1}{2}

2025 · 天津 · 第 9 题 · 选择题

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08解析几何★★★★☆
双曲线 x2a2−y2b2=1\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a>0a>0，b>0b>0）的左，右焦点分别为 F1F_1，F2F_2. PP 是双曲线右支上一点，且直线 PF2PF_2 的斜率为 2. △PF1F2\triangle PF_1F_2 是面积为 8 的直角三角形，则双曲线的方程为（ ）
A.
x22−y28=1\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{y^2}{8}=1
B.
x24−y28=1\dfrac{x^2}{4}-\dfrac{y^2}{8}=1
C.
x28−y22=1\dfrac{x^2}{8}-\dfrac{y^2}{2}=1
D.
x28−y24=1\dfrac{x^2}{8}-\dfrac{y^2}{4}=1

2024 · 天津 · 第 8 题 · 选择题

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09立体几何初步★★★★☆
一个五面体 ABC−DEFABC-DEF. 已知 AD∥BE∥CFAD\parallel BE\parallel CF，且两两之间距离为 1，并已知 AD=1AD=1，BE=2BE=2，CF=3CF=3. 则该五面体的体积为（ ）
A.
36\dfrac{\sqrt3}{6}
B.
334+12\dfrac{3\sqrt3}{4}+\dfrac12
C.
32\dfrac{\sqrt3}{2}
D.
334−12\dfrac{3\sqrt3}{4}-\dfrac12

2024 · 天津 · 第 9 题 · 选择题

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08立体几何初步★★★★☆
“十字歇山顶”是中国古代建筑屋顶的经典样式之一，图 1 中的故宫角楼的顶部即为十字歇山顶. 其上部可视为由两个相同的直三棱柱交叠而成的几何体（图 2）. 这两个直三棱柱有一个公共侧面 ABCDABCD，在底面 BCEBCE 中，若 BE=CE=3BE=CE=3，∠BEC=120∘\angle BEC=120^{\circ}，则该几何体的体积为（ ）
\bitmapinclude[max width=6.0cm]{img/2022/tianjin/q8_fig1.png}\bitmapinclude[max width=6.0cm]{img/2022/tianjin/q8_fig2.png}
A.
272\dfrac{27}{2}
B.
2732\dfrac{27\sqrt{3}}{2}
C.
27
D.
27327\sqrt{3}

2022 · 天津 · 第 8 题 · 选择题

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09函数与初等函数★★★★☆
设 a∈Ra\in \mathbf{R}，函数
f(x)={cos⁡(2πx−2πa),x<a,x2−2(a+1)x+a2+5,x≥af(x)=\begin{cases} \cos\left( 2\pi x-2\pi a \right), & x<a,\\ x^2-2(a+1)x+a^2+5, & x\ge a \end{cases}
若 f(x)f(x) 在区间 (0,+∞)\left( 0,+\infty \right) 内恰有 66 个零点，则 aa 的取值范围是（ ）
A.
(2,94]∪(52,114]\left( 2,\frac{9}{4} \right]\cup \left( \frac{5}{2},\frac{11}{4} \right]
B.
(74,2)∪(52,114]\left( \frac{7}{4},2 \right)\cup \left( \frac{5}{2},\frac{11}{4} \right]
C.
(2,94]∪[114,3)\left( 2,\frac{9}{4} \right]\cup \left[ \frac{11}{4},3 \right)
D.
(74,2)∪[114,3)\left( \frac{7}{4},2 \right)\cup \left[ \frac{11}{4},3 \right)

2021 · 天津 · 第 9 题 · 选择题

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09函数与初等函数★★★★☆
已知函数 f(x)=x3f(x)=x^3（x≥0x\ge 0），f(x)=−xf(x)=-x（x<0x<0）. 若函数 g(x)=f(x)−∣kx2−2x∣g(x)=f(x)-\left| kx^2-2x \right|（k∈Rk\in\mathbf{R}）恰有 4 个零点，则 kk 的取值范围是（ ）
A.
(−∞,−12)∪(22,+∞)\left( -\infty,-\dfrac12 \right)\cup\left( 2\sqrt2,+\infty \right)
B.
(−∞,−12)∪(0,22)\left( -\infty,-\dfrac12 \right)\cup\left( 0,2\sqrt2 \right)
C.
(−∞,0)∪(0,22)\left( -\infty,0 \right)\cup\left( 0,2\sqrt2 \right)
D.
(−∞,0)∪(22,+∞)\left( -\infty,0 \right)\cup\left( 2\sqrt2,+\infty \right)

2020 · 天津 · 第 9 题 · 选择题

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08不等式★★★★☆
已知 a∈Ra\in \mathbf{R}，设函数
f(x)={x2−2ax+2a,x≤1,x−aln⁡x,x>1.f(x)=\begin{cases} x^2-2ax+2a, & x\le 1,\\ x-a\ln x, & x>1. \end{cases}
若关于 xx 的不等式 f(x)≥0f(x)\ge 0 在 R\mathbf{R} 上恒成立，则 aa 的取值范围为（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
A.
[0,1][0,1]
B.
[0,2][0,2]
C.
[0,e][0,\mathrm{e}]
D.
[1,e][1,\mathrm{e}]

2019 · 天津 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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08函数与初等函数★★★★☆
已知函数 f(x)=2xf(x)=2\sqrt{x}（0≤x≤10\le x\le 1），f(x)=1xf(x)=\dfrac1x（x>1x>1）. 若关于 xx 的方程 f(x)=−14x+af(x)=-\dfrac14x+a（a∈Ra\in\mathbf{R}） 恰有两个互异的实数解，则 aa 的取值范围为（ ）
A.
[54,94]\left[\dfrac54,\dfrac94\right]
B.
(54,94]\left(\dfrac54,\dfrac94\right]
C.
(54,94]∪{1}\left(\dfrac54,\dfrac94\right]\cup\{1\}
D.
[54,94]∪{1}\left[\dfrac54,\dfrac94\right]\cup\{1\}

2019 · 天津 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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08不等式★★★★☆
已知函数
f(x)={x2−x+3,x≤1,x+2x,x>1,f(x)= \begin{cases} x^2-x+3,&x\le 1,\\ x+\dfrac{2}{x},&x>1, \end{cases}
设 a∈Ra\in\mathbf{R}，若关于 xx 的不等式 f(x)≥∣x2+a∣f(x)\ge \left|\dfrac{x}{2}+a\right| 在 R\mathbf{R} 上恒成立，则 aa 的取值范围是（ ）
A.
[−4716,2]\left[-\dfrac{47}{16},2\right]
B.
[−4716,3916]\left[-\dfrac{47}{16},\dfrac{39}{16}\right]
C.
[−23,2]\left[-2\sqrt{3},2\right]
D.
[−23,3916]\left[-2\sqrt{3},\dfrac{39}{16}\right]

2017 · 天津 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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08函数与初等函数★★★★☆
已知函数 f(x)f(x) 满足：当 x<1x<1 时，f(x)=∣x∣+2f(x)=|x|+2；当 x≥1x\ge 1 时，f(x)=x+2xf(x)=x+\dfrac2x. 设 a∈Ra\in\mathbf{R}，若关于 xx 的不等式 f(x)≥∣x2+a∣f(x)\ge \left|\dfrac x2+a\right| 在 R\mathbf{R} 上恒成立，则 aa 的取值范围是（ ）
A.
[−2,2][-2,2]
B.
[−23,2][-2\sqrt3,2]
C.
[−2,23][-2,2\sqrt3]
D.
[−23,23][-2\sqrt3,2\sqrt3]

2017 · 天津 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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08三角函数★★★★☆
已知函数 f(x)=sin⁡2ωx2+12sin⁡ωx−12f(x)=\sin^2\frac{\omega x}{2}+\frac12\sin\omega x-\frac12（ω>0\omega>0，x∈Rx\in \mathbf{R}），若 f(x)f(x) 在区间 (π,2π)\left( \pi,2\pi \right) 内没有零点，则 ω\omega 的取值范围是（ ）
A.
(0,18]\left( 0,\frac18 \right]
B.
(0,14]∪[58,1)\left( 0,\frac14 \right]\cup\left[ \frac58,1 \right)
C.
(0,58]\left( 0,\frac58 \right]
D.
(0,18]∪[14,58]\left( 0,\frac18 \right]\cup\left[ \frac14,\frac58 \right]

2016 · 天津 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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08函数与初等函数★★★★☆
已知函数
f(x)={2−∣x∣,x⩽2,(x−2)2,x>2,f(x) = \begin{cases} 2 - |x|, & x \leqslant 2,\\ (x - 2)^2, & x > 2, \end{cases}
函数 g(x)=b−f(2−x)g(x) = b - f(2 - x)，其中 b∈Rb \in \mathbf{R}. 若函数 y=f(x)−g(x)y = f(x) - g(x) 恰有4个零点，则 bb 的取值范围是（ ）
A.
(74,+∞)\left(\frac{7}{4}, +\infty\right)
B.
(−∞,74)\left(-\infty, \frac{7}{4}\right)
C.
(0,74)\left(0, \frac{7}{4}\right)
D.
(74,2)\left(\frac{7}{4}, 2\right)

2015 · 天津 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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08平面向量★★★★☆
已知菱形 ABCDABCD 的边长为 22，∠BAD=120∘\angle BAD = 120^{\circ}，点 EE，FF 分别在边 BCBC，DCDC 上，BE→=λBC→\overrightarrow{BE} = \lambda\overrightarrow{BC}，DF→=μDC→\overrightarrow{DF} = \mu\overrightarrow{DC}，若 AE→⋅AF→=1\overrightarrow{AE} \cdot \overrightarrow{AF} = 1，CE→⋅CF→=−23\overrightarrow{CE} \cdot \overrightarrow{CF} = -\frac{2}{3}，则 λ+μ=\lambda + \mu =（ ）
A.
12\frac{1}{2}
B.
23\frac{2}{3}
C.
56\frac{5}{6}
D.
712\frac{7}{12}

2014 · 天津 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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07函数与初等函数★★★★☆
函数 f(x)=2x∣log⁡0.5x∣−1f(x) = 2^{x} |\log_{0.5} x| - 1 的零点个数为（ ）
A.
1
B.
2
C.
3
D.
4

2013 · 天津 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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07指数函数与对数函数★★★★☆
已知 a=5log⁡23.4a = 5^{\log_{2} 3.4}，b=5log⁡43.6b = 5^{\log_{4} 3.6}，c=(15)log⁡30.3c = \left(\frac{1}{5}\right)^{\log_{3} 0.3}，则（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
\begin{solution} 由于底数 5>15>1，只需比较三个指数. 令 u=log⁡23.4u=\log_2 3.4，v=log⁡43.6v=\log_4 3.6，w=−log⁡30.3=log⁡3103w=-\log_3 0.3=\log_3\frac{10}{3}. 由 1<3.6<41<3.6<4，得 0<v<10<v<1. 又因为 103>3\frac{10}{3}>3，所以 w>1w>1，从而 w>vw>v. 另一方面，
3.44=(175)4=83521625>80000625=273.4^4=\left(\frac{17}{5}\right)^4=\frac{83521}{625} >\frac{80000}{625}=2^7
给出 u>74u>\frac74，而
(103)4=1000081<17714781=37\left(\frac{10}{3}\right)^4=\frac{10000}{81} <\frac{177147}{81}=3^7
给出 w<74w<\frac74. 因此 u>w>vu>w>v. 于是
a>c>ba>c>b
选 C. \end{solution}
A.
a>b>ca > b > c
B.
b>a>cb > a > c
C.
a>c>ba > c > b
D.
c>a>bc > a > b

2011 · 天津 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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08函数与初等函数★★★★☆
对实数 aa 与 bb，定义运算“⊗\otimes”：
a⊗b={a,a−b⩽1,b,a−b>1.a \otimes b = \begin{cases} a, & a - b \leqslant 1,\\ b, & a - b > 1. \end{cases}
设函数 f(x)=(x2−2)⊗(x−x2)f(x) = (x^2 - 2) \otimes (x - x^2)，x∈Rx \in \mathbf{R}. 若函数 y=f(x)−cy = f(x) - c 的图象与 xx 轴恰有两个公共点，则实数 cc 的取值范围是（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 令 p=x2−2p=x^2-2，q=x−x2q=x-x^2. 则
p−q=2x2−x−2p-q=2x^2-x-2
因此当
2x2−x−2⩽1⟺2x2−x−3⩽0⟺−1⩽x⩽322x^2-x-2\leqslant1 \quad\Longleftrightarrow\quad 2x^2-x-3\leqslant0 \quad\Longleftrightarrow\quad -1\leqslant x\leqslant\frac32
时，f(x)=x2−2f(x)=x^2-2；在其余区间，f(x)=x−x2f(x)=x-x^2.
分别考察三段的值域. 当 x<−1x<-1 时，f(x)=x−x2f(x)=x-x^2，且 f′(x)=1−2x>0f'(x)=1-2x>0，值域为 (−∞,−2)(-\infty,-2). 当 −1⩽x⩽32-1\leqslant x\leqslant\frac32 时，f(x)=x2−2f(x)=x^2-2，在 x=0x=0 处取得最小值 −2-2，并且 f(−1)=−1f(-1)=-1，f(32)=14f\left(\frac32\right)=\frac14， 所以这一段的取值在 [−2,14][-2,\frac{1}{4}]，其中 c∈(−2,−1)c\in(-2,-1) 时有两个原像，c=−2c=-2 时有一个原像，c∈[−1,14]c\in[-1,\frac{1}{4}] 时有一个或两个原像需结合其他区间判断. 当 x>32x>\frac32 时，f(x)=x−x2f(x)=x-x^2，且 f′(x)=1−2x<0f'(x)=1-2x<0，值域为 (−∞,−34)(-\infty,-\frac{3}{4})，每个值至多有一个原像.
具体计数如下：若 c<−2c<-2，左右两个外侧区间各有一个原像；若 c=−2c=-2，中间区间的 x=0x=0 和右侧区间的 x=2x=2 共两个原像；若 −2<c<−1-2<c<-1，中间区间有两个原像，右侧区间还有一个原像，共三个；若 c=−1c=-1，中间区间的 x=−1x=-1，11 与右侧区间的一个原像共三个；若 −1<c<−34-1<c<-\frac{3}{4}，中间区间和右侧区间各有一个原像；若 c⩾−34c\geqslant-\frac{3}{4} 且 c⩽14c\leqslant\frac{1}{4}，只有中间区间的一个原像；其他 cc 没有两个原像. 所以恰有两个公共点的条件为
c∈(−∞,−2]∪(−1,−34)c\in(-\infty,-2]\cup\left(-1,-\frac34\right)
因此选 B. \end{solution}
A.
(−∞,−2]∪(−1,32)(- \infty, -2] \cup \left(-1, \frac{3}{2}\right)
B.
(−∞,−2]∪(−1,−34)(-\infty, -2] \cup \left(-1, -\frac{3}{4}\right)
C.
(−1,14)∪(14,+∞)\left(-1, \frac{1}{4}\right) \cup \left(\frac{1}{4}, +\infty\right)
D.
(−1,−34)∪[14,+∞)\left(-1, -\frac{3}{4}\right) \cup \left[\frac{1}{4}, +\infty\right)

2011 · 天津 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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08函数与初等函数★★★★☆
对实数 aa 和 bb，定义运算“⊗\otimes”：
a⊗b={a,a−b⩽1,b,a−b>1.a \otimes b = \begin{cases} a, & a - b \leqslant 1,\\ b, & a - b > 1. \end{cases}
设函数 f(x)=(x2−2)⊗(x−1)f(x) = (x^{2} - 2) \otimes (x - 1)，x∈Rx \in \mathbf{R}. 若函数 y=f(x)−cy = f(x) - c 的图象与 xx 轴恰有两个公共点，则实数 cc 的取值范围是（ ）
A.
(−1,1]∪(2,+∞)(-1,1]\cup (2, + \infty)
B.
(−2,−1]∪(1,2](-2, - 1] \cup (1, 2]
C.
(−∞,−2)∪(1,2](-\infty, -2) \cup (1, 2]
D.
[−2,−1][-2, - 1]

2011 · 天津 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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10计数原理与组合数学★★★★☆
如图，用四种不同颜色给图中的 AA，BB，CC，DD，EE，FF 六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有（ ）
\begin{answer} B \end{answer} \begin{solution} 由图可知，上方三角形为 △ADE\triangle ADE，下方三角形为 △BCF\triangle BCF，并且对应竖直线段为 ABAB，DCDC，EFEF. 先给 AA，DD，EE 涂色，有
4⋅3⋅2=244\cdot3\cdot2=24
种方法.
固定 AA，DD，EE 的颜色分别为 11，22，33，记第4种颜色为 44. 下面按 BB 的颜色分类计数. BB 不能取颜色 11. 当 B=2B=2 时，CC 可取 11，33，44：若 C=1C=1，则 FF 有1种取法；若 C=3C=3，则 FF 有2种取法；若 C=4C=4，则 FF 有1种取法，共4种. 当 B=3B=3 时，CC 可取 1,41,4，对应的 FF 各有2种取法，共4种. 当 B=4B=4 时，CC 可取 1,31,3，对应的 FF 分别有1种、2种取法，共3种. 因而固定上方三点颜色后，下方三点有
4+4+3=114+4+3=11
种涂法. 故总涂色方法数为 24⋅11=26424\cdot11=264，选 B. \end{solution}
A.
288288 种
B.
264264 种
C.
240240 种
D.
168168 种

2010 · 天津 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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09解析几何★★★★☆
设抛物线 y2=2xy^{2} = 2x 的焦点为 FF，过点 M(3,0)M(\sqrt{3}, 0) 的直线与抛物线相交于 AA，BB 两点，与抛物线的准线相交于 CC，∣BF∣=2|BF| = 2，则 △BCF\triangle BCF 与 △ACF\triangle ACF 的面积之比 S△BCFS△ACF=\frac{S_{\triangle BCF}}{S_{\triangle ACF}} =（ ）
A.
45\frac{4}{5}
B.
23\frac{2}{3}
C.
47\frac{4}{7}
D.
12\frac{1}{2}

2009 · 天津 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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10不等式★★★★☆
0<b<1+a0 < b < 1 + a. 若关于 xx 的不等式 (x−b)2>(ax)2(x - b)^2 > (ax)^2 的解集中的整数恰有33个，则（ ）
A.
−1<a<0-1 < a < 0
B.
0<a<10 < a < 1
C.
1<a<31 < a < 3
D.
3<a<63 < a < 6

2009 · 天津 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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10计数原理与组合数学★★★★☆
有 88 张卡片分别标有数字 11，22，33，44，55，66，77，88，从中取出 66 张卡片排成 33 行 22 列，要求 33 行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为 55，则不同的排法共有（\quad）
A.
13441344 种
B.
12481248 种
C.
10561056 种
D.
960960 种

2008 · 天津 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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09函数与初等函数★★★★☆
设 aa，bb，cc 均为正数，且 2a=log⁡12a2^{a} = \log_{\frac{1}{2}} a，(12)b=log⁡12b\left(\frac{1}{2}\right)^{b} = \log_{\frac{1}{2}} b，(12)c=log⁡2c\left(\frac{1}{2}\right)^{c} = \log_{2} c. 则（ ）
A.
a<b<ca < b < c
B.
c<b<ac < b < a
C.
c<a<bc < a < b
D.
b<a<cb < a < c

2007 · 天津 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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10平面向量★★★★☆
设两个向量 a=(λ+2,λ2−cos⁡2α)\boldsymbol{a} = (\lambda + 2, \lambda^2 - \cos^2 \alpha) 和 b=(m,m2+sin⁡α)\boldsymbol{b} = \left(m, \dfrac{m}{2} + \sin \alpha\right)，其中 λ\lambda，mm，α\alpha 为实数. 若 a=2b\boldsymbol{a} = 2\boldsymbol{b}，则 λm\dfrac{\lambda}{m} 的取值范围是（ ）
A.
[−6,1][-6, 1]
B.
[4,8][4, 8]
C.
(−∞,1](-\infty, 1]
D.
[−1,6][-1, 6]

2007 · 天津 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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